Machine synchrone
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Machine synchrone Notations complémentaires Pour alléger les notations a,b , c désignent les variables statoriques. D désigne les variables relatives à l’amortisseurs sur l’axe d Q désigne les variables relatives à l’amortisseur sur l’axe q f désigne les variables relatives à l’inducteur Mxy désigne la mutuelle entre l’enroulement x et y On considère un repère d,q dont l’axe d est aligné sur l’axe polaire. d bs q iD Vbs iQ VD r VQ if as Vas Vcs Vf cs La transformation Tdq0/abc associée à ce changement de repère est appelée transformation de Park 1 Introduction La variation de vitesse d’une machine synchrone est obtenue par le réglage de la fréquence d’alimentation. La fréquence de commutation du convertisseur statique assurant l’alimentation de la machine est asservie à la vitesse du rotor. De plus, les impulsions des convertisseurs sont synchronisées sur la position du rotor de manière à assurer un angle constant entre induction statorique et rotorique. Cette commande constitue l’autopilotage. Cela assure la stabilité et donne à l’ensemble du système convertisseur-machine, un fonctionnement proche de celui d’une machine à courant. La machine synchrone peut être alimentée par un convertisseur de tension ou de courant. La source doit être reversible pour un fonctionnement dans les quatre quadrants (moteur/ générateur dans les deux sens de rotation). Dans le cas d’une alimentation en courant, la commutation peut être naturelle ( le courant doit alors être en avance sur la tension. Pour faciliter ce mode de fonctionnement, la machine doit être surexcitée). Elle peut être aussi forcée. Par exemple, au démarrage, les f.e.m. ne sont pas suffisantes pour permettre l’extinction des thyristors. L’alimentation de la machine doit être adaptée aux caractéristiques de celle-ci. Ainsi, il sera préféré une alimentation en créneaux de courant dans le cas d’une machine qui, lorsque deux de ses phases sont alimentées en série par un courant constant, possède une courbe Te(θm) de forme trapézoïdale (moteur synchrone à aimants sans pièces polaires). Cette alimentation minimise les ondulations de couple (la superposition des courbes Te(θm) lors des différentes séquences de fonctionnement donne une courbe de couple pratiquement constant). Le tableau suivant rappelle les différents types de machines concernées par ces applications et leurs caractéristiques essentielles. Pour clarifier l’exposé, nous nous restreindrons aux actionneurs suivants : 2 Type Caractéristiques Description Machine Lds=Lqs synchrone à rotor bobiné et entrefer lisse A+ C- N S B- B+ C+ Machine Lds>Lqs synchrone à effet de saillance rotor bobiné et augmentation de Temax pôles saillants ⇒ A- B+ C- N A+ S B- N A- Lds≈Lqs grand entrefer Pour un angle polaire θ=120° (électrique), lorsque deux des phases de la machine sont alimentées en série par un courant constant, Te(Θ m) a une forme trapézoïdale[LAJOIEMAZENC 95]. Machine Saillance inversée Lqs>Lds synchrone à Possibilité de vitesses de aimants enterrés rotation élevées au rotor C+ S C+ Machine synchrone à aimants montés en surface du rotor sans pièce polaire A- B+ N S S N S N N S BA+ C- θ S N N S NN S S Tableau 1. - Machines synchrones. 3 Mise en équation Pulsation statorique ω = ω e m Expression des flux Ψa Ψ b Ψc = Ψ f ΨD ΨQ La M ba M ca M fa M Da M Qa M ab Lb M ac M bc M af Mbf M aD M bD M cb Lc M cf M cD M fb M fc Lf M fD M Db M Dc M Df LD M Qb M QC 0 0 M aQ ia M bQ ib M cQ ic 0 i f 0 iD LQ iQ Cette équation peut s’écrire : [ ] [ ] = [ M ] i + [ L ]i Ψabc = L s i abc + M sr i fDQ Ψ fDQ t sr abc fDQ fDQ Les paramètres inductifs du rotor sont indépendants de la position angulaire du rotor puisque la face interne du stator est lisse. Lf, LD, Lq et Mfd sont donc constants. Tous les autres paramètres dépendent de θr. L’hypothèse de répartition spatiale sinusoïdale des forces magnétomotrices permet d’écrire : La = l s1 + l s2 cos( 2θ r ) 2π Lb = l s1 + l s2 cos 2 θr − 3 2π Lc = l s1 + l s2 cos 2 θr + 3 4 π M ab = M s1 + M s2 cos 2 θr − 3 π 2π M bc = M s1 + M s2 cos 2 θr − − 3 3 π 2π M ca = M s1 + M s2 cos 2 θr − + 3 3 M af = M sf cos(θ r ) 2π M bf = M sf cos θr − 3 2π M cf = M sf cos θr + 3 M aD = M sD cos(θr ) 2π M bD = M sD cos θr − 3 2π M cD = M sD cos θ r + 3 M aQ = M sQ sin(θr ) 2π M bQ = M sQ sin θr − 3 2π M cQ = M sQ sin θr + 3 Simplification de la matrice d’inductance par application de la transformation de Park Tranformation de Park : Ta = Tdq 0 / abc = Rθ Tαβ 0 / abc = cosθr 2 − sinθr 3 1 2 2π 2π ) cos(θr + ) 3 3 2π 2π − sin(θr − ) − sin(θr + 3 3 1 1 2 2 cos(θr − 5 Les vecteurs Ψabc et vecteurs Ψdq 0 et iabc sont remplacés par leurs expressions en fonction des idq0 Ψabc = Ta −1Ψdq 0 et i abc = Ta −1i dq 0 Compte tenu de ces changements de variable [ ] [ ] = [ M ] i + [ L ]i Ψabc = L s i abc + M sr i fDQ Ψ fDQ devient t sr abc [ ] =[M ] T fDQ fDQ [ ] Ψdq 0 = Ta L s Ta −1i dq 0 + Ta M sr i fDQ Ψ fDQ t sr a t [ ] iabc + L fDQ i fDQ et après quelques pages de calculs trigonométriques .... Ψd Ψ q Ψ0 = Ψf ΨD ΨQ Ld 0 0 3 M 2 sf 0 Lq 0 0 0 0 0 L0 0 0 0 0 Lf M fD 0 0 M fD LD 0 0 0 3 M 2 sf 3 M 2 sD 3 M 2 sQ 0 après avoir défini Ld (aussi notée Ld = ls − M s + 1 Lq (aussi 1 1 inductance cyclique synchrone 0 3 i d M 2 sQ iq 0 i 0 0 i f i D 0 i Q LQ longitudinale , 2 notée L q = ls − M s − 1 3 l 2 s Lds) 3 M 2 sD Lqs) inductance cyclique synchrone transversale, 3 l 2 s 2 6 L0 (aussi notée L0s) inductance cyclique synchrone homopolaire, L0 = l s1 + 2 M s1 On obtient alors la représentation suivante : q iQ v Q =0 iq v q d id if vd vf iD vD = 0 Machine à pôles lisses Les effets des amortisseurs ne sont plus pris en compte. Les inductances synchrones sont égales puisque le rotor est lisse. Elles sont notées Ls. L’équation matricielle devient : Ψd Ls Ψq = 0 Ψ 3 f M sf 2 Ls 3 M 2 sf 0 0 Lf 0 id iq i f 7 q iq L 3 M sf 2 v q s d L s L id vd f if vf Machine à aimants permanents En écrivant Ψv cos(θ r ) le flux inducteur engendré par les aimants de la roue 3 Ψ = Ψf lorsqu’il est 2 v polaire dans la phase statorique a ; il prend la valeur transposé sur l’axe d. Les équations des flux statoriques s’écrivent finalement ψ ds = Lds ids + ψ f et ψqs = Lqs iqs q i L q v q S L q d N 3 2 Ψ i v v d d d 8 Equations électriques Nous avons : [ ] d Ψ dt abc d i fDQ + Ψ fDQ dt vabc = Rs i abc + [ v fDQ = R fDQ ] avec R 0 0 Rs = 0 R 0 0 0 R [ ] et [R ] fDQ R f =0 0 0 RD 0 0 0 RQ En transposant ces équations par la transformation de Park, on obtient au stator : dΨd − ωm Ψq dt d Ψq v q = Ri q + + ω m Ψd dt vd = Rid + au rotor vf = Rfif + dΨ f dt dΨD dt d ΨQ v Q = 0 = R Qi Q + dt v D = 0 = R Di D + En développant l’expression des flux en fonction des courants, on obtient : [V ] = [ R ][ i] + [ L ] d [ i] − ω m[ M ][ i] dt avec 9 vd vd id v v i q q q [ v] = v f = v f [i ] = i f , vD 0 i D iQ vQ 0 3 3 L 0 M M 0 d sf sD 2 2 3 Lq 0 0 M sQ 0 2 3 [ L] = M sf 0 Lf M fD 0 2 3 M sD 0 M fD LD 0 2 3 M sQ 0 0 LQ 0 2 3 0 − L 0 0 − M q sQ 2 3 3 L 0 M sf M sD 0 d [M ] = 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Machine à pôles lisses 3 M sf s R + Lss − ωm Ls 2 vd id 3 i v = ω L R + L s ω M q m s s m sf q 2 v f i f 3 M sf s 0 Rf + Lf s 2 10 Machine à aimants permanents vd = ( R + Ld s)id − Lqω miq ( ) v q = Ld ω mi d + R + Lq s iq + ω mΨ f Couple électromagnétique A partir du calcul de la puissance instantanée : p = vd id + vq iq + v f i f + vDiD + vQiQ En développant, on peut regrouper les termes suivant : 2 2 2 2 2 • pertes Joules : Rid + Riq + R f i f + RDiD + RQiQ • puissance d’échange d’énergie électromagnétique entre la machine et ses sources id dΨq dΨf dΨQ dΨd dΨD + iq + if + iD + iQ dt dt dt dt dt • puissance mécanique [ ωm iq Ψd − id Ψq ] On peut en déduire le couple [ Te p = p i q Ψd − i d Ψq ] Et en remplaçant les flux par leurs expressions en fonction des courants : 3 3 3 Te = p Ld − Lq id i q + M sf i f iq + M sDi Di q − M sQiQ id 2 2 2 p ( ) Cette expression met en évidence : • un couple de réluctance variable : • un couple principal : [( ) ] p Ld − Lq id iq 3 p M sf i f iq 2 • un couple asynchrone (cage des amortisseurs) : 3 3 p M sD i D iq − M sQ i Q id 2 2 11 Fonctionnement en régime permanent A partir des équations de la machine synchrone : dΨqs dΨds + ω eψ ds vds = Rs i ds + − ω e Ψqs et v qs = Rs i qs + dt dt avec pour une machine à aimants Ψds = Lds ids + ψ f Ψqs = Lqs iqs et En régime permanent et dans le repère lié au rotor, nous avons dΨqs dt dΨds = 0 et dt = 0 . Ce qui conduit aux schémas équivalents suivants : Machine à pôles lisses V ϕ s j Xs Is δ Vf Is Vf ψ I s δ ψ Vs j Xs Is ϕ ψf ψf Fonctionnement moteur Fonctionnement génératrice en notant,Vf la force électromotrice induite dans les enroulements statoriques Machine à pôles saillants V qs V ds V I ds δ ψ Iqs I s ϕ ψf I X I qs qs s Vf axe q X I ds ds I ds s I qs ψ V ds ψf δ ϕ Vf X I ds ds V X I qs qs axe q s V qs axe d axe d Fonctionnement moteur En notant : Xds = Ldsωe et Xqs = Lqsωe δ désigne aussi l’angle entre Ψf et Ψs Ψf valeur efficace du flux à vide (créé par l’inducteur) Fonctionnement génératrice En notant : Xds = Ldsω e et Xqs = Lqsω e Diagramme vectoriel d’une machine synchrone en régime permanent. 12 A partir de ces schémas équivalents et en négligeant Rs, on peut établir les caractéristiques de la machine synchrone en régime permanent (exprimées pour les valeurs efficaces des flux et des courants). Machine à pôles lisses (en supposant la machine alimentée par des courants sinusoïdaux ⇒ il ne faut garder que le fondamental des autres grandeurs) Expression du couple Te = 3pΨ f I s cosψ Te Te 0 1 ⇒ utilisée pour le contrôle en courant 1 Te = 3 pΨ f Ψs sin(δ) Ls avec Xs= Lsω e réactance synchrone ⇒ utilisée pour le contrôle en tension Expression de la puissance absorbée P = 3Vs I s cosϕ P = 3V f I s cosψ 1 P = 3VsV f sinδ Xs Q = 3Vs I s sinϕ −1 −180° 0° 180° Ψ avec Te 0 = 3 pΨ f I s Te Te 0 1 0 -1 −180° 0° avec Te 0 = 3 pΨ f Ψs 90° 180° δ 1 Ls Q = 3V f I s sin ψ + 3 X s I s 2 Caractéristiques des machines synchrones à pôles lisses. 13 Machine à Expression du couple pôles saillants Te = 3 pΨ f I s cos(ψ) − (en supposant la machine alimentée par des courants sinusoïdaux⇒ il ne faut garder que le fondamental des grandeurs) 3 ( 0 1 ) p L − Lqs I s 2 sin( 2ψ) 2 ds ⇒ utilisée pour le contrôle en courant Te = 3 pΨ f Ψs 3 Te Te 1 sin(δ) + Lds p Lds − Lqs 2 Ψ sin( 2δ) 2 Lds Lqs s ⇒ utilisée pour le contrôle en tension Expression de la puissance absorbée P = 3Vs I s cosϕ P = 3V f I s cosψ − ( ) 3 X ds − X qs I s 2 sin(2ψ) 2 1 P = 3VsV f sinδ + X ds X ds − X qs 3V s 2 sin 2δ 2 X ds X qs Q = 3Vs I s sinϕ 0 -1 Ψ -180° 0° 180° avec Te 0 = 3 pΨ f I s Te Te 0 2 0 -2 -18 0° 0° avec Te 0 = 3pΨ f Ψs 90° +180 ° δ 1 Lds Le couple maximal est obtenu pour un angle de décalage interne δ inférieur à π . 2 Caractéristiques des machines synchrones à pôles saillants. Rappelons qu’en régime permanent θr = ω m t = ωe t En notant Ψ fa = M sf i f cos(ω m t ) = Ψv cos(ω m t ) la mesure algébrique du flux inducteur projeté sur la phase a π La tension induite à vide sur la phase a est va 0 = Ψvω m cos ω m t + 2 Les valeurs sur les autres phases sont obtenues par des déphasages de Les composantes de Park sont : vd 0 = 0 et v q 0 = 2π 3 3$ V V$ = ω m Ψv 2 s0 avec s 0 14 Fonctionnement en régime transitoire Grandeurs caractéristiques de la machine Notons : LD : est l'inductance propre de l'amortisseur d'axe direct. LQ : l'inductance propre de l'amortisseur d'axe quadrature. Mdf : l'inductance mutuelle entre inducteur et induit. MdD : l'inductance mutuelle entre amortisseur d'axe direct et induit. MdQ : l'inductance mutuelle entre amortisseur d'axe quadrature et induit. Grandeurs Physiques axe longituginal d axe transversal q Td' X ≈ Xd . ' Tdo Réactances transitoires et subtransitoires ' d X ≈ Xq . '' q Td' .Td'' '' X d ≈ X d . ' '' Tdo . Tdo Tdo' ≈ Lf Rf Constantes de temps 3 2 M df transitoires 1 ' 2 T ≈ . L − et subtransitoires d R f f Ld à vide (indice o) et en courtcircuit 3 1 TD ≈ . L + RD D LD − Tdo'' ≈ Tqo' ≈ Tq'' Tqo'' LQ RQ 3 2 M qQ 1 Tq' ≈ . LQ − 2 RQ Lq M dD . M Df 2 M df M 2Df Lf RD Tableau 1 : Grandeurs Physiques 15 Mutuelle de l'axe d M df = Mutuelle de l'axe q 2 . L .( L − R f . Td' ) 3 d f M qQ = M Df = L f .(L D − R D . T ) '' do M dD = 2 . L q .(L Q − R Q .Tq'' ) 3 2 M df . .( RD .TD − L D ) 3 M Df Tableau 2 : Paramètres Physiques Inductances opérationnelles La détermination des fonctions opérationnelles se fait à partir des équations générales de la machine dans le cadre des hypothèses établies pour les équations de Park. A partir des équations établies dans le domaine de Laplace, le flux Ψ d est exprimé en fonction du courant Id et de la tension d'excitation Vf en éliminant ID et If, et le flux Ψ q en fonction du courant Iq en éliminant IQ. Ceci permet de mettre en évidence les fonctions opérationnelles : Φ d Φ q avec : = = Ld (s).I d Lq (s).I q + G(s).Vf Ld (s) : inductance opérationnelle longitudinale Lq (s) : inductance opérationnelle transversale G (s) : fonction d'excitation Ces fonctions opérationnelles sont des fractions rationnelles du 1er et 2nd ordre qu'il est possible d'exprimer en fonction des éléments de la machine synchrone, inductances et résistances. Au vu des équations utilisées, les expressions rigoureuses des fonctions sont extrêmement compliquées. Il est possible d'approximer celles-ci, en utilisant les constantes de temps caractéristiques de la machine synchrone (Tab. 1) qui permettent de mettre les fonctions sous la forme : 16 L d (s) = L d . G(s) = (1 + Td' . s). (1 + Td'' . s) (1 + Tdo' . s). (1 + Tdo'' . s) 3 M 1 + TD . s 2 df . rf (1 + Tdo' . s). (1 + Tdo'' . s) L q (s) = L q . (1 + Tq'' . s) (1 + Tqo'' . s) Dans le cas d'une machine synchrone sans amortisseurs ou d'une étude d'une machine complète sur une période assez longue, la présence des amortisseurs est négligée. De ce fait, les fractions opérationnelles Ld(s), G(s) et Lq(s),représentées par les équations ci-dessus perdent un degré s au numérateur et dénominateur lié à l'annulation des constantes de temps subtransitoires. Les expressions précédentes deviennent : (1 + Td' . s) L d (s) = L d . (1 + Tdo' . s) 3 M 1 2 df G(s) = . rf (1 + Tdo' . s) L q (s) = L q Court circuit triphasé à vide On court-circuit simultanément les trois phases d’un alternateur initialement à vide. va = vb = vc = 0 et vf reste constante Problème : connaître ia, ib et ic On obtient : 17 t t 1 1 1 − T' 1 1 − T" − + − e + − e X X ' X X " X ' d d d d d 1 −αt 1 1 e cosθ0 ia ( t ) = E 2 + + 2 X " X " d q 1 1 1 −αt + e cos(ωe t + θ0 ) − 2 X "d X "q d d cos(ωe t + θ0 ) Cette relation fait apparaître trois termes : • une composante pseudo-périodique amortie qui correspond à l’extinction du flux initialement emprisonné dans les circuits du rotor. T’d est principalement conditionnée par les paramètres du circuit inducteur et T’’d par les paramètres du circuit amortisseur d’axe direct. A ce flux correspond un champ, qui tournant à la vitesse ω e y induit un courant de pseudo pulsation ω e s’éteignant avec une loi faisant intervenir les même constantes de temps. • une composante apériodique qui correspond à l’extinction du flux initialement emprisonné dans la phase a du stator avec la constante de temps 1/α avec α= Ra ωe ω + e . Son amplitude dépend de la position de l’enroulement par 2 X "d X "q rapport au circuit inducteur au moment du court-circuit. • une composante amortie de fréquence double liée à l’anisotropie des circuits rotoriques défilant devant le stator. 18 Détermination des paramètres Caractéristique en circuit ouvert : Mode opératoire : Entraîner le rotor à la vitesse de synchronisme et faire croître le courant inducteur If de 0 à Ifnom de manière monotone. Refaire la même expérience en faisant décroître If de Ifnom à 0 da manière monotone. Ua If Caractéristique en court-circuit : Mode opératoire : Le rotor est entraîné à la vitesse de synchronisme. Le courant inducteur étant nul, les bobinages statoriques sont court-circuités. Le courant inducteur est augmenté progressivement de manière à ce que le courant d’induit passe de 0 à sa valeur nominale. Ia If 19 Détermination de la réactance synchrone (diagramme de Ben Eschenburg) Hypothèse : machine non saturée Ra Xs Ua=0 Nous avons : X s ( nonsaturé) = Ef Ef1 I a1 en supposant Ra<<Xs Ua , Ia Droite d'entrefer Ef1 Ua(If) Ia(If) Ia1 If1 If F Remarque : Si cette réactance est donnée pour des tensions simples, le résultat doit être divisé par 3 . Détermination des réactances synchrones Xd et Xq d’une machine à pôles saillants par un test de glissement n<n1 A V AC Variac A f Moteur DC V A Mode opératoire : Les enroulements statoriques sont alimentés par des tensions réduites triphasées équilibrées. Le rotor est entraîné par une machine à courant continue à une vitesse n légèrement au dessous ou au dessus de la vitesse de synchronisme n1 . 20 L’ordre de succession des phases doit être telle que la force magnétomotrice et le rotor tourne dans le même sens. L’enroulement inducteur, maintenu ouvert, n’est pas excité. 5000 isa i 0 5000 0 0.5 1 t 1.5 2 1.5 2 i 400 200 uf i 0 200 400 0 0.5 1 t i Courant induit et tension inducteur L’application des tensions statoriques crée un champ tournant à la vitesse n1. Le rotor et donc les axes d et q glissent successivement sous le champ statorique. Durant une intervalle de temps, le champ statorique sera aligné avec le circuit magnétique rotorique. L’entrefer sera alors minimal et le courant statorique passera par un minimum. Quelques instant plus tard, le champ magnétique statorique sera en quadrature avec le circuit magnétique. Le courant passera alors par un maximum. Ce battement se produit à une fréquence n1-n. On montre : X d I max = et Xd peut être déterminé par les essais en circuit ouvert et en X q I min court-circuit. Xd = U max U min et X q = en enregistrant les variations de la 3I min 3I max tension dues aux chutes dans les inductances internes du variac. ü Attention : Le glissement doit être très faible (<0.01) 21 Détermination des réactances transitoire X’d et subtransitoire X’’d par l’ouverture des enroulements statoriques préalablement en court-circuit A n Iacc V A Moteur DC f V A A n Iacc Ua0 A V Moteur DC f V A ua Ua0 u'a u''a t On démontre : X d′′ = U a′′ U' et X 'd = a I acc I acc 22 Essai de mise en court-circuit symétrique des enroulements statoriques Les enroulements statoriques sont simultanément court-circuités. Les courants statoriques et le courant d’excitation sont enregistrés. La machine non chargée est entraînée au synchronisme avant le court-circuit. Elle possède une inertie suffisante pour conserver sa vitesse après le court-circuit. On démontre alors : i s = I ss + ∆i ' s + ∆i ' ' s = I ss + ( U U − t / T 'd U U − t / T ′′d − )e +( − )e X 'd X s X ' 'd X 'd A partir de l’enveloppe du courant de court-circuit, on obtient : is B I''d A i''s I'd i's enveloppe Iss=U/Xs t Remarques : X’s=X’d et X’’s = X’’d 23 Notion de valeurs réduites La machiné synchrone est supposée caractérisée par : • sa tension nominale efficace entre phase et neutre Vn, • son courant nominal efficace de ligne In, • sa puissance apparente nominale Sn = VnIn, ωn • sa vitesse angulaire p A un régime permanent synchrone, à un courant I, une tension V, une f.e.m. E sont associées les valeurs réduites : I E V i= e= v= In , Vn Vn , En régime quelconque , à une impédance Z caractéristique su stator, à une puissance active P ou réactive Q, à un couple C sont associées les valeurs réduites : ZI n ωn C P Q z= p= q= c= Vn , Sn , Sn , pSn L’équation du mouvement fait alors apparaître la constante d’énergie cinétique (exprimée en s) : 2 1 ωn J H= 2 p Sn A chaque grandeur physique associée à un enroulement (courant, tension, flux) est attribué une valeur de base permettant la conversion en valeur réduite. Pour les grandeurs associés aux enroulements d et q, la valeur de base est la valeur nominale crête : id id ( p. u.)i = 2I n , vd Ψd vd ( p. u.)i = Ψd ( p. u.)i = 2Vn , 2Vn Ä Attention : la relation adoptée n’est pas homogène de sorte de ne pas modifier l’opérateur de dérivation en passant en grandeurs réduites.. 24