Exercice 1 - M. Philippe.fr

Résoudre un problème à l'aide d'une fonction
Enoncé
ABCD est un carré de côté 6 cm. Le point E est un point du segment [BC].
La parallèle à (AB) passant par E coupe la diagonale [BD] en M.
Problème étudié
Peut-on placer E sur [BC] de telle sorte que l'aire du trapèze ABEM soit
égale à la moitié de celle du carré ABCD ?
On pose x = BE (en cm)
On définit la fonction f qui associe à x l'aire du trapèze ABEM (en cm 2 )
1)
2)
3)
Dans quel intervalle peut varier x ? Quel est l'ensemble de définition de f ?
a) Justifier que ME = x puis exprimer f(x) en fonction de x
b) Etablir un tableau de valeurs de f pour x variant de 0 à 6 avec un pas de 1.
c) Représenter graphiquement la fonction f ( unités : 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 4 en ordonnée)
a) Où placer le point E de telle sorte que le trapèze ait pour aire la moitié de celle du carré ?
b) Calculer f 3 –  5 . Conclure.
Corrigé
1) Comme E appartient à [BC], BE peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 ( E = B ) et 6 ( E = C ) donc x ∈ [0;6]
et la fonction f est définie sur [0;6]

2) a) ABCD est un carré donc 
DBC = 45° = M
BE . Le triangle MBE est rectangle en E donc 
MEB = 90° . Le
troisième angle mesure donc 180 – 45 – 90 = 45. Le triangle MBE possède donc deux angles de même mesure, il est
isocèle en E d'où ME = BE = x
petit base  grande base  × hauteur
L'aire d'un trapèze est :
donc :
2
ME AB × BE
x6 × x
air (ABME) =
=
2
2
b) La calculatrice donne le tableau de valeurs suivant :
x
0
1
2
3
4
5
6
A(x)
0
3,5
8
13,5
20
27,5
36
c) On place les points correspondants au tableau puis on en ajoute quelques uns
pour obtenir un tracé soigné
3) a) Le carré a pour aire 36 cm 2 . On cherche donc x pour que f(x) =
36
=18
2
D'après le graphique, 18 semble avoir un seul antécédent par f pour x ≈ 3,7
Donc il faut placer E tel que BE ≈ 3,7
b) f 3  5 – 3=
3  5 – 363  5 – 3 3  533  53 9 × 5 – 9
=18
=
=
2
2
2
3  5 – 3 est donc un antécédent de 18 par f. On peut donc placer E sur [BC] tel que
BE = 3  5 – 3 cm soit BE ≈ 3,7 cm au mm près