ON EQUIVALENT SETS OF ELEMENTS IN A FREE GROUP

ON E Q U I V A L E N T S E T S O F E L E M E N T S
IN A F R E E G R O U P
By J. H. C. W H I T E H E A D ,
Oxford.
Two kinds of equivalence are considered, the first of which has already
been elucidated by J. Nielsen. This is the equivalence of sets of elements
(alt • - -, atn) under transformations of the form a;.—>aia-^ or a* 1 ai and
ak->a"-1.
A graphical form is given to certain arguments used by Nielsen
and a theorem is added which simplifies the test for equivalence. In
the second part of the paper two sets of elements (IV1,---,
Wm) and
(W*v'-', W^) in a free group G, are called equivalent if there is an
automorphism of G which carries WK into W\ for each value of X. Using
topological methods, a finite process is given which will exhibit the equivalence of equivalent sets. Here the words Wf. and W% may be 'true' or
cyclic words and the equivalence test applies to sets of classes of elements
as well as to sets of elements.
ON T H E G R O U P
OF A CERTAIN
LINKAGE
By M. H. A. NEWMAN, Cambridge, and J. H. C. W H I T E H E A D , Oxford.
In a recent paper 1 of Whitehead's it was shown that the residual
set, in Cartesian 3-space, R8, of a certain closed set Tœ is a space whose
fundamental group is unity, and in which every finite 2-cycle bounds a
finite 3-chain; but that R3—Tœ
is not the semi-linear homoeomorph of R8
itself. T h e set Tx was defined as the inner limiting set of a sequence of
'tubes', (solid rings), Tn. That R8— T^ and R8 are not homoeomorphic
was deduced from the fact that there is a simple closed curve, C, in
R8—Tx which cannot be 'disentangled' from Tx, i. e. is such that there
is no semi-linear 3-cell containing C, but not meeting 7 ^ ; and this in its
turn follows from the same property of Tn.
In the paper summarised in this communication a new proof of this
last fact is given, by calculating the group of the linkage formed by C
and the 'core' of Tn. It is shown that the group is not the free group
with two generators, and from this it follows that Tn and C cannot be
disentangled, in the more general sense that there is no closed 3-cell
(topological image of x2jry2 + z2^
1) in R8 containing C but not meeting 7"„.
This leads to the full result, that R8— Tx is not the homoeomorph, in the
general sense, of R8.
J. H. C. Whitehead.
of Math. 1935
(6
)
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A certain open manifold w h o s e group is unity, Quartely Journal
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TOPOLOGIE DES TRANSFORMATIONS
Par B. DE KEREKJARTó, Szeged.
Le problème d'homéomorphie de deux transformations est le suivant:
Si V et V sont deux variétés homéomorphes, ensuite si T et T' sont des
transformations topologiques de ces variétés en elles-mêmes, sous quelles
conditions concernant ces transformations existe-t-il une transformation
topologique T de V en V telle que T soit la transformée de T par T:
T'—-T~{ Tr. La transformation T sera appelée régulière au point P de V,
si les puissances de T forment une suite uniformément continue au point P]
les points de V pour lesquels cette condition n'est pas vérifiée sont les
points singuliers de T. L'ensemble des points singuliers d'une transformation T forme un invariant topologique de T en ce sens que les
points singuliers de deux transformations T et T', homéomorphes entre
elles, se correspondent par la transformation T qui établit l'homéomorphie
de T et de T'. — En cas que V est une surface analytique close et T' est
une représentation conforme de V en elle-même, T' n'admet aucun point
singulier, si le genre de V est p ^> 1, et elle admet deux points singuliers,
au plus, pour p = 0. Ce fait nous donne une condition nécessaire pour
qu'une transformation topologique d'une surface en elle-même soit homéomorphe à une représentation conforme; j'ai démontré que cette condition
est aussi suffisante pour l'homéomorphie de la transformation à une
représentation conforme. — La notion de point régulier ou singulier d'une
transformation s'applique aussi aux groupes. J'ai démontré que les transformations d'un groupe continu appliquées dans l'espace du groupe sont
régulières en tout point de cet espace. Les groupes des geometries
euclidienne et non-euclidiennes ne contiennent que des transformations
régulières; cette circonstance facilite la caractérisation topologique de ces
groupes. Aussi le groupe homographique peut être caractérisé d'une façon
simple à l'aide de ces notions. — Dans les problèmes dynamiques, la
notion de stabilité permanente est en rapport direct avec la notion de
régularité d'une transformation. Pour en citer un exemple, j'ai démontré
qu'une transformation topologique d'une surface close de genre / > > 1 en
elle-même admettant un point régulier ne peut pas satisfaire à la condition
de transitivité métrique; cela revient à dire que pour un système dynamique
à deux degrés de liberté qui admet une surface de section de g e n r e / > > 1 ,
l'existence d'une solution qui possède la stabilité permanente exclut
l'ergodicité du système. — Les détails de la conférence seront publiés
dans un mémoire qui paraîtra dans l'Enseignement Mathématique.
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