Correction au format pdf - XMaths

CORRECTION Exercice 8
1°) Voir dessin sur dernière page.
2°) a) On sait que
L'interprétation géométrique
du module et de l'argument
d'un tel quotient fait partie
des connaissances
essentielles sur les nombres
complexes.
Sauf s'il est extrêmement
compliqué, ce type de calcul
doit aboutir à un résultat
donné sous forme algébrique.
Il ne faut pas s'arréter à
1 + 2i
qui ne permet pas de
-2 + i
poursuivre.
Le module et l'argument de
-i doivent être donnés sans
hésitation.
zC - zA
| z - zA | AC
= C
=
,
| zD - zB | BD
zD - zB
z - zA  → →
arg  C
 = ( BD, AC) [2π] .
 zD - zB 
et
z - zA 2 + 3i - ( - i )
2°) b) C
=
= 2 + 4i = 1 + 2i = (1 + 2i)(-2 - i)
zD - zB
-1 + 2i - 3
-4 + 2i -2 + i (-2 + i)(-2 - i)
donc
zC - zA -2 - i - 4 i + 2 -5 i
=
=
5
zD - zB
4+1
donc
zC - zA
=-i .
zD - zB
2°) c) On sait que | -i | = 1 et arg(-i) = - π [2π] .
2
z - zA
On peut alors déduire de a) et b) que : AC = C
= | -i | = 1
BD
zD - zB
→ →
z - zA 
π
et ( BD, AC) = arg  C
 = arg(-i) = - 2 [2π]
z
z
 D B
Donc [AC] et [BD] sont perpendiculaires et de même longueur .
Attention, ne pas oublier de
justifier que ABCD est un
parallélogramme.
Un quadrilatère dont les
diagonales ont même
longueur et sont
perpendiculaires n'est pas en
général un carré.
3°) a) Le quadrilatère ABCD a des diagonales perpendiculaires et de même
longueur. Démontrons qu'elles ont aussi le même milieu.
z + zC - i + 2 + 3i 2 + 2i
Le milieu de [AC] a pour affixe : A
=
=
=1+i
2
2
2
z + zD 3 -1 + 2i 2 + 2i
Le milieu de [BD] a pour affixe : B
=
=
=1+i.
2
2
2
Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu, ABCD est
donc un parallélogramme. Comme de plus [AC] et [BD] sont
perpendiculaires et de même longueur, ABCD est un carré .
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TS - Révisions - Exercice n°8 - Corrigé
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Le texte ne précise pas l'unité
à utiliser. On peut donc
répondre en unités d'aire ou
en cm2, mais il faut le
préciser.
3°) b) On a AB = | zB - zA | = | 3 + i | =
32 + 12 = 10
ABCD étant un carré, on a s0 = AB2 donc s0 = 10 unités d'aires ,
c'est-à-dire s0 = 40 cm2.
→
→
→
→
→
→
→
4°) a) De l'égalité DA1 = A1B1 = B1C on peut déduire DA1 = A1B1 = B1C = 1 DC
3
et placer les points A1 B1 puis C1 et D1 sur le dessin.
Attention, si les longueurs
sont multipliées par un
coefficient k, l'aire est
multipliée par k2.
4°) b) Le carré A1B1C1D1 a pour coté A1B1 = 1 DC = 1 AB
3
3
2 1
1
son aire s1 en unités d'aire est donc  AB  = AB2 = 10
3
 9
9
Donc
s1 = 10 unités d'aires , c'est-à-dire s1 = 40 cm2 .
9
9
5°) a) On trace de même que précédemment le carré A2B2C2D2 .
5°) b) Par le même raisonnement il apparaît que le coté du carré
An+1Bn+1Cn+1Dn+1 est le tiers du coté du carré AnBnCnDn .
Il est indispensable de
remarquer que la suite est
géométrique afin de pouvoir
utiliser les résultats connus
sur de telles suites.
On a donc sn+1 = 1 sn
9
pour tout n ∈ IN .
La suite (sn) est donc une suite géométrique de raison 1 et de premier
9
terme s0 = 10.
n
On sait alors que sn = s0 x 1
9
Attention : la somme des
termes de l'indice 0 à l'indice
n est une somme de n+1
termes.
donc
sn = 10 x 1 unités d'aire .
9n
5°) c) On a Sn = s0 + s1 + s2 + ... + sn
Sn est donc la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique
de premier terme 10 et de raison 1 . On sait alors que :
9
n+1
1
1- 1
1- 
9
9n+1

Sn = 10 x
= 10 x
donc
Sn = 45 x 1 - 1 
1
8
4 
9n+1
19
9
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Le résultat
lim qn = 0
n→+∞
n'est valable que lorsque
-1 < q < 1
(inégalités strictes)
Une suite est convergente
lorsque sa limite existe et
qu'elle n'est pas infinie.
5°) d) On a -1 < 1 < 1, donc
9
n
1 =0
n→+∞ 9 
lim
et
n+1
1
n→+∞ 9 
lim
= 0.
lim Sn = 45 .
4
On en déduit alors que :
n→+∞
Cette limite étant finie, la suite Sn est convergente .
C2
D2
C1
D1
A2
B2
C
B1
A1
D
Faire un dessin précis en
respectant les unités données
dans le texte.
→
v
→
O
u
B
A
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