Travaux dirigés 11 Complexes TS3 5 et 9 Décembre 2016 Exercice

Travaux dirigés 11
Complexes
TS3
5 et 9 Décembre 2016
Exercice 1
Soit le plan complexe P rapporté au repère O, ~u, ~v orthonormal direct.
1. Soit le polynôme P tel que, pour tout z de C, P (z) = z 3 − 4z 2 + 6z − 4 Déterminer les réels u et v tels que
P (z) = (z − 2)(z 2 + uz + v) et résoudre dans C, l’équation P (z) = 0.
2. Ecrire les trois solutions sous forme trigonométrique.
3. On note α la solution de l’équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et β = α .
Soient A, B et C les points d’affixes respectives α, β et 2, I le milieu de [AB]. Déterminer la nature du quadrilatère
OACB
Exercice 2
On considère l’application f qui à tout complexe z différent de −2i associe le complexe :
f (z) =
z−i
z + 2i
1. Calculer les images par f des complexes −i et 2.
1−i
2
3. Montrer que si z est un imaginaire pur différent de −2i alors f (z) est réel
2. Calculer (s’ils existent ) les antécédents par f des deux complexes 1 et
4. Existe-t-il un complexe z qui soit réel et tel que z 0 soit imaginaire pur ?
2z − 4i
5. Déterminer tous les complexes z dont l’image par f vaut f (z) =
z+i
6. Existe-t-il un complexe z qui soit réel et invariant par f (c’est-à-dire f (z) = z) ?
7. (a) On pose z = x + iy, exprimer les parties réelles et imaginaires de f (z) en fonction de x et y
(b) Quel est l’ensemble des complexes z tels que f (z) soit réel ?
(c) La réciproque de la proposition de la question 3 est-elle vraie ?
(d) Quel est l’ensemble des complexes z tels que f (z) soit imaginaire pur ?
Exercice 3
On considère le polynôme P défini sur C par
√ √
√ P (z) = z 3 − 2 + i 2 z 2 + 2 1 + i 2 z − 2i 2.
√
1. Montrer que le nombre complexe z0 = i 2 est solution de l’équation P (z) = 0.
√ 2. (a) Déterminer les réels a et b tels que P (z) = z − i 2 z 2 + az + b .
(b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0.
Partie B :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, ~u, ~v . On prendra 2 cm pour unité graphique.
On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :
zA = 1 + i,
zB = 1 − i,
√
3π
3π
zJ = i 2 et zK = cos
+ i sin
4
4
1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
√
2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à − 2.
3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.
4. Soit D le point d’affixe zD = −1 + i.
Le point C est le point d’intersection, distinct de A, de la droite (OA) et du cercle Γ. Calculer l’affixe de C.
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
Exercise 4 (University of Manchester)
z + 1
= 2 lie on a circle and find the centre and the radius
Show that the complex number z wich satisfy the equation z + 4
of this cercle.
Exercice 5 Devoir commun Carnot 2015
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O, ~u, ~v .
On considère la fonction f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M 0 d’affixe
z 0 = z 2 − 4z.
1. Soit A et B les points d’affixes respectives zA = 1 − i et zB = 3 + i.
Calculer les affixes des points A0 et B 0 , images respectives des points A et B par f .
Donner le résultat sous forme algébrique.
2. Soit C le point d’affixe −3.
(a) Démontrer que le quadrilatère OM CM 0 est un parallélogramme si et seulement si z 2 − 3z + 3 = 0.
(b) Résoudre dans C, l’équation z 2 − 3z + 3 = 0.
3. (a) Exprimer z 0 + 4 en fonction de z − 2.
(b) Soit D et E les points d’affixes respectives zD = 2 et zE = −4.
Démontrer que tous les points M du cercle C de centre D et de rayon 2 ont leur image M 0 sur un même cercle
que l’on déterminera.
4. (a) Soit z = x + iy la forme algébrique du complexe z, avec x et y réels et z 0 = x0 + iy 0 la forme algébrique du
complexe z 0 , avec x0 et y 0 réels. Exprimer x0 et y 0 en fonction de x et y.
(b) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que leur image M 0 par f soit sur l’axe réel.
Kangourou 2012
question 20