Leçon 2 : Théorème de Pythagore

Leçon 2 : Théorème de Pythagore
Introduction à lire(inutile de l'écrire)
Introduction (source wikipédia) : Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école
pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud). Le théorème de Pythagore bien connu des
élèves de 4ème , n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu
par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples)
aurait découvert la formule générale.
Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds
(régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et
permettait d’obtenir un angle droit entre deux « longueurs ». Corde qui sera encore
utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs.
I. Rappels : triangle rectangle.
On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit (90°).
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A.
[AB] et [AC] sont les cotés de l’angle droit.
[BC] est le côté opposé à l’angle droit et aussi le côté le plus long : c’est l’hypoténuse.
II. Théorème de pythagore
1) Le théorème
Enoncé : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est
égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
AUTRE FORMULATION :
SI un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC²
(pour vérifier que la formule est bien écrite, s'assurer que l'hypoténuse est tout seul)
2) Applications
Application 1 : Calculer la longueur de l'hypoténuse
Calculer BC :
ABC est un triangle rectangle en A,
d’après le théorème de Pythagore,
?
on a: BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC= √ 25
en utilisant la touche √ .
de la machine : BC = 5 cm
Le segment [BC] mesure 5 cm.
Application 2 : Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
Le triangle MPR est rectangle en M.
On donne : PR = 7 cm et MR = 58 mm.
Calculer PM. Arrondir au millimètre.
7 cm
58
Le triangle PMR est rectangle en M.
D’après le théorème de Pythagore,
on a : PR² = PM² + MR²
7² = PM² + 5,8²
49 = PM² + 33,64
PM² = 49 – 33,64
PM² = 15,36
PM = √ 15,36
PM ≈ 3,91...
PM ≈ 3,9
La longueur est environ égale à 3,9 cm.
58 mm
?
Définition : Soit a un nombre positif, On appelle racine carrée de a, le nombre positif
dont le carré est égal à a. On le note √ a .
Exemples :
√1 = 1
√ 49 = 7
√4
√64
=2
=8
√9
√81
=3
=9
√16 = 4
√25 = 5
√100 = 10 √121 = 11
√36
√144
=6
= 12
3) Conséquence du théorème
Enoncé : Si le carré du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des
carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Application : Le triangle DEF tel que DE = 6,3 cm ; DF = 5,1 cm et EF = 8,1 cm, est-il
rectangle ? Justifier.
Le côté le plus long du triangle DEF est [EF].
D’une part : EF² = 8,1² = 65,61
D’autre part : DE² + DF² = 6,3² + 5,1² = 39,69 + 26,01 = 65,7
On constate que EF² ≠ DE² + DF².
Donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.
II. Réciproque du théorème de pythagore
Enoncé : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la
somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
AUTRE FORMULATION : Si un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC², alors il
est rectangle en A.
Application : Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
Le côté le plus long dans le triangle ABC est [BC].
D’une part :
BC² = 13² = 169
D’autre part : AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
On constate que AB² + AC² = BC².
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle
en A.