Feuille 6 : Intégrales impropres Intégrales `a param`etres Des liens

Feuille 6 : Intégrales impropres
Intégrales à paramètres
Des liens entre séries et intégrales impropres.
Préparation au CAPES de mathématiques - Analyse
Conseils
Pour la deuxième partie de la feuille, on manipulera les théorèmes sur les intégrales à paramètres
avant de les démontrer.
I Intégrales impropres.
Exemple d’introduction.
Exercice 1. Parfois c’est très facile :R il n’y a pas de piège, il s’agit juste d’éclaircir les idées.
3
dt
1. Jusitifer l’existence de l’intégrale 0 1+t
2.
2. Montrer sans calculs qu’on définit des fonction F et G de R+ dans R par les égalités :
Z x
Z x
dt
+
et ∀x ∈ R, G(x) =
sin(t)dt.
∀x ∈ R , F (x) =
1 + t2
0
0
Calculer ensuite F et G.
3. Etudier les limites de F et G en +∞. Que dit-on à propos des intégrales impropres
Z +∞
Z +∞
dt
et
sin(t)dt ?
1 + t2
0
0
4.
5.
6.
7.
Rappeler la définition d’une intégrale impropre convergente dans différents contextes.
Comme pour les séries, que n’aura-t-on pas le droit d’écrire
ni de manipuler ?
R 1 dt
Définir et étudier la convergence de l’intégrale impropre 0 √
.
t
Intégrales de Riemann Etudier la convergence des intégrales impropres
Z +∞
Z 1
dt
dt
et
α
α
t
t
1
0
en fonction de α ∈ R.
R +∞
dx
8. Montrer rapidement que l’intégrale impropre 0
2 +3x+2 est convergente en la calculant.
R +∞x 4x+5
9. Etudier la convergence de l’intégrale impropre 0
dx.
1+x2
Centre Toulon - La Seyne
2009/2010
1/6
IUFM Célestin Freinet
Convergence absolue et théorèmes pratiques.
+
Exercice 2. Soit
R x f, g : R −→ R deux fonctions confinues et F la fonction réelle définie sur
+
R par F (x) = 0 f (t)dt.
1. Considérant une fonction h : R+ −→ R, écrire le critère de Cauchy relatif à l’existence
d’une limite de h en +∞ (sans donner de démonstration).
2. A partir du critère de Cauchy pour
R +∞ l’existence d’une limite de F en +∞, donner un critère
de Cauchy pour la convergence de 0
f (t)dt en termes d’intégrales.
R +∞
3. On dit que l’intégrale impropre 0
f (t)dt converge absolument si l’intégrale impropre
R +∞
|f (t)|dt est convergente. Montrer que la convergence absolue implique la convergence.
0
4. Théorème de comparaison On suppose qu’il existe a ∈ R+ tel que f et g sont
positives
R +∞
sur [a, +∞[ et vérifient ∀ x ∈ [a, +∞[, f (x) ≤ g(x). Montrer que la convergence de 0 g(t)dt
R +∞
implique celle de 0 f (t)dt. En déduire un énoncé concernant la divergence.
4.
En déduire un énoncé concernant la convergence de fonctions positives équivalentes au
voisinage de +∞.
5. Applications. Déterminer si les intégrales impropres suivantes sont convergentes :
R +∞ x2 −1
R 1 dx
a)
dx
b)
3
x5 +2x2 +3
R +∞ sin x
R 1 0dxsin(x)
√
c)
dx
d)
2
2
R +∞ 1arctanxx
R0+∞3x−x
arctan x
e)
dx
f)
√
2 dx.
1
0
2x 1+ x1
x(1+x )
1 [a, b] , positive et décroissante et
Exercice 3.
Deuxième
formule
de
la
moyenne.
Soit
f
∈
C
g ∈ C [a, b] . On souhaite montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que
Z
b
Z
c
f g = f (a)
a
g.
a
1. On note G la primitive de g sur [a, b] qui s’annule en a. Montrer que G admet sur [a, b] une
bone inférieure et une borne supérieure. On les note respectivementR m et M .
b
2. En utilisant une intégration par parties, montrer que mf (a) ≤ a f g ≤ M f (a).
3. Conclure.
R +∞ sin(x)
4. Application En déduire que l’intégrale impropre 1
x dx est convergente. On pourra
vérifier le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.
II Intégrales à paramètre.
Les théorèmes pour intégrales à paramètres sur un segment.
Dans les énoncés qui suivent, on considère (a, b) ∈ R2 tel que a < b, et I un intervalle de
R d’intérieur non vide.
Centre Toulon - La Seyne
2009/2010
2/6
IUFM Célestin Freinet
Théorème 1.
Si fn : [a, b] → R est une suite de fonctions
continues convergeant uniformément vers une fonction f : [a, b] →
R, alors
Z b
Z b
f (t) dt .
fn (t) dt −→n ∞
a
a
Théorème 2. Si f : [a, b] × I → R est une fonction continue,
Rb
alors l’application F : I → R définie par F (x) = a f (t, x) dt est
continuea .
Théorème 3.
Soit une fonction f : [a, b] × I → R.
Si
• f est continue sur [a, b] × I et
• pour tout t ∈ [a, b] la fonction x 7→ f (t, x) est dérivable sur I et
• la fonction (t, x) 7→ ∂f
× I, alors
∂x (t, x) est continue sur [a, b]
Rb
l’application F : I → R définie par F (x) = a f (t, x) dt est
dérivable, et on a pour tout x0 ∈ I l’égalité
F 0 (x0 ) =
b
Z
∂f
(t, x0 ) dt.
∂x
a
a
On a des variantes de ce théorème obtenues en considérant x0 ∈ I et en
remplaçant les deux ”continue” par ”continue en x0 ”.
Utilisation des théorèmes.
Exercice 4.
Un exemple introductif
1. Justifier que l’on définit bien une fonction F : [0, 1] → R en posant
Z 1
cos(tx)
F (x) =
dt.
2
2
0 1+t +x
2. Calculer F (0).
3. Etudier le signe de F et la monotonie de F (sans parler de dérivabilité).
4. Etudier la continuité de F .
5. Etudier la dérivabilité de F et exprimer sa dérivée en fonction d’une intégrale. Vérifier la
réponse à la question 3 .
Exercice 5.
Intégrale
de Gauss
R +∞
2
1. Montrer que 0 e−t dt est convergente. L’objectif de l’exercice est de calculer la valeur
de cette intégrale, dite intégrale de Gauss.
2. Justifier que l’on définit bien des fonctions f et g de R+ dans R en posant :
Z
f (x) =
x
−t2
e
2
dt
Z
et
g(x) =
0
0
1
2
2
e−x (1+t )
dt.
1 + t2
3. Montrer que f et g sont dérivables sur R+ et calculer leurs dérivées sous forme d’intégrales.
4. Montrer que f 0 + g 0 est nulle sur R+ .
5. Montrer que ∀x ∈ R+ , f (x) + g(x) = π4 .
6.
Montrer que si (xn ) tend vers +∞ alors la suite de fonctions définies sur [0, 1] par
2
t 7→
e−xn (1+t
1+t2
2)
converge uniformément vers la fonction nulle sur [0, 1].
Centre Toulon - La Seyne
2009/2010
3/6
IUFM Célestin Freinet
7. En déduire que g tend vers 0 en +∞.
8. En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss1 .
9. En déduire (proprement, comme d’habitude !) la valeur2 de
√1
2π
R +∞
−∞
e
−t2
2
dt .
Démonstration des théorèmes.
Exercice 6.
1. Démontrer le théorème 1 (après avoir vérifié qu’il a bien un sens).
2. On se place dans le cadre des hypothèses du théorème 2, mais dans le cas où I = [c, d] avec
c et d des réels tels que c < d. On considère x0 ∈ [c, d] et une suite (xn ) d’éléments de [c, d] de
limite x0 . Montrer que la suite de fonction fn : [a, b] → R définie par fn (t) = f (t, xn ) converge
uniformément vers f sur [a, b].
3. En déduire une preuve du théorème 2 lorsque I = [c, d].
4. On se place dans le cadre des hypothèses du théorème 3. On considère x0 ∈ [c, d] et une
suite (xn ) d’éléments de [c, d] de limite x0 . Montrer que la suite de fonction gn : [a, b] → R
(t,x0 )
définie par gn (t) = f (t,xxnn)−f
converge uniformément vers la fonction t 7→ ∂f
−x0
∂x (t, x0 ) sur [a, b].
5. En déduire une preuve du théorème 3 lorsque I = [c, d].
6. Démontrer finalement les théorèmes 2 et 3, c’est-à-dire en ne supposant plus que I = [c, d].
III Lien séries-intégrales impropres : étude d’un exemple.
Echauffement.
Exercice 7. Pour éviter le claquage, on s’échauffe en déterminant si les séries suivantes convergent
2
P (−1)n
P n+sin(n)
√
et
b)
.
a)
n+2+cos(n)
n+2
Séries de Riemann.
Exercice 8. Soit α ∈ RR+∗ .
n+1 dx
1. Soit n ∈ N∗ . Encadrer n
xα .
1
2. Soit n ∈ N \ {0, 1}. Encadrer n1α par deux intégrales
Pq de1 la fonction x 7→ xα .
3. Soit q ∈ N \ {0, 1}. Donner un encadrement de k=2 kα par deux intégrales de la fonction
x 7→ x1α .
1
Un sympathique exercice pour retrouver cette valeur en travaillant les intégrales à paramètres. Mais celui qui
` R +∞
´2
` R +∞ −x2 ´` R +∞ −y2 ´
2
écrit 0 e−t dt
=
e
dx
e
dy , utilise le théorème de Fubini et le changement de variable
0
0
polaire retrouve rapidement le résultat.
2
Mais quel intérêt ? Avec quelle autre partie du programme peut-on faire un lien ?
Centre Toulon - La Seyne
2009/2010
4/6
IUFM Célestin Freinet
P 1
4. Etudier la convergence3 de la série
Pq kα1 en fonction de α.
P 1
5. En écrivant un encadrement de k=n kα , donner un équivalent du reste de la série
kα
lorsque celle-ci converge.
P 1
6. En utilisant la même méthode, montrer que
k ln(k) diverge.
IV Lien séries-intégrales : un premier énoncé.
Exercice 9.
Soit n0 ∈ N et f : [n0 , +∞[→ R+ une application continue par morceaux et
décroissante.
1. Montrer que pour tout (p, q) de N2 tel que n0 ≤ p < q on a
Z
q+1
f (x)dx ≤
p+1
q
X
q
Z
f (k) ≤
f (x)dx.
p
k=p+1
R +∞
P
2. En déduire que n≥n0 f (n) converge si et seulement si l’intégrale impropre n0 f (x)dx est
convergente, et que dans ces conditions :
Z
+∞
f (x)dx ≤
n0 +1
+∞
X
Z
+∞
f (k) ≤
f (x)dx.
n0
k=n0 +1
Remarque : cette inégalité peut être utilisée pour trouver un équivalent du reste d’une série
convergente.
4. Montrer que le résultat de la question 2 reste valable si f n’est plus supposée positive.
5.
On prend les mêmes hypothèses sur f qu’à la question 1 sauf la décroissance que l’on
remplace par la croissance. Montrer que pour tout (p, q) de N2 tel que n0 ≤ p < q on a
Z
q
f (x)dx ≤
p
4. En déduire un équivalent de
q
X
Z
q+1
f (k) ≤
f (x)dx.
p+1
k=p+1
Pn
k=1 ln(k).
V Lien série-intégrales : un deuxième énoncé plus fin.
Exercice 10.
Soit n0 ∈ N et f : [n0 , +∞[→ R+ une application continue par morceaux,
décroissante. Pour tout entier n ≥ n0 + 1 on pose
Z n
wn =
f (t)dt − f (n).
n−1
3
Vous souvenez-vous de l’autre façon (vue en cours) d’étudier la convergence de la série de Riemann, de donner
un équivalent des restes de la série ou de la suite des sommes partielles ?
Centre Toulon - La Seyne
2009/2010
5/6
IUFM Célestin Freinet
1. Montrer que pour tout n ≥ n0 + 1 on a
0 ≤ wn ≤ f (n − 1) − f (n).
P
2. En déduire la convergence de la série n≥n0 +1 wn .
R
P
n
3. Démontrer que la suite
n≥n0 f (n)
n0 f (t)dt n≥n converge si et seulement si la série
0
converge.
R +∞
P
4. Montrer que l’intégrale impropre n0 f (t)dt converge si et seulement si la série n≥n0 f (n)
converge et que dans ce cas on a :
Z +∞
+∞
X
X
f (n).
wn =
f (x)dx −
n0
n=n0 +1
n≥n0 +1
5. Application : Montrer l’existence d’un réel γ tel que4
n
X
1
= ln(n) + γ + o(1) et
k
k=1
γ =1−
+∞ X
ln(1 +
n=1
1
1 )−
.
n
n+1
Problème 1. Utilisation d’intégrales impropres.
Pour étudier des exemples de liens entre
intégrales impropres et s´ries, on travaillera sur un problème traitant de la constante d’Euler.
VI Des limites à l’analogie série-intégrale.
Les analogies séries intégrales sont par exemple illustrées pas les énoncés et les exemples
ci-dessus. On prendra garde au fait qu’il existe tout de même des différences importantes de
comportement.
Exercice 11.
P
1 Rappeler pourquoi si une série
un converge alors son terme général tend vers R0.
+∞
2 Rappeler qu’en revanche il existe des fonctions f : R+ → R, continues, telles que 0 f (x)dx
converge, mais qui ne tendent5 pas vers 0 en +∞.
3 Montrer que si en plus des hypothèses du 2 on suppose que f admet une limite en +∞, alors
cette limite est nulle.
R +∞
4 Un peu plus difficile Montrer que si f : R+ → R est uniformément continue, et si 0 f (x)dx
converge, alors f tend vers 0 en +∞.
Exercice 12.
Soit fP: R+ → R une fonction continue. A-t-on
et seulement si la série
f (n) converge ?
R +∞
0
f (x)dx qui converge si
4
Nous avons déjà démontré ce résultat sans faire intervenir d’intégrale. Notez qu’aujourd’hui on ne sait toujours
pas si γ est rationnel.
5
Il n’est pas plus dur de trouver une telle fonction non bornée !
Centre Toulon - La Seyne
2009/2010
6/6
IUFM Célestin Freinet