Petits problèmes au quotidien

Christian Boissinotte (pour Mme Irène Legault)
C. s. de Montréal
1.
Une boîte contient quatre billes identifiées respectivement des chiffres 1, 9, 9 et 8.
Les billes sont sorties l'une après l'autre de la boîte et sont placées dans l'ordre de
leur sortie, formant ainsi un nombre à quatre chiffres. Quelle est la probabilité que le
nombre ainsi formé soit un nombre premier ?
2.
Soit le rectangle ABCD et F un point situé sur le segment AB. Les prolongements
des segments DF et CB se rejoignent au point E. Le point G est à l'intersection des
segments DE et AC. Sachant que le segment FG mesure deux unités et que le segment FE mesure six unités, déterminez la longueur du segment DG. (Voirfigure)
3.
La somme des racines carrées de deux nombres est 5. Trouvez ces deux nombres
sachant que leur différence est aussi de 5.
4.
L'aire d'un rectangle est de 360 m^. Si sa longueur est augmentée de 10 mètres et
que sa largeur est diminuée de 6 mètres, son aire ne varie pas. Trouvez le périmètre
du rectangle original.
5.
Deux polygones convexes ont en tout dix côtés et onze diagonales. De quels types
sont ces polygones ?
6.
Soit le pentagone régulier ABCDE et le segment BF qui appartient à la bissectrice de
l'angle ABE. Prouvez que le segment BF est perpendiculaire au côté BC. (Voirfigure)
7.
Un drapeau est formé d'une croix symétrique (verticalement et horizontalement),
centrée dans un rectangle, et ses quatre bras sont de même largeur. Si le rectangle
mesure 3 unités par 4, quelle devrait être la largeur des bras de la croix pour que son
aire soit égale à la moitié de celle de l'ensemble du drapeau? (Voirfigure)
8.
Avec 13 allumettes, on peut former une figure constituée de six régions isométriques.
Pourriez-vous mettre au point une autre figure avec 12 alumettes de façon à obtenir'
six regions isométriques? (Voirfigure)
9.
On nous donne 87 machins. Les 34 trucs et les 49 bidules sont tous des machins. Si
exactement 9 machins sont à la fois des trucs et des bidules, combien de machins ne
sont ni des trucs ni des bidules ?
10.
Deux joueurs peuvent, tour à tour, ajouter deux, trois ou quatre pièces de monnaie
sur une pile. Supposons qu'au départ la pile soit vide, et que celui qui place la douzième pièce gagne toute la pile, quel joueur est en mesure de toujours gagner et
quelle devra être sa stratégie?
11.
Si les chiffres de zéro à neuf sont placés en cercle dans quelque ordre que ce soit,
montrez qu'il y aura toujours trois chiffres consécutifs dont la somme sera supérieure à quatorze.
12.
Dans le triangle ABC, les points D et F partagent le segment AC en trois parties
isométriques. De même, les points E et G partagent le segment BC en trois parties
isométriques. Le milieu du segment AB est le point H et le point J est au milieu du
segment DE. Trouvez le rapport de l'aire du triangle DEH à celle du friangle FGJ.
figure problème no 2
D
figure problème no 6
Tirés de la revue
Mathematics Teacher, janvier 1998
figure problème no 7
figure problème no 8
A
H
B
figure problème no 12
figure problème no 13
Solutions à la page : 45
(Voir figure)
13.
Découpez ce damier les long des cases de façon à obtenir quatre régions isométriques
contenant chacune l'un des cercles. (Voirfigure)
ENVOI.
NO
107 -
AVRIL-MAI-JUIN
1999
17
Christian Boissinotte (pour Mme Irène Legault)
C. s. de Montréal
1. 0.
En effet, tous ces nombres seront divisibles au moins par 9 car la somme des
chiffres est 27.
2. 4.
Les triangles EGC et DGA sont semblables donc
mCG _ mEG
mAG
mDG"
La similitude des triangles A G F et C G D entraîne que m C G _ m P G
mAG
mFG
Par transitivité de l'égalité, on a donc ^ ^ ^ ^ =
mDG
mFG
figure problème no 2
cette formule, on trouve que (mDG)^ = 16.
En remplaçant dans
(Voir figure)
3. 9 et 4.
La solution se trouve facilement par essais méthodiques en raison des nombres entiers.
On peut aussi résoudre algébriquement -sjx + Vx + 5 = 5 en mettant deux fois
au carré (on trouve x=4).
4. 76 m.
Soit X la largeur et >' la longueur. Ona.xy = 360 et (x-6)Cy+10) = 360 et on
cherche 2{x+y).
Donc, JC}'+10x-6>-60=360, 360+10x-63'-60=360, 10x-6);=60 et 5x-3);=30.
En remplaçant, 5x-3
=30 on obtient 5x^-m0-30x=0,
\
(x+12)(x-18)=0.
X
x2-6jc-216=0,
J
X vaut donc 18 (-12 est à rejeter) et
360
=20.
5. Quadrilatère et hexagone.
Listons les couples (côtés, diagonales). On a (3, 0) pour le triangle, (4, 2)
pour le quadrilatère, (5,5) pour le pentagone, (6,9) pour l'hexagone. Il s'agit
donc d'un quadrilatère et d'un hexagone.
E N V O I . NO 107 -
AVRIL-MAI-JUIN
1999
45
6. On doit montrer que l'angle FBC vaut 90°,
m Z FBC = m Z FBE + m Z EBC = - m Z ABE + m Z EBC.
2
L'angle EBC est inscrit et vaut la moitié de l'arc EDC donc 72°.
L'angle ABE est aussi inscrit et vaut donc la moitié de l'arc AE, soit
72°
= 36^
figure problème no 6
y
X
l
Donc m Z FBC = - (36°) + 72°.
2
y
7. 1 unité.
(Voirfigure)
—
L'aire du drapeau complefest 3 x 4 = 12. On sait aussi que 4yz est la
moitié de cette aire, donc 6.
'
Puisque x+2y=4 et x+2z=3 on a y =
y
X
y
figure problème no 7
(4
-
(3 -X
2
)
l 2 J
. Donc
\
= 6 et (4-;c)(3-a:)=6. Après simplification, on
V 2 /V 2
trouve que x=6 ou x= 1. Mais puisque x est inférieur à 3, on doit conclure
4yz = 4
Z\A
\/V
etz =
[
qutx=\.
8.
(Voir figure)
9.
13.
J
(Voirfigure)
figure problème no 8
(Voirfigure)
10.
Le deuxième joueur gagnera toujours s'il s'arrange pour que le nombre
total de pièces dans la pile soit un multiple de six quand il a fini de jouer.
11.
Les neuf chiffres non nuls forment trois séquences de trois chiffres autour
du cercle. Puisque la somme de ces neuf chiffres est 45, la moyenne de
la somme de chacune des trois séquences de trois chiffres est
bidules
45
figure problème no 9
Au moins l'une d'entre elles admet donc une somme supérieure à quatorze.
figure problème no 13
12. 2.
Puisque les points D et F partagent le segment AC en trois parties
isométriques et que les points E et G partagent le segment BC en trois
parties isométriques, alors les segments FG et DE sont parallèles au segment AB et sont espacés de façon équidistante entre le segment AB et le
point C. Les hauteurs des triangles DEH et FGJ sont donc égales. Puisque la mesure du segment DE est le double de celle du segment FG,
l'aire du triangle DEH sera le double de l'aire du triangle FGJ.
13.
46
(Voirfigure)
E N V O L . NO 107 -
AVRIL-MAI-JUIN
1999