Luca PACIOLI - IREM de Rennes

LUCA PACIOLI
La divine proportion
LUCA PACIOLI, moine franciscain et théologien est originaire de Borgo San Sepolcro.
(env. 1450-1514) comme Piero della Francesca, l’auteur de l’ouvrage « De la
perspective en peinture » (traduit et annoté par Jean-Pierre LE GOFF, Éditions IMR). Sa
principale œuvre est la "Summa di arithmetica, geometrica, proportione et
proportionalita" publiée en 1494. En 1509 la "De Divina Proportione" est imprimée à
Venise. Le manuscrit avait été offert à Ludovic le More, Duc de Milan. L'ouvrage,
illustré par Léonard de Vinci, est principalement consacrée à l'étude des propriétés de la
proportion. Elle est suivie d'un bref traité d'architecture, du tracé d'un alphabet antique,
et du "Libellus", suite d'exercices mathématiques portant notamment sur les polyèdres
réguliers.
Ci-après sont traités deux exercices extraits de la « Divine Proportion » menant à la
résolution d’équations du second degré.
Du
cadre équilatère (carré) dont le diamètre
(diagonale) est .6. de plus que son côté, tu dois trouver le
côté.
Met que son côté soit .1.◊., .1.◊.
multiplié par .1.◊. cela fait .1.. lequel doublé
fait .2.. et alors tu diras que la diagonale est
−
−
−
.1.◊. p .6. et .1.◊. p .6. multiplié par .1.◊. p .6.
fait .1.. et .12.◊. et le nombre .36. qui sont
égaux à .1.. Restaure les parties, enlève de
chaque partie .1.., tu auras .1.. égal à .12. ◊
. et au nombre .36. Les .◊. divisés par deux
feront .6. qui multiplié par lui-même fait .36.,
joint avec le nombre cela fait .72. et la . R .72.
−
p .6. qui est la moitié des .◊. vaut la .◊. que
−
nous mettrons être un côté, soit .6. p . R.72. et
−
la diagonale est .12. p .R .72.
Il s’agit de déterminer le côté du carré dont
la diagonale a une longueur égale au côté
plus 6 unités
désigne le côté du carré et
désigne
le carré de ce côté. Pacioli ne le précise pas, il
utilise le fait que l’aire du carré ayant pour
côté la diagonale est double de l’aire du carré
ou encore que le carré de l’hypoténuse est égal
à deux carré du côté de l’angle droit.
L’hypoténuse valant x + 6, son carré vaut x2 +
12x + 36 qui est égal 2x2. Une erreur
d’impression donne 1x2.
Pacioli met en évidence une des formes
répertoriées de son époque x2 = ax + b, ici
c’est x2 = 12x + 36 puis la résout une des
méthodes classiques issues des mathématiques
de langue arabe connues par le truchement du
Liber Abaci (1202), de LÉONARD de PISE.
Voici lediamètre d’uncercle quiest.10., ilestdivisé
par un segment dont un côté est .3. et l’autre .4., chercher
en combien il divise le diamètre.
Par ce qui précède on sait que les
segments qui s’interceptent dans un cercle
sont tels que la partie d’un segment par son
autre partie est égale au produit que font les
deux parties de l’autre segment. Tu as une
partie du segment qui est .3. et l’autre .4. et .3.
multiplié par .4. fait .12. puis divise .12. en
deux parties de sorte que l’une multipliée par
l’autre fasse .12. et donc qu’une partie soit .1.
_
◊. et l’autre .10. m . 1.◊. et .1.◊. multiplié par
_
_
.10. m . 1.◊. seront .10.◊. m . 1.. et tu veux
.12. En restaurant les parties tu auras .10.◊.
égal à . 1.. et au nombre .12., les choses
divisées par deux seront .5. qui multiplié par
lui-même fait .25., retranches-en le nombre
qui est .12., il reste .13. et R.13.
_
Le diamètre de longueur 10 d’un cercle
coup une corde en produisant deux
segments de longueurs respectives 3 et 4. Il
faut déterminer les longueurs des segments
déterminés sur le diamètre.
Pacioli utilise le fait que si on note [AB] le
diamètre [CD] la corde et I le point
d’intersection, on a IC × ID = IA × IB. Cela
donne donc 3 × 4 = x(10 – x) d’où l’équation
10x = x2 + 12.
Il s’agit d’une équation de forme connue
x2 + a = bx.
La moitié du coefficient de x est 5 dont le
carré est 25 duquel on retranche la constante
12, ce qui donne 13. La racine carré de 13
retranchée de la moitié du coefficient de x,
cela donne pour solution 5 – 13 , l’autre
solution étant 5 +
13
. la moitié
m
des choses qui est .5. vaut la chose que nous
mettons pour être une partie et donc, que du
_
diamètre soit retranché .5. m . R. 13. et il
_
reste .5. p . R. 13 .
Gérard HAMON
IREM Rennes