Pdf du corrigé de l`exercice n° 11 «Equilibrage

 EXERCICE 11– EQUILIBRAGE STATIQUE ET DYNAMIQUE. 1 1 – Déterminer la loi de mouvement.  On isole S1. G  Bilan des actions mécaniques. (B.A.M.E.)  X0 Y1 Y0 X1 
O  -m  g  Z1 




 Pes. 1  = 
0 
 G 

Z1 = Z0 Z  X 0 1



 0  1  =  Y0 1
 Pivot 

O  Z 0 1
L O, 0  1 

M O, 0 1 
0


 B1
On observe qu’il n’y a pas d’inconnues d’efforts de liaison pour le moment sur l’axe  O, Z 0  
On appliquera donc le théorème du moment dynamique en projection sur l’axe  O, Z 0  . Action de la pesanteur :  







M O Pes  1  Z1 = OG  -m  g  Z 0  Z1 =  a  X1 + b  Z1   -m  g  Z1  Z1 = 0 


  
  
Ci-dessus, la propriété du produit mixte : A  B  C = A  B  C 





Pour « faire plus court », on peut aussi écrire : Le poids étant parallèle à l’axe  O, Z 0  , son 
moment en projection sur l’axe  O, Z 0  est nul.  
 L’action dans la liaison pivot : M O 0  1  Z1 = 0 Pivot


 Calcul du moment dynamique : δO,1/0 projeté sur  O, Z 0  
 A -F -E   0   -E  





 O,1/0 = I(O,S1 )  Ω1 / 0 =  -F B -D  .  0  =  -D     -E -D C   
 
 B

B1     C  
1




 
d O,1/0
d  -E    X1 - D    Y1 + C    Z1 


O,1/0  Z1 =
 Z1 =  Z1 dt
dt
B


B0
0
= 




  Z1  Z1
 Y1 + X1 + C  

 
 (t)   O,1/0  Z1 = C  
= C  
Pour « faire plus court », on peut aussi écrire : Le moment dynamique d’un solide animé d’un 
mouvement de rotation autour d’un axe fixe  O, Z 1  avec un taux de rotation* noté  (t) , et dont le  
 (t) moment d’inertie par rapport à cet axe est C, vaut O,1/0  Z1 = C  
*Taux de rotation signifie vitesse de rotation (en rad.s-1)  
 
 1  Z1 = O,1/0  Z1  
 
 = 0 . La loi de mouvement s’écrit donc : 
 t  = 0 M O Pes  1  Z1  M O 0  1  Z1 = C.
 P.F.D. : M O 1
Pivot
CI 3 Etude cinétique et dynamique des solides
Page 1 Corrigé d’exercice de SII  Résultat : En intégrant et en tenant compte des conditions initiales :  (t) = cste avec, à t = 0 :  (0) = ω (t) = ω  t + (0) avec, à t = 0 : (0) = 0 d’où : (t) = ω  t Rmq : On a négligé les frottements, on aboutit donc à un mouvement perpétuel à vitesse ω constante. 2 - Déterminer le torseur des actions dans la liaison pivot. Cette fois-ci, il faut écrire les six équations du PFD. (Cinq si on exclut l’équation de mouvement déjà  t  = 0 étudiée). On retient que 









M O Pes  1 = OG  -m  g  Z0 =  a  X1 + b  Z1   -m  g  Z1 = -a  m  g   X1  Z1  = a  m  g  Y1 

 On isole S1.  Le bilan s’écrit donc : 1 G Z1 = Z0 Z  X0 
T Pes.1
 P.F.D. Y1 Y0 X1 O  -m  g  Z 1 
 
= 
a

m

g

Y


1 
O
 X 0 1
T
0 1 =  Y01
Pivot

O  Z 01
L O, 0  1 

M O, 0 1 
0
Détermination du torseur cinétique : 
 B1


 Calcul de la résultante cinétique : R c 1 / 0 = m  V(G  1 / 0)    
V(G  1 / 0) = V(O  1 / 0) + GO  Ω1 / 0 






= - a  X1  b  Z1   . Z1 = -a    X1  .Z1  R c 1 / 0 = m a
    Y1 




 Calcul du moment cinétique :  O,1/0 
 



O,1/0  (O, S1 )  1/0 + OG  m V (O  1 / 0) avec O, un point fixe.  O,1/0  (O, S )  1/0 A -F -E 

0
 -E   
-E  
 0
 







  
 σO,1/0 = -F B -D
D'où C1/0   m  a 
 -D  

   0  =  -D   
 0
 -E -D C 


 B
C
 B

B  
B  C  
G
1
1
1
1
Détermination du torseur dynamique : 

 Calcul de la résultante dynamique : R d 1 / 0 = m  Γ(G  1 / 0) 

dV(G  1 / 0)
 (G  1 / 0) =
dt

B0
dV(G  1 / 0)
= dt
 
+  1 / 0  V(G  1 / 0) B1






  Y1 +  .Z1  a    Y1   (G  1 / 0) = a  
  Y1 - a  
  X
= a  
 1 CI 3 Etude cinétique et dynamique des solides
Page 2 Corrigé d’exercice de SII 


  Y1 - m  a  
 2  X1  R d 1 / 0 = m  a  
 Calcul du moment dynamique : 
 dσ
O,1/0  O,1/0 car O est un point fixe. dt
B0


O,1/0 
dσO,1/0
dt
 -E  
 + D    
 0   -E   


 
 - E       0    -D      -D  



 C 
 
   C
 B

C 

B1   
B
1 

 
  -E   
 
  1 / 0  O,1/0   -D  

B1
1
 - m  a  
2

 D 0
1/0  

0

O



D

   -E  
0 
B
1
 
Théorème de la résultante dynamique : R 1  1 = R d 1 / 0 2 (1) X 0  1 = - m  a  
(2) Y0 1 = 0  5 équations permettant
de déterminer (3) Z 0 1 - m  g = 0 les efforts de liaisons.
 
Théorème du moment dynamique : M O 1  1 = O,1/0 (4) L 0 1 = D    (5) M 0 1 + a  m  g = -E    (6) 0 = 0 ( 0 = C  ψ
Rappel de l'équation de mouvement. )  Résultats On en déduit les actions transmises par la liaison pivot.  - m  a   2
T
0 1 =  0
Pivot
 m  g O
D   


-E    - a  m  g  
0
 B1
Définitions : Il y a équilibrage statique si la résultante des actions transmises par la liaison, exprimée dans le repère R0, est indépendante du temps. Il y a équilibrage dynamique si le moment des actions transmises par la liaison, exprimé dans le repère R0, est indépendant du temps. Remarque : Les composantes de l’action dans la liaison pivot sont exprimées dans B1. Si on exprime le 

torseur dans B0, on voit que les composantes sur X 0 et sur Y0 de la résultante et du moment en O seront variables. Pour les rendre constantes il faut les annuler.
CI 3 Etude cinétique et dynamique des solides
Page 3 Corrigé d’exercice de SII 3 – Equilibrage à une masse : On place une masse ponctuelle MA au point A de coordonnées ( xA, yA, zA) dans B1. - Déterminer les valeurs de MA, xA, yA et zA afin de réaliser l’équilibrage statique. - Déterminer la valeur des produits DE, EE, FE pour l’ensemble « rotor  masse MA ». - Montrer qu’il n’est pas possible de réaliser l’équilibrage dynamique dans tous les cas. On ajoute une masse M A en liaison fixe par rapport au solide S1  x 
0
      A 
 
V(A  M A / 0) = V(A  1 / 0) = V(O  1 / 0) + AO  Ω1 / 0 =   y A    0 
 
 z 
 A  B  ψ B
1
1


 (A  1 / 0) =
dV(A  1 / 0)
dt

= B0
dV(A  1 / 0)
dt
 

 y A  ψ
0
 y A  ψ

    0    x A  ψ 
=  x A  ψ
 0 
 



 B  ψ  B  0  B
1
1
1

 y A  ψ

  =  x A  ψ
 0 

B
1
 
+ 1 / 0  V(A  1 / 0) B1
 y A  ψ
  x A  ψ
2


2


=  x A  ψ  y A  ψ  

0



B
1
 y A  ψ
  x A  ψ
2



  y A  ψ
 2   R d M A / 0 = M A   x A  ψ


0



B
1


L’équation de mouvement devenant : 0 = C'   , on a toujours ψ = 0  
Le théorème de la résultante dynamique devient : R 1  M A  1  M A = R d 1  M A  1  M A / 0  2 - M A  x A   2 (1') X 0  1 = - m  a  
 2 (2') Y0  1 = - M A  y A  
(3') Z 0 1 -  m + M A   g = 0 On a vu que les composantes X 0 1 et Y0  1 devaient être annulées. Ceci revient à placer le centre de gravité de l’ensemble sur l’axe de rotation. 0
  
Soit GE le cdg de l’ensemble tel que OG E =  0  z 
 E B1



 m i  G EG i = 0  m  G EG + M A  G E A = 0 En projection : (a) m  a + M A  x A = 0 (b) M A  y A = 0  y A = 0 et x A =
-m  a
MA

Rmq : Le poids de l’ensemble étant appliqué en GE sur l’axe de rotation, le terme -a  m  g  Y1 résultant du calcul du moment en O du poids du solide 1 est compensé. CI 3 Etude cinétique et dynamique des solides
Page 4 Corrigé d’exercice de SII En plaçant la masse M A , on modifie les produits d’inertie de l’ensemble E .  
Le théorème du moment dynamique devient : M O 1  M A  1  M A = O,1M A /0 (4) L 0  1 = D E    (5) M 0  1 = -E E    Avec : (c) D E = D + M A  y A  z A (d) E E = E + M A  z A  x A Là encore, la seule façon d’obtenir des composantes nulles après projection dans B0 consiste à annuler les produits D E et E E Or ici, on a y A = 0  D E  0 Il est donc impossible d’assurer l’équilibrage dynamique avec une seule masse. 4 - Equilibrage à deux masses On place deux masses MA et MB aux points A ( xA, yA, zA) et B ( xB, yB, zB) dans B1. - Montrer qu’il est possible de réaliser l’équilibrage statique et dynamique. L’équation visant à placer le centre de gravité de l’ensemble sur l’axe de rotation devient : 



 m i  G EG i = 0  m  G EG + M A  G E A + M B  G E B = 0 En projection : (a') m  a + M A  x A + M B  xB = 0 (b') M A  y A + M B  y B = 0 Les produits sont eux aussi modifiés et doivent devenir nuls. (c') D E = D + M A  y A  z A + M B  y B  z B = 0 (d') E E = E + M A  z A  x A + M B  z B  x B = 0 On aboutit à 4 équations pour 8 inconnues : M A , M B , x A , y A , z A , x B , y B et z B On pourra donc se donner arbitrairement 4 inconnues et trouver une solution au problème. Il est donc possible d’assurer l’équilibrage dynamique avec deux masses. 5 – Application à l’équilibrage d’une roue de véhicule. On place les deux masses sur la jante de la roue de rayon R et de largeur disposées l selon la figure ci-contre : On pose zA = l, zB = 0
CI 3 Etude cinétique et dynamique des solides
Page 5 Corrigé d’exercice de SII - Déterminer les valeurs de MA, MB, A, B afin de réaliser les équilibrages statique et dynamique. On procède au changement de variables : x A = R  cos α A ; y A = R  sin α A ; xB = R  cos α B ; y B = R  sin α B Il y a maintenant 4 inconnues α A , α B , M A et α A , α B , M A , M B pour 4 équations. Le système d’équations devient : (a') m  a + M A  R  cos α A + M B  R  cos α B = 0 (b') M A  R  sin α A + M B  R  sin α B = 0 (c') D E = D + M A  R  sin α A  l = 0 (d') E E = E + M A  R  cos α A  l = 0 2
(c') D 2 =  M A  R  l   sin 2 α A 2
(d') E 2 =  M A  R  l  cos 2 α A 2
(c') (d') D 2 + E 2 =  M A  R  l  (c') (d') M A =
D 2 + E 2 Rl
(c') D = -  M A  R  l   sin α A (d') E = -  M A  R  l  cosα A D
D
(c') / (d') = tan α A  α A = arctan E
E
(c') M A  R  sin α A =
-D
l
et (d') M A
 R  cos α A =
-E
l
En remplaçant ces expressions dans (a') et (b') (a') m  a -
E
(b') -
l
+ M B  R  cos α B = 0  M B  R  cos α B =
D
l
(a') et (b')  M B  R 
E - m a  l
+ M B  R  sin α B = 0  M B  R  sin α B =
2
E - m  a  l 
=
(b') / (a') tan α B =
2
 D2
l2
 M B =
l
D
E - m  a  l 
l R
l
2
 D2
D
D
 α B = arctan E - m a  l
E - m a  l
CI 3 Etude cinétique et dynamique des solides
Page 6 Corrigé d’exercice de SII