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1eo_ch5(Le régime sinusoïdal).odt ­ Marie Pierrot – Lycée du Rempart ­ 17/12/09
Ch.5 : LE REGIME SINUSOIDAL.
1. Définitions.
1.1. Les valeurs instantanées.
Les valeurs instantanées d'une tension et d'un courant sont des fonctions sinusoïdales du temps :
u = U sin  ω t  θ u  et i = I sin  ω t θ i 
où: ­ û et î sont les valeurs maximales de u et i (s'expriment en Volt et en Ampère)
­ ω est la pulsation (s'exprime en radians par secondes ­rad.s­1­)
­ θu ou θi sont les phases à l'origine (s'exprime en radians)
­ t est la variable temps. (s'exprime en seconde)
Paramètres constants pour une grandeur sinusoïdale donnée
1.2. Représentation graphique.
Fiche activité n°5.1
a­ T = 12,0 ms ⇒ f = 83,3 Hz
b­ ω = 2∙π∙f = 2⨯ 3,14 ⨯ 83,3 = 523 rad/s
ω = 2∙π / T c­ <u> = 0 V
d­ Pour que la tension u(t) évolue deux fois plus vite il faudrait multiplier sa pulsation par deux, sa période serait alors deux fois plus petite.
e­ Pour que l'amplitude de u(t) soit multipliée par trois il faut multiplier par 3 le paramètre û
f­ Pour que u(0) = 0 il faudrait changer la phase à l'origine : θ = 0 ± π...
1.3. Pulsation, fréquence et période.
1
2π
soit ω =
T
T
La fréquence f s'exprime en Hertz ­Hz­ et la période T en seconde.
ω = 2 π f et f =
Exercice d'application n°1 :
En vous aidant de votre calculatrice graphique, représenter les trois tensions suivantes sur trois repères en concordance de temps…
u1 = 5 sin (314 t)
u2 = 5 sin (628 t)
u3 = 5 sin (314 t + π/2)
u1(t)
5
20 ms
- 5 ms
10 ms
t
-5
u(t)
5
u2(t)
20 ms
- 5 ms
10 ms
-5
u(t)
t
u3(t)
5
20 ms
- 5 ms
10 ms
t
-5
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2. Valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale.
Exercice d'application n°2 :
Ci­contre la représentation de la fonction (u(t))2 où u(t) est la tension que vous avez représenté sur la fiche­activité n°1 :
u(t) = 3∙ sin( 524∙ t + π/3)
Calculer la valeur moyenne de cette fonction et en déduire la valeur efficace U de u(t).
Vérifier que l'on obtient le même résultat avec la relation :
u
U=
2
Def: L'intensité efficace I du courant sinusoïdal i est égale à l'intensité d'un courant continu qui apporterait la même puissance P, à la même résistance R.
i
La valeur efficace I du courant sinusoïdal i t= i sin  ω tθi  est I=
.
2
i
I=
⇒ i=I  2 et on écrit alors : i= I  2 sin  ω t θ i 
2
La valeur efficace U de la tension sinusoïdale u t= u sin  ω tθu  est U =
u
et on écrit : u=U  2 sin  ω t θ u 
2
...aux notations !
« i » ou « u » minuscules pour les valeurs instantanées ( i = i(t) et u = u(t) )
« I » ou « U » majuscules pour les valeurs efficaces
« î » ou « û » pour les valeurs maximales.
Rappel: La valeur moyenne d'une grandeur sinusoïdale alternative est toujours nulle.
3. Différence de phase entre deux grandeurs sinusoïdales et décalage horaire.
La différence de phase est établie entre deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation.
La différence de phase entre u2 = û2∙ sin(ωt + θ2) et u1 = û1∙ sin(ωt + θ1) (c'est à dire de u2 par rapport à u1)
est φ = θ2 ­ θ1
Le déphasage entre u et i (respectivement tension aux bornes d'un dipôle et intensité du courant qui le traverse) est φ = θu ­ θi . En général la phase à l'origine d'une des deux grandeurs, prise pour référence est choisie nulle.
u = U  2 sin  ω t 
Si u est choisie comme référence, on peut alors écrire : i=I  2 sin  ω t−φ
Exercice d'application n°3 :
Valeurs efficaces ?
fréquence ?
période ?
déphasage ?


u = 11,3 sin 314t
i = 0,7 sin 314t−
π
6
π
3

Valeurs efficaces : U = 8 V et I = 0,5 A
Fréquence : f = 50 Hz ; Période : T = 20 ms
Déphasage : φ = θu ­ θi = π/2

Le décalage horaire … est le décalage dans le temps entre les deux grandeurs déphasées d’un angle φ.
τ ↔ φ
ϕ
T ↔ 2π
⇒
τ =
2π
T
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Exercice d'application n°4:
Quel est la différence de phase entre u1 (voie 1) et u2 (voie 2)
Calibres
Voie 2
Voie 1
voie 1 :
1 V / div
voie 2 :
Réponse :
φ= ­ 98,2°
φ est négatif car u1 est en retard par rapport à u2
0,5 V / div
Base de temps :
1 ms / div
4. Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Fiche activité n°5.2
Deuxième grandeur
2,5 Volt
Amplitude
1,77 Volt
Valeur efficace
­55,5 degrés
Phase à l'origine
154 Hertz
Fréquence
On en déduit :
Vecteur 1
Vecteur 2
Vecteur somme
x
1,6
1
2,6
y
2,33
­1,46
0,87
Somme des deux grandeurs
3,88 Volt
Amplitude
2,75 Volt
Valeur efficace
18,56
degrés
Phase à l'origine
154 Hertz
Fréquence
3
tension en volt
Première grandeur
4 Volt
Amplitude
2,83 Volt
Valeur efficace
55,5 degrés
Phase à l'origine
154 Hertz
Fréquence
D2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
­1
­2
­3
­4
­5
­6
­7
­8
­9
­10
u2
*
e
D1
G.B.F.
~
u1
COM
0
1
2
3
4
5
temps en millisecondes
6
7
8
9
10
I­ Caractéristique de ces deux tensions
a­ Quelles sont la période, la fréquence, et la pulsation des grandeurs représentées
T = 6,5 ms ; f = 154 Hz ; ω = 966 rad/s
b­ Déterminer leur valeurs maximales, ainsi que leurs valeurs efficaces et leurs valeurs moyennes :
Û1 = 4 V ; U1 = 2,83 V ; <u1> = 0V ; Û2 = 2,5 V ; U2 = 1,77 V ; <u2> = 0V
c­ Quel est le déphasage entre u1 et u2 : φ = 111° ou 37π/60 = 1,94 rad
d­En choisissant θu1 = 0 , exprimer les valeurs instantanées des deux grandeurs.
u1(t) = 4 sin(966t) et u2(t) = 2,5 sin(966t ­ 37π/60 )
II­ Somme de deux grandeurs sinusoïdales
a­ Quelle relation peut­on écrire à chaque instant entre les grandeurs e, u1 et u2 : e = u1 + u2 d­ Quelle remarque pouvez­vous faire quand à sa période ? C'est la même !
e­ Déduire de la courbe obtenue, la valeur maximal Ê et la valeur efficace E de e. Ê = 3,9 V ; E = 2,75 V f­ La loi des mailles se vérifie­t­elle avec les valeurs efficaces ? Pourquoi ? NON non et NON
5. Un nombre complexe pour représenter une grandeur sinusoïdale
L'utilisation des nombres complexes permet l'étude des circuits électriques avec les même lois qu'en régime continu.
voie 1
5.1. Intérêt d'une nouvelle représentation.
Expérience : R=1kΩ, C=1µF et u est réglé de façon à ce que f = 100 Hz et Û = 5 V.
*
C
uC
G.B.F.
~
COM
u
voie 2
uR
R
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Exercice d'application n°5 :
Valeurs efficaces ?
Phases à l'origine ?
fréquence ?
période ? des trois tensions uR, uC et u.
Observations ? En particulier, comparer UR + UC et U : conclusion ?
Calibres
u sur la voie 1
voie 1 :
2 V / div
uR sur la voie 2
voie 2 :
uC obtenu en
inversant la
voie 2 et en appuyant sur la touche ADD
2 V / div
Base de temps :
1 ms / div
UR + UC = 4,84 V ≠ U = 3,51 V
Il est impossible d'utiliser la loi d'additivité des tensions avec les valeurs efficaces, car il faut tenir compte du déphasage entre les tensions.
→ Observation de la somme de deux grandeurs sinusoïdales dans différents cas à l'aide d'un tableur...
(En particulier : cas des tensions en phase et en opposition de phase...)
On constate que la somme de deux grandeurs sinusoïdales dépend de leur amplitude, mais aussi de leur déphasage...
Un nombre complexe contient ces deux informations : module (=amplitude) et argument (=phase à l'origine)
imaginaires
5.2. Tension où courant complexe.
A chaque grandeur sinusoïdale on associe un nombre complexe dont le module représente la valeur efficace de la grandeur sinusoïdale et dont l'argument est la phase à l'origine de la grandeur.
U
U
U.sin(θU)
θU
u=U ∙  2 ∙ sin  ω tθu  ↔ U= [U ; θ U ] = U ∙ cos  θU  j∙ U ∙ sin θ U 
réels
U.cos(θU)
Exemple:
u1 =3  2 sin  ω t  ↔ U 1= [3 ; 0] = 3∙ cos 0 j ∙ 3∙ sin 0= 3

u 2=2  2 sin ω t−
π
6

↔ U = [2 ;



] = 2 ∙ cos   j ∙ 2 ∙ sin =  3 j
6
6
6
Exercice d'application n°6 :
Exprimer la valeur instantanée correspondant au nombre complexe : I = 2 + j∙7
i=I  2 sin  ω t−φ = 7,3  2 sin  ω t1,3 
u(t) =
Caractéristiques de la tension
9
Valeur efficace :
Phase à l'origine :
où : (
6,36
V
60
deg
1/ 3
100
Fréquence :
V
) π rad
tension en volt
Amplitude :
Hz
Nombre complexe associ é
Module :
Argument :
U
θu
6,36 V
60 deg
partie réelle :
x = U cos ( θu)
3,18 V
partie imaginaire :
y = U sin ( θu)
5,51 V
9 × sin (
628,32 ×t + (
1/ 3
) × π )
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
­1
­2
­3
­4
­5
­6
­7
­8
­9
­10
Représentation du nombre complexe associ é :
7
6
5
4
3
2
1
0
­1
­2
­3
­4
­5
­6
­7
0
1
2
3
temps en millisecondes
4
5
6
7
8
9
10
­7
­6
­5
­4
­3
­2
­1
0
1
2
3
4
5
6
7
→ Observation des vecteurs dans différents cas à l'aide d'un tableur... Page 4 sur 5
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i1=3  2 sin  ω t 
Exercices d'application n°7 :
Donner et représenter les nombres complexes associés aux intensités ci­contre (l'intensité des courants est en mA ). i 2=2  2 sin  ω t − π 

i3=5  2 sin ω t 
I1 = [ 0,003 ; 0 ] = 0,003 ; I2 = [ 0,002 ; ­ π ] = ­ 0,002 ; I3 = [ 0,005 ; π/2 ] = j ∙ 0,005 π
2

u 1 =8  2 sin  ω t  π 
π
u2 =5  2 sin ω t −
4
π
u 3=10  2 sin ω t 
6
Donner et représenter les nombres complexes associés aux tensions ci­contre ( Les tensions sont exprimées en V).


U1 = [ 8 ; π ] = ­ 8 ; U2 = [ 5 ; ­ π/4 ] = 3,53 – j ∙ 3,53 ; U3 = [ 10 ; π/6 ] = 8,66 + j ∙ 5 6. Les lois en régime sinusoïdal.


→ Observation des nombres complexes et de leur somme accompagnés des courbes dans différents cas à l'aide d'un tableur...
La loi des nœuds et la loi des mailles s'appliquent en régime sinusoïdal sur les valeurs instantanées (mais ça n'est pas très utile...) et sur les nombres complexes.
Loi des nœuds :
i2
i1
i3
( à chaque instant : i1 + i4 = i2 + i3 ) et I1 + I4 = I2 + I3
ELLE NE PEUT PAS S'APPLIQUER SUR LES VALEURS EFFICACES !!!
i4
Loi d'additivité des tensions :
u1
(à chaque instant : u1 + u2 + u3 = u) et surtout U1 + U2 + U3 = U
u3
u2
u
Exercice d'application
Reprendre l'exemple étudié expérimentalement (en TP) et représenter les vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs uR et uC. Vérifier la loi d'additivité des tensions : UR + UC = E
Premi ère grandeur
Amplitude
2,65 Volt
Valeur efficace
1,87 Volt
Phase à l'origine
0 degr és
Fréquence
100 Hertz
Vecteur 1
Vecteur 2
Vecteur somme
y
0
­2,97
­2,97
Somme des deux grandeurs
Amplitude
4,97 Volt
Valeur efficace
3,51 Volt
Phase à l'origine
­57,75 degr és
Fréquence
100 Hertz
3
3
4
3
Volt
Volt
degr és
Hertz
On en d éduit :
x
1,87
0
1,87
4
5
tension en volt
Deuxi ème grandeur
Amplitude
4,2
Valeur efficace
2,97
Phase à l'origine
­90
Fréquence
100
6
2
2
1
1
0
0
­1
­1
­2
­2
­3
­4
­3
­5
­4
­6
0
1
2
3
4
5
temps en millisecondes
6
7
8
9
10
­5
­1
0
1
2
3
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