Analyse de FOURIER - Ma Prépa concours

Analyse de FOURIER
I.
·
Analyse de Fourier :
Décomposition harmonique : toute fonction périodique (son musical) peut être décomposé en
une somme (infinie) de fonctions sinus et cosinus.
Un signal est la somme de plusieurs sinusoïdes d’amplitude différentes, et décalées en phase,
appelées : harmoniques (
); la fréquence de chaque fonction est un multiple de la
fondamentale
( )=
+[
( )+
…+ [
(
( )] + [
)+
(
(
)+
)]
(
)] + ⋯
Intérêt : il est plus facile de connaître les propriétés de la fonction résultante en analysant les propriétés
de chacune des composantes ; de plus, connaître un nombre limité de composantes suffit à bien
représenter (voire « reconstruire » : synthétiseur) le signal
·
Analyse spectrale : il est utile de présenter les résultats de l’Analyse de Fourier d’une fonction
périodique f(t) au moyen de son spectre ( ) qui est soit :
Ø un diagramme Fréquence-Amplitude : pour le spectre en amplitude (en abscisse les
fréquences des différentes harmoniques, en ordonnée leur amplitude)
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Ø un diagramme Phase-Amplitude : pour le spectre de phase (en abscisse les fréquences des
différentes harmoniques, en ordonnée leur phase à l’origine –décalage initial-)
« Une fonction du temps peut être entièrement décrite par son spectre de fréquence
et son spectre de phase (et son amplitude) »
Intérêt : la conversion du signal dans le domaine des fréquences peut rendre l'interprétation des
informations qu'il contient beaucoup plus aisée –audition, spectrométrie RMN,…-)
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Timbre : pour un signal périodique, le spectre est discontinu (spectre discret), il est formé de « raies
spectrales » ; l’analyse spectrale permet de rendre compte immédiatement de la richesse en
harmoniques d’un son : notion de timbre.
(Remarque : un son pur ne contient qu’une seule raie : la fondamentale, et aucune harmonique ; sinon
c’est un son complexe)
exemple : la fonction créneau/carré :
Plus il y a d’harmoniques impaires, plus ça ressemble à une fonction crêneau/carrée. Plus précisément,
plus on met de fonctions cosinus avec des coefficients impairs, ou plus il y a de fonctions sinus avec
des coefficients impairs, plus ça ressemble à une fonction créneau :
Notons que l’amplitude des harmoniques d’une fonction carré décroît avec la fréquence :
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II.
Transformation de Fourier :
La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non-périodiques
(signaux non-musicaux, ex : bruits…). Elle permet alors également d’associer à toute fonction son
spectre en fréquences.
En fait, une fonction non-périodique est assimilée à une fonction périodique de période infinie
( ⟶ ∞) ; or, si T est très grande, l’ensemble des fréquences est un ensemble qui couvre presque tout
le spectre des fréquences ⟹ le spectre discret passe en spectre continu : il faut passer à l’intégrale :
( )=
( ).
( ) est en général complexe
La fonction f(t) est en général réelle ⟹ sa T.F
⟶ la fréquence fondamentale est nulle (alors qu’un son « musical » est caractérisé par sa
fondamentale )
⟶ le spectre est continu (alors qu’un son « musical » a un spectre discret de fréquences) ;
écart nulle entre les harmoniques
a) La fonction porte : (modélise l’apparition d’un signal sur une durée finie )
La fonction porte dont l’amplitude
période) vaut :
est définie sur – ;
−
( )=
vaut (attention
ne représente pas une
≤ ≤
⟹ La Transformée de Fourier d’une fonction porte est une fonction sinus cardinal :
( )=
(
)
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=
(
)
Ø la fonction sinus cardinal est paire
Ø la fonction sinus cardinal s’annule pour les valeurs entières de car :
Ø l’amplitude de ( ) est nulle lorsque ⟶ ±∞ :
=
Ø ( ) est maximale pour = 0 ; sin (0) = 1 ⟹ ( )
Ø
( ) est nulle lorsque
=±
⟶ ±∞
convolue de la fonction porte : la fonction sinus cardinal
Relation entre largeur temporelle d’une fonction et la largeur de son spectre :
Largeur de la porte :
Largeur à mi-hauteur du lobe central : 2/
⟹
(Rem : la largeur à mi-hauteur sert à rendre compte du plus ou moins grand étalement de la
fonction ; caractérise le profil d’une gaussienne ou une lorentzienne)
Ø Si la porte ( ) est très large (fonction qui dure « longtemps »),
sera grand, et 2
sera
petite : la largeur du spectre sera étroit ⟹ « une fonction qui dure longtemps a un spectre
étroit »
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Ø corollaire : si la porte ( ) est étroite (bruit bref), la largeur du lobe central sera grande, et le
specte large ⟹ « plus le son est bref, sec, plus il y a de fréquences excitées »
Spectre bruit sec
⟹ « la largeur de la bande de fréquences varie en sens inverse de la durée du son »
Ø Bruit blanc : à la limite, le son contient toutes les fréquences ⟹ spectre continu, fondamentale
nulle
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b) La fonction impulsion exponentielle :
La fonction exponentielle décroissante de constante de temps
( )=
( )= .
vaut :
<0
≥
⟹ La T.F d’une fonction exponentielle est une distribution de Lorentz (lorentzienne).
On ne peut représenter ( ) qui est complexe, mais pour le physicien, l’étude la partie réelle de cette
fonction [ ( )] - autrement appelée Intensité spectrale - suffira :
⟹
[ ( )] est la graphe de l’amplitude A selon la fréquence, et est un nombre réel :
[ ( )] =
+(
La largeur à mi-hauteur de la fonction lorentzienne vaut
constante de temps
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)²
et varie donc en sens inverse la
Relation entre
et largeur à mi-hauteur :
Ø Si faible (décroissance rapide),
est grande, et la largeur à mi-hauteur est grande
⟹ fonction très étalée, grand nombre de fréquences excitées
Ø Si élevée (lente décroissance),
est faible, et la largeur à mi-hauteur est étroite
⟹ pic étroit, courbe peu étalée, faible nombre de fréquences dans le spectre
III.
Filtrage d’un signal :
Il existe donc deux représentations complémentaires d’un signal : amplitude-temps f(t) et amplitudefréquence ( ).
Il apparaît souvent que, dans les signaux issus du phénomène étudié, se soient greffés nombre
d’informations inutiles : les bruits. On cherchera donc à augmenter le rapport signal / bruit soit :
⟶ en faisant un filtrage temporel permettant de ne prendre en compte que les instants où le
signal utile existe
⟶ en faisant un filtrage fréquentiel grâce à la TF permettant de sélectionner les bandes de
fréquence occupées par le signal utile, et d’en éliminer les bruits parasites.
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