Terminale STI - Bac - Exercice 24 - Correction - XMaths
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Terminale STI - Bac - Exercice 24 - Correction - XMaths
Terminale STI - Bac - Exercice 24 - Correction 1. a) On sait que l’équation différentielle y 0 + ay = 0 a pour solutions les fonctions définies sur R par : y = ke−ax avec k ∈ R Donc l’équation (E) : y 0 + 2y = 0 a pour solutions les fonctions définies sur R par : y = ke−2x avec k ∈ R . b) Si f est solution de (E), on a f (x) = ke−2x . Alors f (0) = 1 ⇔ ke0 = 1 ⇔ k=1 La solution f de (E) telle que f (0) = 1 est définie sur R par : f (x) = e−2x . 2. a) La valeur moyenne de f sur [0 ; 10] est : " #10 Z 10 Z 10 1 1 1 1 −2x 1 1 0 −2x m= f (x)dx = e dx = − e = − e−20 + e 10 0 10 0 10 2 20 20 0 1 −20 La valeur moyenne de f sur [0 ; 10] est : . 1−e 20 b) La valeur moyenne de f sur [n ; n + 1] est : " #n+1 Z n+1 Z 1 1 n+1 −2x 1 −2x 1 1 m= f (x)dx = e dx = − e = − e−2(n+1) + e−2n (n + 1) − n n 1 n 2 2 2 n 1 −2n −2 La valeur moyenne de f sur [n ; n + 1] est : e 1−e . 2 1 3. a) (un ) est la suite définie par un = 1 − e−2 e−2n pour tout n entier naturel positif ou nul. 2 1 1 1 1 On a donc : u0 = 1 − e−2 e0 = 1 − e−2 ; u1 = 1 − e−2 e−2 ; u2 = 1 − e−2 e−4 . 2 2 2 2 b) Pour tout entier naturel n, on peut écrire : 1 1 1 un+1 = 1 − e−2 e−2(n+1) = 1 − e−2 e−2n−2 = 1 − e−2 e−2n e−2 = un × e−2 . 2 2 2 1 Donc : la suite (un ) est une suite géométrique de premier terme u0 = 1 − e−2 et de raison e−2 . 2 9 9 c) On peut écrire : u0 + u1 + · · · + u9 = u0 + u0 × e−2 + · · · + u0 × e−2 = u0 1 + e−2 + · · · + e−2 . 1 − bn+1 1 + b + b 2 + · · · + bn = . 1−b 10 −20 1 − e−2 1 −2 1 − e On a donc : u0 + u1 + · · · + u9 = u0 = 1 − e 2 1 − e−2 1 − e−2 1 On en déduit que : u0 + u1 + · · · + u9 = 1 − e−20 . 2 On sait que pour tout réel b 6= 1, http://xmaths.free.fr Terminale STI - Bac page 1/1