max 4 Sujet à 2 5 5 3 3 6 5 P xyxyxyxy +

1
DÉPARTEMENT D’INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE
OPÉRATIONNELLE
Sigle du cours : IFT 6575
Nom du professeur : Jacques A. Ferland
Titre du cours : Méthodes de recherche opérationnelle
Examen final A 2013
Date : Jeudi 19 décembre 2013
Heure : 9h00 – 12h00
Lieu : 3195 PAA
Directives pédagogiques :
• Répondre à toutes les questions
Answer to all questions
• Deux pages de documentation permises
Two pages of notes allowed
• Calculatrice de base permise.
Basic calculator allowed
Question 1
Considérer le problème de programmation linéaire suivant :
max
4x + y
( P)
Sujet à
2 x − 5 y ≤ −5
− 3x + 3 y ≤ 6
x+ y ≤5
a) (6 points)
Écrire le dual du problème (P).
b) (8 points)
Déterminer une solution optimale du problème dual en utilisant les écarts
20
15
complémentaires en supposant que la solution optimale de (P) est x =
et y = .
7
7
__________________________________
2
Consider the following linear programming problem :
max
( P)
4x + y
Subject to
2 x − 5 y ≤ −5
− 3x + 3 y ≤ 6
x+ y ≤5
a) (6 points)
State the dual problem of (P)
b) (8 points)
Determine an optimal solution of the dual problem using complementary slackness where
20
15
the optimal solution of (P) is x =
and y = .
7
7
Question 2
Considérer le problème de programmation linéaire suivant :
min − 2 x1 + x2 − x3
Sujet à x1 + x2 + x3 ≤ 6
− x1 + 2 x2
≤4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Le tableau du simplexe associé à une solution de base optimale est le suivant :
Var. base
x1
x5
–z
x1
1
0
0
x2
1
3
3
x3
1
1
1
x4
1
1
2
x5
0
1
0
–z
0
0
1
T. droite
6
10
12
Supposer que le coefficient de la variable x2 dans la fonction économique devient
(1+ ρ ). Supposer également que les termes de droite du problème original deviennent
6 − 2 ρ 
4 + ρ  .


a) (10 points)
Déterminer les valeurs de ρ telles que la base optimale actuelle demeure réalisable et
optimale pour le problème modifié. Justifier votre réponse.
3
b) (3points)
Que devient la valeur optimale du problème modifié en terme de ρ .
__________________________________
Consider the following linear programming problem :
min − 2 x1 + x2 − x3
Subject to x1 + x2 + x3 ≤ 6
− x1 + 2 x2
≤4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
The simplex tableau associated with an optimal solution is the following:
Basic var
x1
x5
–z
x1
1
0
0
x2
1
3
3
x3
1
1
1
x4
1
1
2
x5
0
1
0
–z
0
0
1
rhs
6
10
12
Assume that the coefficient of x2 in the objective function becomes equal to (1+ ρ ).
6 − 2 ρ 
Assume also that the right hand side of the original problem becomes equal to 
.
4 + ρ 
a) (10 points)
Determine the values of ρ for which the current basis remains feasible and optimal.
Justify your answer.
b) (3 points)
Determine the optimal value of the modified problem in terms of ρ .
Question 3 (11 points)
Utiliser la variante de l’algorithme du simplexe pour les problèmes de flot à coût
minimum pour résoudre le problème suivant :
La quantité v de flot à acheminer de s à t est égale à 8, et la valeur du flot dans les arcs
pour la solution de base réalisable initiale est indiquée sur la figure :
4
Considérer l’arbre partiel suivant correspondant à la solution de base initiale précédente :
__________________________________
Use the variant on the simplex method to solve the following minimum cost flow
problem :
A flow v of 8 units must go from s to t, and the flow value on each arc for the initial basic
solution is indicated on the figure:
5
Consider the following tree associated with the initial basic solution given above:
Question 4
Considérer le problème suivant
2
9
2

min  x −  + ( y − 2 )
4

2
Sujet à
x −y≤0
x + y ≤6
x, y ≥ 0
a) (10 points)
Écrire les conditions d’optimalité KKT pour ce problème.
6
b) (3 points)
T
Vérifier que la solution [ x, y ]
T
3 9
=  ,  satisfait les conditions KKT en déterminant les
2 4
valeurs des multiplicateurs.
c) (7 points)
Les conditions KKT sont-elles suffisantes pour ce problème ? Justifier votre réponse.
__________________________________
Consider the following problem :
2
9
2

min  x −  + ( y − 2 )
4

2
Subject to x − y ≤ 0
x + y ≤6
x, y ≥ 0
a) (10 points)
State the KKT optimal conditions for the problem
b) (3 points)
T
T
3 9
Verify that the solution [ x, y ] =  ,  verifies the KKT optimality conditions and
2 4
determine the associated values of the multipliers.
c) (7 points)
Are the KKT optimality conditions sufficient for this problem? Justify your answer.
Question 5 (10 points)
Considérer le problème suivant :
1
( x1 − 1)2 + ( x2 − 1)2
2
Sujet à 0 ≤ x1 ≤ 2
0 ≤ x2 ≤ 2.
min
T
{
}
Soit x 0 = [ 0, 0] .
Compléter une itération de la méthode des directions réalisables.
__________________________________
7
Consider the following problem :
1
( x1 − 1)2 + ( x2 − 1)2
2
Subject to 0 ≤ x1 ≤ 2
0 ≤ x2 ≤ 2.
min
{
}
T
Let x 0 = [ 0, 0] .
Complete one iteration of the feasible directions method.
Question 6 (13 points)
Considérer le problème de programmation linéaire en nombres entiers suivant :
min z = x − 2 y
Sujet à − 4 x + 6 y ≤ 9
x+ y ≤4
x, y ≥ 0, entiers
La solution optimale du problème relaxé associé est x = 1.5, y = 2.5, and z = −3.5 .
Résoudre ce problème avec l’algorithme du Branch-and-Bound présenté au cours.
Lors de la résolution du problème relaxé d’un problème candidat, s’il y a plus qu’une
variable qui n’est pas entière à l’optimum, alors utiliser celle ayant la plus grande partie
fractionnaire pour engendrer les deux nouveaux problèmes, et briser les cas d’égalité de
façon aléatoire; i.e., dans notre problème, prenez y comme variable de séparation de
départ.
Dans l’exécution du Branch-and-Bound, placer toujours dans la pile des problèmes
candidats, celui obtenu en ajoutant la contrainte définie avec le plafond au-dessus de
celui obtenu en ajoutant la contrainte définie avec le plancher.
Vous pouvez résoudre graphiquement les problèmes candidats. Dans ce cas, illustrer
graphiquement les solutions obtenues.
__________________________________
Consider the following integer linear programming problem :
min z = x − 2 y
Subject to − 4 x + 6 y ≤ 9
x+ y ≤4
x, y ≥ 0,integer
The optimal solution of the relaxed problem is x = 1.5, y = 2.5, and z = −3.5 .
8
Solve this problem with the Branch-and-Bound method introduced in the course.
When solving the relaxed problem of any candidate problem, if there are more than one
variable which is not integer at the optimum, then select the variable having the largest
fractional value as the separating variable to specify the two new candidate problems,
and breaking ties randomly; i.e., in our problem, take y as the original separating
variable.
In completing the Branch-and-Bound algorithm, place in the pile of candidate problems
the one obtained by adding the constraint using the ceiling value above the one obtained
by adding the constraint using the floor value.
You can solve graphically all the candidate problem. In this case, illustrate graphically
the solutions.
Question 7
Étant donné l’état de sa voiture, son propriétaire estime qu’elle est comme neuve (état 0),
ou qu’elle est encore acceptable (état 1), ou qu’il faut la changer (état 2). La matrice de
transition entre les états lors de la vérification du propriétaire est la suivante :
states
[0 1 2 ]
3 1 

0

0 
4 4 


 
2
1


  P= 0

1 
3 3 


 
2
0 0 1 


Le propriétaire a les possibilités suivantes qui s’offrent à lui : ne rien faire si la voiture est
dans l’état 0 ou 1, et la changer si elle est dans l’état 1 ou 2. Finalement, le prix d’une
nouvelle voiture est de 20 000$.
a) (6 points)
Énoncer toutes les politiques de décisions du propriétaire.
b) (13 points)
Évaluer le coût moyen par unité de temps de chaque politique de décision.
__________________________________
9
Looking at the state of his car, the owner can evaluate that it is like new (state 0), or that
it is still acceptable (state 1), or that he has to buy a new car (state 2). The transition
matrix between two different moments where the owner verify the state of his car is
given by
states
[0 1 2 ]
3 1 

0

0 
4 4 


 
2
1


  P= 0

1 
3 3 


 
2
0 0 1 


The owner can do nothing if the car is in states 0 or 1, and he can buy a new car if the car
is in states 1 or 2. Finally, the price of a new car is 20 000$.
a) (6 points)
State all the different decision policies for the owner.
b) (13 points)
Evaluate the expected average cost per unit of time of each decision policy.