[a,b], on utilise l`instruction polarplot([rho(t),theta(t),t=a..b])

TP Maple n° 5
Graphiques
I Exercice 1 - Graphes de fonctions
I Exercice 5 - Courbes
µ
¶
1
a) Soit f la fonction définie sur R \ {1} par f (x) = Arctan
. Tracer le graphe de f sur l’inx −1
tervalle [−5, 6] en utilisant la commande plot.
On pourra utiliser l’option scaling=constrained pour obtenir un repère orthonormal
(faire ?plot[option] pour voir toutes les options disponibles).
b) Soit p la fonction polynomiale définie sur R par p(x) = 8x 5 − 32x 4 − 2x 3 + 110x 2 − 65x − 38.
Tracer le graphe de p sur un intervalle contenant [−2, 2]. Donner toutes les racines exactes
et approchées de p entre −2 et 2.
On pourra utiliser les commandes solve (résolution exacte) et fsolve (résolution approchée).
I Exercice 2 - Plusieurs graphes en même temps
x3
a) Tracer simultanément les représentations graphiques des fonctions sinus et x 7→ x −
en
6
utilisant la liste [sin(x),x-x^3/6] et la fonction plot.
b) Charger la bibliothèque plots puis tracer à nouveau les deux représentations graphiques à
l’aide de la fonction display (très pratique).
I Exercice 3 - Une étude de fonction
On considère la fonction f définie par f (x) = p
x2 − 2
8x 2 + 4x − 17
.
a) Déterminer l’ensemble de définition de f .
On pourra résoudre une inéquation à l’aide de la fonction solve.
b) Calculer la dérivée de f à l’aide de la fonction diff ou de la fonction D.
c) Déterminer le signe de f 0 à l’aide de la fonction solve. En déduire les variations de f .
d) Déterminer les éventuelles asymptotes obliques de la courbe de f en utilisant la fonction
limit.
MPSI 1
Lycée Thiers
2006/2007
e) Tracer le graphe de f avec ses asymptotes.
I Exercice 4 - Une famille de fonctions
a) Charger la bibliothèque plots à l’aide de la commande with(plots). Utiliser la commande animate pour tracer la famille des courbes y = x a pour x variant entre 0 et 2 et
p
a variant entre 21 et 2. Autrement dit le première courbe est celle de la fonction x 7→ x et la
2
dernière celle de x 7→ x .
b) Augmenter le nombre d’images intermédiaires grâce à l’option frames=100.
c) Utiliser les divers boutons pour avancer image par image, en marche arrière, modifier la
vitesse, etc.
¡
¢
a) Pour tracer une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes par x(t ), y(t ) avec t ∈
[a, b] on utilise
( l’instruction plot([x(t),y(t),t=a..b]). Tracer par exemple l’astroïde
x(t ) = cos3 (t )
définie par
.
y(t ) = sin3 (t )
¡
¢
b) Pour tracer une courbe paramétrée en coordonnées polaires par ρ(t ), θ(t ) avec
t ∈ [a, b], on utilise l’instruction polarplot([rho(t),theta(t),t=a..b]) (la fonction
polarplot
appartient à la bibliothèque plots). Tracer par exemple la courbe définie par
(
ρ(t ) = cos(t )
.
θ(t ) = sin(t )
c) Dans le cas d’une courbe définie par une équation polaire du type θ 7→ ρ(θ) avec θ ∈ [a, b],
on utilise l’instruction polarplot(rho(theta),theta=a..b]). Tracer par exemple la cardioïde définie par ρ(θ) = 1 + cos(θ) ainsi que le sprirale d’Archimède définie par ρ(θ) = θ.
d) Pour tracer une courbe définie par une équation implicite, on utilise la fonction
implicitplot (de la bibliothèque plots). Tracer par exemple l’ensemble des points du
plan vérifiant l’équation x 4 + y 4 = 1.
I Exercice 6 - Pentagone régulier
Soit A et B deux points du plan et notons (x A , y A ) et (x B , y b ) leurs coordonnées
dans un repére orthonormal fixé. Pour tracer le segment [A, B ] on utilise l’instruction
plot([[xA,yA],[xB,yB]]).
a) Tracer le triangle ABC avec A(2, 1), B (0, 4) et C (−1, −2). Deux méthodes sont possibles :
– tracer les trois segments séparément puis utiliser la fonction display ;
– tracer directement cette ligne polygonale en donnant la liste des coordonnées des points.
b) Tracer sur un même graphe un pentagone régulier ainsi que le cercle dans lequel il est inscrit (avec des couleurs différentes).
I Exercice 7 - Cycloïde
La cycloïde est la courbe paramétrée donné par
½
x(t ) = t − sin t
y(t ) = 1 − cos t
a) Tracer cette courbe pour t ∈ [0, T ] avec T = 15.
b) Construire une animation de paramètre t ∈ [0, T ] dont le graphique au temps t est constitué
du cercle de rayon 1 et de centre (t , 1). On utilisera l’option frames=100 pour obtenir une
animation plus fluide.
c) Construire une animation de paramètre t ∈ [0, T ] dont le graphique au temps t est constitué
du cercle de rayon ε = 0.08 et de centre (x(t ), y(t )).
d) Construire une animation de paramètre t ∈ [0, T ] dont le graphique au temps t est constitué
du morceaux de cycloïde délimité par les points (0, 1) et (x(t ), y(t )).
e) Afficher les trois animations sur un même graphique (à l’aide de la fonction display).
f) Comment interpréter la cycloïde en terme de trajectoire ?