Terminale ES Lycée Français de Barcelone Baccalauréat Blanc

Terminale ES
Lycée Français de Barcelone
Baccalauréat Blanc Mathématiques
Durée : 3 h
( 5 points )
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées ;
une seule de ces réponses est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez la réponse exacte sans justifier
votre choix.
Barème : À chaque question est attribué un certain nombre de points.
Une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points attribué.
Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Si le total des points est négatif la note attribuée à l’exercice est ramenée à zéro.
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 10] et la fonction composée g = ln ◦f . Sur la figure
→ →
ci-dessous, le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ).
La courbe C est la courbe représentative de f .
Les points A(−1 ; 0), B(0 ; 2,5), C(2 ; 4), D(6 ; 0), E(8 ; −1) et F(10 ; 0) sont des points de C.
La droite (d) est la tangente à C au point B.
Les tangentes à C aux points C et E sont parallèles à l’axe des abscisses.
1. Quelle est la valeur de f 0 (0) ?
a. f 0 (0) = 2, 5 ;
b. f 0 (0) = 2 ;
c. f 0 (0) = 0, 5.
2. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g, noté Dg ?
a. Dg =] − 1 ; 6[ ;
b. Dg =]0 ; 10[ ;
c. Dg =] − 2 ; 10[.
3. Quelle est la valeur de g(0) ?
a. g(0) = 2, 5 ;
c. g(0) = ln(2, 5).
b. g(0) = 0 ;
4. Quelle est la valeur du coefficient directeur m de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 0 ?
1
a. m = 2 ;
b. m = ;
c. m = 0, 8.
2
5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers −1 ?
a. lim g(x) = 0 ;
b. lim g(x) = −∞ ;
c. lim g(x) = +∞.
x→−1
x→−1
6. Quelle l’ensemble S des solutions de l’équation g(x) = 0 ?
a. S = {−0, 5 ; 5} ;
b. S = {2, 5} ;
x→−1
c.S = {−1 ; 6} .
( 4 points )
Exercice 2
Commun à tous les candidats
Dans une région, on effectue un sondage à propos de la pose d’éoliennes et on a obtenu les résultats suivants :
• 65% des personnes interrogées sont contre la pose d’éoliennes.
• Parmi les personnes qui sont contre la pose d’éoliennes, 70% sont écologistes.
• 52, 5% des personnes interrogées sont écologistes.
On interroge l’une de ces personnes au hasard. On note :
– F l’événement :« la personnes interrogée est favorable aux éoliennes ».
– E l’événement :« la personne interrogée est écologiste ».
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Traduire les trois données de l’énoncé avec les notations des événements données ci-dessus.
2. On note p, la probabilité pF (E).
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous correspondant aux divers cas possibles :
p
bE
F
b
:
:
bE
b
:
:
b:
:
b
:
b:
3. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit contre la pose des éoliennes et écologiste.
4. Montrer que p (F ∩ E) = 0, 07.
En déduire la valeur de p = pF (E).
5. Calculer la probabilité pE (F ). On donnera le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Partie B
On rappelle que p(E) = 0, 525.
On interroge successivement quatre personnes de la région. Chacune de ces personnes répond indépendamment
des autres.
On donnera les résultats arrondis aux centièmes.
1. Quelle est la probabilité d’interroger quatre personnes écologistes ?
2. Quelle est la probabilité d’interroger au moins une personne écologiste ?
( 5 points )
Exercice 3
Pour les candidats n’ayant pas choisi spécialité
Le but de cet exercice est l’étude d’une fonction définie partiellement par sa représentation graphique ; on
considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par :
f (x) = ax + bx ln(x) − 1 où a et b sont deux réels non nuls.
La courbe représentative C de la fonction f sur ]0 ; 2] est donnée en annexe 1 ci-dessous.
La tangente en A(1 ; 2) à la courbe C passe par le point B(2 ; 11).
Partie A
1. (a)
(b)
2. (a)
(b)
Déterminer graphiquement f (1).
En déduire que a = 3.
Déterminer graphiquement f 0 (1).
Exprimer f 0 (x) en fonction de a et b et en déduire la valeur de b.
Dans la suite du problème la fonction f est définie sur ]0 ; +∞[ par :
f (x) = 3x + 6x ln(x) − 1.
Partie B
1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.
(On pourra utiliser le résultat suivant : lim x ln(x) = 0.)
x→0
2. (a) On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[.
Montrer que pour tout x ∈]0 ; +∞[ : f 0 (x) = 9 + 6 ln(x)
(b) Étudier le signe de f 0 et en déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(c) Montrer que f (e−1,5 ) = −6e−1,5 − 1 puis en donner la valeur arrondie aux centièmes.
(d) Dresser le tableau de variation de f
3. Montrer (sans utiliser le graphique) que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur ]e−1,5 ; +∞[.
4. Donner un encadrement de α d’amplitude 0,01.
Annexe 1
( 6 points )
Exercice 4
Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur I = ] − ∞ ; +1[ par :
f (x) =
ln(1 − x)
+ x + 1.
1−x
→ →
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; i ; j ) (unité
graphique : 2 cm).
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur I par
g(x) = x2 − 2x + ln(1 − x).
1. Étudier la variation de g sur I (on ne demande pas le calcul des limites).
2. Calculer g(0).
Étudier le signe de g(x) sur ]- ∞ ; + 1[.
Partie B - Étude de la fonction f
1. (a) Calculer la limite de f en −∞.
On admettra le résultat suivant : la limite de
ln(1 − x)
quand x tend vers −∞ vaut zéro.
1−x
(b) Calculer la limite de f en + 1 et interpréter graphiquement le résultat.
2. On admet que la dérivée f 0 de la fonction f vérifie l’égalité ci-dessous :
f 0 (x) =
g(x)
.
(1 − x)2
En déduire les variations de f puis dresser le tableau de variation de f sur I.
3. Soit la droite D d’équation y = x + 1.
(a) Montrer que D est asymptote à C en - ∞.
(b) Déterminer la position de C par rapport à D suivant les valeurs de x.
4. Tracer la courbe C avec ses asymptotes dans le repère orthonormal défini dans l’introduction.
(Unité graphique : 2 cm.)