Nombres complexes

NOMBRES COMPLEXES : GEOMETRIE
I1 – Fiche 2
Septembre 2016
RAPPELS DE COURS


Le plan est muni d'un repère orthonormal O,u,v .
Point image, affixe d’un point :
 A tout complexe z  x  iy , on associe le point M de coordonnées  x; y  , M est appelé point image de z, noté M  z  .
 A tout point M  x; y  du plan, on associe le nombre complexe z = x + i y, z est appelé affixe du point M.
Affixe d’un vecteur :
Soit A et B deux points d’affixes respectives z A et zB , alors le vecteur AB a pour affixe z AB  zB  z A .
Affixe du milieu d’un segment :
z A  zB
.
2
Soit A et B deux points d’affixes respectives z A et zB , alors le milieu du segment  AB  a pour affixe
L’affixe d’un point, d’un vecteur est un nombre complexe. L’écriture AB  zB  z A n’a aucun sens.
Longueur d’un segment :
Soit A et B deux points d’affixes respectives z A et zB , alors AB  z B  z A .
Une distance est un nombre réel positif. L’écriture AB  zB  z A n’a aucun sens.
Médiatrice :
 définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et
passant par son milieu.
 caractérisation : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des
extrémités de ce segment.
AM  BM
Cercle :
définition : Le cercle de centre  et de rayon r est l’ensemble des points M tels que M  r .
EXERCICE 1


Le plan est muni d'un repère orthonormal O,u,v .
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que :
1.
z  1  2i  4
2.
z  3i  4  3i
PTSI – ICAM Lille
3.
z 1
1
z  2i
4.
z 2i  z 1
5.
iz  4  z  3  i
6.
 z i 1

 z  z 1i
2016/2017
EXERCICE 2


Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O,u ,v . Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe i .
On considère l’application f qui, à tout nombre complexe z différent de i, associe le nombre complexe f  z  
1.
Déterminer les antécédents éventuels de i , 0 et i par f.
2.
A tout point M, d’affixe z, différent de A, on associe le point M ’ d’affixe z' tel que z'  f  z  .
1  iz
.
z i
a.
Montrer que pour tout point M différent de A, AM  BM '  2 .
b.
Montrer que, si M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4, alors M ’ se déplace sur un cercle C ‘ dont on précisera
le centre et le rayon.
3.
a.
Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que z  i soit un nombre réel non nul.
b.
Montrer que, si M décrit E, alors M ’ appartient à la droite  d’équation y  1 .
c.
Lorsque M décrit E, M ’ décrit-il toute la droite  ?
PTSI – ICAM Lille
2016/2017