Specialite-10_files/DS Spé n°5 2010 - Flûte de pan

DS de Spécialité no5
Quelques propriétés de la flûte de Pan
La flûte de Pan est très certainement un des instruments les plus faciles à fabriquer. Il suffit de quelques
bouts de roseau bien évidés, d’un peu de bougie et d’un
bon couteau !
Cette flûte consiste en une série de tuyaux de longueurs
différentes qui sont maintenus ensemble par des ligatures (voir figure ci-dessous). Une extrémité de chaque
tuyau est à l’air libre, l’autre (le fond) est fermée.
1
2
3
4
5
2.2. Dans quel type d’ondes peut-on observer des
nœuds et des ventres de vibration ?
3. Modes propres
On note λ la longueur d’onde du son de fréquence f .
3.1. Exprimer λ en fonction de f et des données du
problème.
3.2. Montrer que le tuyau de la flûte de longueur L est
accordé sur le son de longueur d’onde λ si :
λ λ
+
2
4
où n est un nombre entier positif ou nul.
L=n
3.3. On appelle mode chaque valeur de n.
Qu’appelle-t-on mode fondamental ? Que vaut L
dans ce cas ?
Une fois construite, cette flûte permet de jouer les notes
do3 , mi3 , sol3 , do4 et mi4 . Les deux dernières notes sont
à l’octave respectivement des notes do3 et mi3 , c’est-àdire qu’il y a une octave entre do3 et do4 (idem pour
mi3 et mi4 ), la note do4 étant plus aiguë que do3 (idem
pour mi4 plus aiguë que mi3 ).
Une recherche documentaire a permis de connaı̂tre les
fréquences des trois premières notes dans la gamme tempérée :
Notes
Fréquence en Hz
do3
262
mi3
328
sol3
393
1. Fréquences des notes
Rappeler la définition de deux sons à l’octave et déterminer les fréquences des deux notes do4 et mi4 .
2. Ondes stationnaires
On rappelle que :
• les sons sont produits par les vibrations des colonnes d’air contenues dans les tuyaux ;
• la vitesse de propagation (célérité) des sons dans
l’air est c = 340 m.s−1 .
Une étude plus fine montre qu’il y a toujours un
nœud de vibration à une extrémité fermée d’un
tuyau et un ventre de vibration à une extrémité ouverte.
2.1. Définir ce qu’on appelle nœud de vibration et
ventre de vibration.
3.4. Déterminer la longueur de chacun des 5 tuyaux de
la flûte de Pan dont le fondamental est accordé sur
chacune des 5 notes do3 , mi3 , sol3 , do4 et mi4 .
3.5. On dit parfois que les seuls sons possibles pour une
flûte de Pan sont les harmoniques impairs. Justifier cette affirmation.
4. Enregistrement du tuyau no 3
Un microphone enregistre le son produit par le tuyau
no 3. La tension-image de ce son est ensuite analysée
par un ordinateur.
Représenter ce que donnerait une analyse fréquentielle (ou spectre fréquentiel) du son produit par le
tuyau no 3 : en abscisses les fréquences des modes
et en ordonnées les amplitudes (arbitraires). Votre
schéma devra comporter au moins 4 harmoniques.
5. Niveau sonore
5.1. On mesure le niveau sonore créé par une flûte de
Pan à l’aide d’un décibelmètre, à d1 = 1, 0 m de
distance de l’instrument. On obtient un niveau sonore L1 = 58 dB. Que vaudra le niveau sonore L2
à une distance d2 = 2, 0 m ?
5.2. Calculez l’intensité sonore I1 reçue lors de la mesure no 1 précédente. Donnée : intensité de référence : I0 = 10−12 W.m−2 .
6. Influence de la température
La célérité du son dans l’air augmente (faiblement)
avec la température. Prévoir qualitativement si les
notes jouées vont être toutes légèrement plus aiguës
ou plus graves quand la température augmente. On
ne raisonnera que sur le mode fondamental de vibration et on négligera la dilatation des tuyaux.
Correction du DS de Spécialité no 5
Quelques propriétés de la flûte de Pan
1. Fréquences des notes
Deux sons sont dits à l’octave si leurs fréquences sont
dans un multiple deux.
Les notes do4 et mi4 étant plus aiguës que le do3 et
le mi3 , leurs fréquences sont deux fois plus grandes :
Notes
Fréquences en Hz
do4
524
mi4
656
2. Ondes stationnaires
2.1. Un nœud de vibration est un point de vibration
nulle, alors qu’un ventre est un point de vibration
maximale.
2.2. On observe des nœuds et des ventres avec des
ondes stationnaires.
3. Modes propres
3.1. λ = c/f
3.2. Au minimum, on peut faire passer dans le tuyau
un demi-fuseau, correspondant à un quart de longueur d’onde :
L=
λ
4
3.5. Cherchons la relation de quantification des fréquences :
"
!
c
n 1
+
λ et λ =
L=
2 4
f
!
"
n 1 c
⇒ L=
+
2 4 f
2n + 1 c
4 L
On constate qu’avec 2n + 1 en facteur, nous
n’aurons que les fréquences impaires des modes
propres :
f=
⇔
n=0
n=1
n=2
n=3
...
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
2n + 1 = 1
2n + 1 = 3
2n + 1 = 5
2n + 1 = 7
...
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
f0
f1 = 3f0
f1 = 5f0
f1 = 7f0
...
4. Enregistrement no 3
Amplitude
On peut ensuite ajouter des fuseaux, par nombre
entier de fuseaux, donc par demi-longueurs
d’onde :
f (Hz)
λ λ
L= +
4
2
L=
5. Niveau sonore
5.1. En doublant la distance, on diminue le niveau sonore de 3 dB, donc L2 = 55 dB. Bonus de 1 point
ici pour ceux qui m’ont refait la démonstration du
cours.
λ
λ
+2
4
2
5.2. Formule liant niveau et intensité sonores :
Et cetera.
On voit que ceci correspond bien à la formule proposée, avec n qui peut être nul.
3.3. Le mode fondamental est pour n = 0, c’est le
mode correspondant à la vibration résonante de
plus basse fréquence.
La relation se simplifie alors en L = L4 .
3.4. La longueur de chaque tuyau est telle que :
λ
c
=
4
4f
Applications numériques :
L=
do3
→ L=
340
4×262
= 0, 324 m
mi3
→ L=
340
4×328
= 0, 259 m
sol3
→ L=
340
4×393
= 0, 216 m
do4
→ L=
340
4×524
= 0, 162 m
mi4
→ L=
340
4×656
= 0, 130 m
L1 = 10 log
I1
I0
L1
⇔
I1 = I0 10 10
Application numérique :
58
I1 = 10−12 × 10 10 = 6, 3·10−7 W.m−2
6. Influence de la température
Comme on néglige la dilatation des tubes constituant la flûte de Pan, la longueur L ne change pas,
et donc la longueur d’onde λ des modes propres non
plus ; En revanche la célérité c augmente quand la
température augmente, et la fréquence est donnée
par :
λ=
c
f
⇔
f=
c
λ
On constate que la fréquence est proportionnelle à
la célérité ; donc la fréquence augmente, et par suite
les notes seront toutes légèrement plus aiguës.
Spe DS5 - Pan
Spe DS5 - Pan
Octave
do4 : 524 Hz
mi4 : 656 Hz
Nœud = vibration nulle, ventre = vibration max
Ondes stationnaires
λ = c/f
Explication formule
Explication formule
Fondamental : n = 0
Fondamental : plus basse fréquence
L = λ/4
do3 : 0,324 m, mi3 : 0,259 m
sol3 : 0,216 m, do4 : 0,162 m, mi3 : 0,130 m
c
f = 2n+1
4 L
Donc fréquences impaires
Spectre 4 harmoniques
L2 = 55 dB, expliqué
Bonus : démonstration
-3 dB
L1
10
I1 = I0 10
L1 = 6, 3·10−7 W.m−2
Notes plus aiguës, justifié
Note
.../20
Octave
do4 : 524 Hz
mi4 : 656 Hz
Nœud = vibration nulle, ventre = vibration max
Ondes stationnaires
λ = c/f
Explication formule
Explication formule
Fondamental : n = 0
Fondamental : plus basse fréquence
L = λ/4
do3 : 0,324 m, mi3 : 0,259 m
sol3 : 0,216 m, do4 : 0,162 m, mi3 : 0,130 m
c
f = 2n+1
4 L
Donc fréquences impaires
Spectre 4 harmoniques
L2 = 55 dB, expliqué
Bonus : démonstration
-3 dB
L1
10
I1 = I0 10
L1 = 6, 3·10−7 W.m−2
Notes plus aiguës, justifié
Note
Spe DS5 - Pan
Spe DS5 - Pan
Octave
do4 : 524 Hz
mi4 : 656 Hz
Nœud = vibration nulle, ventre = vibration max
Ondes stationnaires
λ = c/f
Explication formule
Explication formule
Fondamental : n = 0
Fondamental : plus basse fréquence
L = λ/4
do3 : 0,324 m, mi3 : 0,259 m
sol3 : 0,216 m, do4 : 0,162 m, mi3 : 0,130 m
c
f = 2n+1
4 L
Donc fréquences impaires
Spectre 4 harmoniques
L2 = 55 dB, expliqué
Bonus : démonstration
-3 dB
L1
10
I1 = I0 10
L1 = 6, 3·10−7 W.m−2
Notes plus aiguës, justifié
Note
.../20
.../20
Octave
do4 : 524 Hz
mi4 : 656 Hz
Nœud = vibration nulle, ventre = vibration max
Ondes stationnaires
λ = c/f
Explication formule
Explication formule
Fondamental : n = 0
Fondamental : plus basse fréquence
L = λ/4
do3 : 0,324 m, mi3 : 0,259 m
sol3 : 0,216 m, do4 : 0,162 m, mi3 : 0,130 m
c
f = 2n+1
4 L
Donc fréquences impaires
Spectre 4 harmoniques
L2 = 55 dB, expliqué
Bonus : démonstration
-3 dB
L1
10
I1 = I0 10
L1 = 6, 3·10−7 W.m−2
Notes plus aiguës, justifié
Note
.../20