CORRECTION Exercice 3 spécialité - XMaths
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CORRECTION Exercice 3 spécialité - XMaths
CORRECTION Exercice 3 spécialité Bien connaître les différentes méthodes de recherche d'un PGCD. On pouvait aussi utiliser ici l'algorithme d'Euclide. 1°) a) On peut décomposer 363 et 484 en produit de facteurs premiers. On obtient : 363 = 3 x 112 et 484 = 22 x 112 On en déduit que PGCD(363 , 484) = 112 = 121 . b) On a 484 - 363 = 121 = PGCD(363 ; 484). Donc (363 ; 484) appartient à S . Le fait que deux entiers consécutifs soient premiers entre eux est une propriété classique à connaître et à savoir démontrer. 2°) Si n un entier naturel non nul, on a PGCD(n ; n+1) = 1. En effet, on peut écrire (n + 1) x 1 - n x 1 = 1, donc d'après le théorème de Bézout, les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux. On a donc PGCD(n ; n+1) = 1 = (n + 1) - n. Le couple (n ; n+1) appartient à S . Propriété importante du PGCD. 3°) a) On sait que pour deux entiers non nuls x et y, d = PGCD(x ; y) ⇔ x = kd et y = k'd avec k et k' premiers entre eux Supposons que (x ; y) appartient à S , alors PGCD(x ; y) = y - x On peut donc écrire x = k(y - x) et y = k'(y - x) avec k ∈ ZZ et k' ∈ ZZ On a alors x - y = k(y - x) - k'(y - x) Donc x - y - k(y - x) + k'(y - x) = 0 c'est-à-dire (x - y)(1 + k - k') = 0 Comme x < y, on a x - y ≠ 0. On en déduit 1 + k - k' = 0 c'est-à-dire k' = k + 1. * De plus comme x est un entier naturel non nul, on a k ∈ IN . Donc on peut écrire x = k(y - x) et * y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN Réciproquement, * supposons x = k(y - x) et y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN Comme on sait que k et k+ 1 sont premiers entre eux, on en déduit que (y - x) est le PGCD de x et y, donc (x ; y) appartient à S. On a donc démontré que : (x ; y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y -x) et y = (k + 1)(y - x). http://xmaths.free.fr/ TS - Révisions - Exercice n°3 spécialité - Corrigé 1/2 La relation classique entre le PGCD et le PPCM est à connaître. 3°) b) On sait que pour tout couple d'entiers naturels non nuls on a : PGCD(x ; y) x PPCM(x ; y) = xy Donc si (x ; y) est un couple de S, on a (y -x) x PPCM(x ; y) = xy * On sait que x = k(y -x) et y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN donc (y -x) x PPCM(x ; y) = k(y -x)(k + 1)(y - x) donc La décomposition en facteurs premiers permet de déterminer le PPCM et le PGCD de deux nombres. Elle permet aussi de trouver l'ensemble des diviseurs d'un nombre donné. PPCM(x ; y) = k(k + 1)(y - x) . 4°) a) On peut décomposer 228 sous la forme d'un produit de facteurs premiers. 228 = 22 x 3 x 19 L'ensemble des diviseurs naturels de 228 est donc l'ensemble des nombres de la forme 2α x 3β x 19γ où α, β et γ sont des entiers naturels tels que 0 £ α £ 2 ; 0 £ β £ 1 et 0 £ γ £ 1 . En considérant les différentes valeurs possibles du triplet (α ; β ; γ), on obtient l'ensemble des diviseurs naturels de 228 : { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; 19 ; 38 ; 57 ; 76 ; 114 ; 228 } . 4°) b) Les couples (x ; y) de S tels que PPCM(x ; y) = 228 , sont tels que * x = k(y -x) et y = (k + 1)(y - x) avec k ∈ IN et PPCM(x ; y) = k(k + 1)(y - x) On a donc k(k + 1)(y - x) = 228. k et k + 1 sont donc deux entiers naturels consécutifs diviseurs de 228. En considérant l'ensemble des diviseurs de 228, on en déduit que k = 1 ou k = 2 ou k = 3 Pour k = 1, on a k(k + 1)(y - x) = 228, donc y - x = 114 x = k(y -x) = 1 x 114 = 114 et y = (k + 1)(y - x) = 2 x 114 = 228 Pour k = 2, on a k(k + 1)(y - x) = 228, donc y - x = 38 x = k(y -x) = 2 x 38 = 76 et y = (k + 1)(y - x) = 3 x 38 = 114 Il n'est pas inutile de signaler que les couples trouvés répondent bien à la question. Pour k = 3, on a k(k + 1)(y - x) = 228, donc y - x = 19 x = k(y -x) = 3 x 19 = 57 et y = (k + 1)(y - x) = 4 x 19 = 76 D'après 3°)a) et 3°)b) les couples ( x ; y) ainsi trouvés sont bien des éléments de S tels que PPCM(x ; y) = 228 . L'ensemble des couples (x ; y) de S tels que PPCM(x ; y) = 228 est donc { (57 ; 76) ; (76 ; 114) ; (114 ; 228) } . http://xmaths.free.fr/ TS - Révisions - Exercice n°3 spécialité - Corrigé 2/2