Chaines de solides

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Chaînes de solide
CHAÎNES DE SOLIDES
Les mécanismes sont constitués de nombreuses pièces, certaines restant en permanence liées à d’autres
au cours du fonctionnement du mécanisme. Ces groupes de pièces sont liés à d’autres groupes de pièces
par des liaisons mécaniques. On fait ainsi apparaître des chaînes de solides.
1- Rappel sur les liaisons élémentaires
Solide indéformable :
C’est un solide physique dont on peut négliger la
déformation sous l’effet des actions
mécaniques qui lui sont appliquées
Cela implique que, quels que soient les points A
et B appartenant à ce solide, la distance AB
reste constante dans le temps.
A
B
 d AB 

 = 0
 dt Rs
Rs
Rs est un repère lié au solide S
Classe d’équivalence :
C’est l’ensemble des pièces d’un même système mécanique qui sont en permanence en liaison encastrement,
et dont le comportement du point de vue cinématique est équivalent au comportement de l’une d’entre
elles.
Liaison élémentaire :
z
Modèle retenu pour traduire la relation
physiquement établie entre deux solides ou
classe d’équivalence par l’intermédiaire d’une où
plusieurs surfaces de contact, et autorisant un
nombre défini de degrés
de liberté
(mouvements) de l’un par rapport à l’autre. Il y
a au total 10 liaisons élémentaires autorisant
des mouvements relatifs
TX
y
x
RX
Une liaison autorisant 6 degrés de liberté est appelée liaison libre.
Une liaison n’autorisant aucun degré de liberté est appelée liaison encastrement ou liaison fixe.
Une liaison élémentaire est caractérisée par un ou plusieurs éléments géométriques associés : direction,
centre, normale, axe (voir annexe).
Torseurs associés à une liaison élémentaire :
On suppose que les liaisons entre solides sont parfaites, c'est-à-dire que :
les surfaces en contact sont géométriquement parfaites
il n’y a pas de frottement
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Chaque liaison élémentaire autorise un comportement mécanique de l’un des solides par rapport à l’autre.
Des torseurs traduisent ce comportement :
-
Le torseur cinématique :
{V
(S /R)
(ou torseur des vitesses permises)
}=
Ω ( S / R ) 


V


A  ( A,S / R ) 
dont les éléments de réduction par
projection dans une base particulière font apparaître nc paramètres (ou inconnues)
cinématiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté de la liaison.
-
 R( S → R ) 
Le torseur « statique » : {τ ( S → R ) }= 

(ou torseur des actions transmissibles)
M

( A,S → R ) 

A
dont les éléments de réduction par
projection dans une base particulière font apparaître ns paramètres (ou inconnues) statiques.
Ce nombre correspond aux degrés de liberté supprimés de la liaison.
Il existe une relation particulière entre ces deux nombres : nc + ns = 6 (voir annexe).
2- Graphe de structure (ou graphe des liaisons)
L2
Graphe où les classes d’équivalence sont
représentées par des cercles et les liaisons
par des arcs (ou des segments) joignant les
cercles.
Suivant la représentation obtenue, on pourra
distinguer :
- des chaînes ouvertes continues de
solides
- des chaînes fermées simples de solides
- des chaînes fermées complexes de
solides.
1
0
L4
L5
L7
L6
3
2
L9
L3
5
L8
4
Exemple de chaîne ouverte continue : Robot Ericc 3
Graphe de structure :
Bras 2
Avant-bras 3
L3
2
Poignet 4
3
L4
L2
Pince 5
Chaise 1
Socle 0
4
L5
1
L1
0
5
Ici, les liaisons Li sont toutes des liaisons
pivots
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Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique
Graphe de
structure :
Ecrou -tige 3
L2
Arbre vis 2
3
2
L1
Bâti 1
L3
1
Exemple de chaîne fermée complexe: Positionneur 6 axes
Table 3
Graphe de structure :
3
Tige de
vérin 2i
21
22
23
24
25
26
11
12
13
14
15
16
0
Embase 0
Corps de
vérin 2i
Liaisons 0/1i et 3/2i : liaisons sphériques
Liaisons 1i/2i : liaisons pivot glissant
On appelle N le nombre de solides et L le nombre de liaisons intervenant dans la chaîne.
On remarque que :
- pour une chaîne ouverte continue :
L = N – 1
- pour une chaîne fermée simple :
L = N
- pour une chaîne fermée complexe :
L > N .
Nombre cyclomatique :
On remarque que sur les chaînes fermées complexes, il est possible d’écrire plusieurs fermetures
cinématiques. On appelle γ le nombre de cycles strictement nécessaires pour prendre en compte toutes
les inconnues cinématiques. Ce nombre est défini par la relation :
γ =L–N+1
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3- Liaisons équivalentes
Dans un graphe de structure, il est possible de remplacer un sous-ensemble de liaisons liant deux ou
plusieurs pièces par une seule liaison entre deux solides, équivalente du point de vue cinématique et
statique (si on se place dans le cas des liaisons parfaites).
On distingue deux cas :
- les liaisons en parallèle
- les liaisons en série.
Pour déterminer une liaison équivalente, on peut rechercher soit le torseur statique équivalent, soit le
torseur cinématique équivalent. On parle dans le 1er cas de méthode statique, dans le 2ème de méthode
cinématique.
3-1 Liaisons en parallèle:
Action
extérieure
L1
On considère une portion de graphe liant deux
solides 1 et 2 par l’intermédiaire de trois
liaisons.
L2
2
1
L3
On cherche à déterminer la liaison équivalente,
qui pourrait être une liaison élémentaire.
Action
extérieure
Léq
2
1
Méthode statique :
Le solide 2 est soumis à une action extérieure
autre que celles dues aux liaisons :
On
{τ } = {τ
{τ } = {τ
note :
(1 → 2 )
2
(1 → 2 )
équ
{τ } = {τ
}, {τ } = {τ
1
L2
{τ
Léqu
}.
( ex → 2 )
(1 → 2 )
(1 → 2 )
3
}.
L3
L1
1
2
3
{τ }+ {τ
équ
},
} et
On applique le PFS au solide 2.
En considérant les trois liaisons, on obtient :
{τ } + {τ } + {τ } + {τ
En considérant la liaison équivalente, on obtient :
} = {0}
} = {0}
( ex → 2 )
Par substitution, on obtient :
{τ } + {τ } + {τ } = {τ }.
1
2
3
équ
D’une manière générale, le torseur statique d’une
liaison équivalente à n liaisons en parallèle
s’exprime par :
( ex → 2 )
{τ } = ∑ {τ }
n
équ
i
(1)
i =1
Méthode cinématique :
On
note :
{V } = {V
2
{V } = {V
équ
( 2 / 1)
{V } = {V
},
}, {V } = {V
} et
1
L2
( 2 / 1)
Léqu
}
3
( 2 / 1)
( 2 / 1)
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entre eux.
L3
Le comportement cinématique du solide 2 par
rapport à 1, est induit par la liaison L1, mais
aussi L2 et L3 et également par la liaison
équivalente.
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On traduit cela par l’égalité de tous les torseurs
L1
{V } = {V } = {V } = {V }
équ
1
2
3
D’une manière générale, le torseur cinématique
d’une liaison équivalente à n liaisons en parallèle
s’exprime par :
{V } = {V } = ... = {V } = ... = {V }
équ
1
i
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n
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Conclusion : Dans le cas des liaisons en parallèle, on privilégiera la méthode statique. Afin de
simplifier les écritures, on aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour
chaque torseur sa forme particulière ont une intersection. On écrira alors les éléments de réduction
des torseurs en un point de cette intersection.
Hyperstatisme :
Si on appelle nsi le nombre d’inconnues statiques introduites par la liaison « i », alors le nombre total
n
d’inconnues statiques mise en oeuvre par la liaison équivalente Ns vaut : Ns
= ∑ ns i .
i =1
En appliquant la relation (1), on fait apparaître un nombre d’équations scalaires statiques indépendantes
noté « rs » (ou encore Es) au plus égal à 6.
On appelle « h », le degré d’hyperstatisme de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle, le nombre
total d’inconnues statiques moins le nombre d’équations statiques indépendantes :
h = Ns - rs
Si h = 0, la liaison est dite isostatique.
Si h > 0, la liaison est dite hyperstatique d’ordre h.
Mobilité :
On appelle « m », le degré de mobilité de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle. Il est égal à 6
(nombre maximum de degrés de liberté) moins le nombre d’équations statiques indépendantes :
m = 6 - rs
Si m = 0, la liaison équivalente est une liaison encastrement ou fixe.
Si m > 0, la liaison est dite mobile à m degrés de libertés.
3-2 Liaisons en série:
On considère une portion de graphe liant trois
solides 1, 2 et 3 par l’intermédiaire de deux
liaisons.
On cherche à déterminer la liaison équivalente,
qui pourrait être une liaison élémentaire.
L1
L2
1
Action
extérieure
2
Action
extérieure
Léq
3
1
Méthode statique :
Le solide 3 est soumis à une action extérieure
autre que celles dues aux liaisons :
On note :
{τ } = {τ
{τ } = {τ
}, {τ } = {τ
1
(1 → 2 )
équ
(1 → 3 )
Léqu
}.
2
{τ
}.
( ex → 3 )
},
( 2 → 3)
2
} = {0}
( ex → 3 )
On applique le PFS au système (2+3). on
obtient :
{τ } + {τ
1
} = {0}
} = {0}
( ex → 3 )
Par substitution, ces trois relations donnent :
{τ } = {τ } = {τ }.
2
équ
D’une manière générale, le torseur statique d’une
liaison équivalente à n liaisons en série s’exprime
par :
{τ } = {τ } = ... = {τ } = ... = {τ }
équ
1
i
n
( ex → 3 )
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{τ } + {τ
1
On applique le PFS au solide 3.on obtient :
{τ } + {τ
On applique le PFS au solide 3 en considérant la
liaison équivalente, on obtient :
équ
et
3
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(2)
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Méthode cinématique :
On
note :
{V } = {V
2
{V } = {V
équ
(3 / 2)
L2
( 3 / 1)
}
Léqu
{V } = {V
1
( 2 / 1)
}
L1
},
et
Le comportement cinématique du solide 3 par
rapport à 1, est induit par la liaison L1, mais
aussi L2 et L3 et également par la liaison
équivalente.
La composition de mouvements de 3 par rapport à
1 s’exprime par la composition des torseurs
cinématiques :
{V } = {V } + {V }
équ
1
2
D’une manière générale, le torseur cinématique
d’une liaison équivalente à n liaisons en série
s’exprime par :
{V } = ∑ {V i}
n
équ
i =1
Conclusion : Dans le cas des liaisons en série, on privilégiera la méthode cinématique. Afin de
simplifier les écritures, on aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour
chaque torseur sa forme particulière ont une intersection. On écrira alors les éléments de réduction
des torseurs en un point de cette intersection.
Hyperstatisme :
La relation (2) permet de déterminer toutes les composantes des torseurs
{τ }. Par conséquent, une
i
liaison équialente à des liasons en série est toujours isostatique.
Mobilité :
On appelle nci le nombre d’inconnues cinématiques introduites par la liaison Li. Alors le nombre total
n
d’inconnues cinématiques de la liaison équivalente Nc vaut : Nc =
∑
nci
i=1
On appelle « m », le degré de mobilité cinématique de la chaîne continue ouverte constituée des n liaisons
en série. Il est égal au nombre total d’inconnues cinématiques :
m = Nc
On appelle « mu », le degré de mobilité de la liaison équivalente :
mu = ncéqu.
Ces deux mobilités ne sont pas systématiquement égales. En effet m peut être supérieure à mu.
On définit alors la mobilité interne « mi » telle que :
m = mu + mi
Cette mobilité peut se déterminer en supposant les deux solides terminaux de la chaîne ouverte immobile
l’un par rapport à l’autre et en observant les mouvements internes possibles.
4- Chaînes fermées simples
En reliant les deux solides extrêmes d’une chaîne continue ouverte, on obtient une chaîne fermée simple.
Une chaîne fermée simple possède autant de solides que de liaisons.
On définit ci-dessous les relations caractéristiques d’un tel type de chaîne en considérant ensuite
l’exemple d’un vérin électrique.
Etude statique et hyperstatisme :
Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d’appliquer (n-1) fois le PFS. L’un des solides étant fixe
ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-1) isolements un certain nombre d’équations statiques
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indépendantes. On notera « rs » le nombre d’équations statiques indépendantes et « Ns » le nombre total
d’inconnues statiques.
On appelle h le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le
nombre total d’inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs :
h = Ns – rs
Etude cinématique et mobilité:
Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d’appliquer une fois la composition de mouvement en
écrivant la fermeture des torseurs cinématiques. On obtient alors un système d’au plus 6 équations
cinématiques indépendantes. On notera « rc » le nombre d’équations cinématiques indépendantes et « Nc »
le nombre total d’inconnues cinématiques.
On appelle m le degré de mobilité d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre
total d’inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc:
m = Nc - rc
Cette mobilité se décompose en mobilité utile (loi E/S) « mu » et mobilité interne « mi » avec :
m = mu + mi
Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse.
D’où une certaine difficulté à déterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermée simple.
Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s’exprimer par la relation
suivante :
m = 6(n-1) – rs
En utilisant la relation remarquable nci + nsi = 6, on peut exprimer le degré d’hyperstatisme plus
simplement :
n
On peut écrire :
Nc + Ns =
∑
i=1
De plus :
D’où :
n
nci +
∑
nsi = 6n
i=1
rs = 6 (n-1) – m = (Nc + Ns) - 6 - m
h = Ns – rs = Ns – ( (Nc + Ns) – 6 – m )
h = m + 6 – Nc
Ce qui nous donne la relation finale suivante :
Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique
Graphe de structure :
L2
Ecrou -tige 3
3
2
Arbre vis 2
y
L1
x
O
z
Bâti 1
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L3
1
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On définit les torseurs statiques et cinématiques par leurs éléments de réductions en O.
r
r
r
 X 12 x + Y12 y + Z12 z 
{τ (1 → 2 )}=  r
r

M 12 y + N12 z

O
r
r
r
 X x + Y y + Z 32 z

{τ ( 3 → 2 )}=  32 r 32
r
r
− pX 32 x + M 12 y + N12 z 
O
r
α 21 x 
{V ( 2 / 1)}=  
0 
O
r
α 32 x 
{V ( 3 / 2 )}= 
r
p
x
α


32
O
r
0 
{V ( 3 / 1)}=  r 
u x
O  31 
r
r
Y13 y + Z13 z

{τ (1 → 3)}=  r
r
r
L x + M 13 y + N13 z 
O  13
On considère que cet ensemble matériel est en équilibre sous l’action de deux torseurs extérieurs :
r
r
r
 Xex + Yey + Zez 
{τ ( E → 2 )}=  r
r
r
Lex + Mey + Nez 
O
et
Etude statique :
On applique le PFS à l’arbre vis 2 :
r
r
r
 Xe' x + Ye' y + Ze' z 
{τ ( E → 3)}=  r
r
r
Le' x + Me' y + Ne' z 
O
{τ
{τ
} + {τ
} + {τ
( E → 2)
} + {τ
} − {τ
(1 → 2 )
} = {0}
} = {0}
(3 → 2)
Puis, on applique le PFS à l’écrou tige 3 :
( E → 3)
(1 → 3 )
( 2 → 3)
 X12 + X 32 + Xe = 0
− X32 + Xe'= 0 → ( b)


Y12 + Y32 + Ye = 0
Y13 − Y32 + Ye'= 0
Z12 + Z 32 + Ze = 0
 Z13 − Z 32 + Ze'= 0
On obtient au total 12 équations:


− pX32 + Le = 0 → ( a )
 pX32 + L13 + Le'= 0
M + M + Me = 0
 M − M + Me'= 0
12
32
13
32


N
+
N
+
Ne
=
0
N
−
N
 12
 13
32
32 + Ne'= 0
On remarque que l’équilibre de l’ensemble ne peut avoir lieu que si les composantes Xe' et Le sont liées
(relation imposée par (a) et (b)).
Au total, on obtient donc 11 équations indépendantes (sur un total initial de 12) liant 15 inconnues
statiques.
Le degré d’hyperstatisme vaut donc :
h = Ns – rs = 15 – 11 = 4
 X12 + X32 + Xe = 0

Y12 + Y32 + Ye = 0
 Z12 + Z 32 + Ze = 0

− pX32 + Le = 0 ⇔ −X32 + Xe'= 0 avec Le = − pXe'
 M12 + M 32 + Me = 0

 N12 + N 32 + Ne = 0
Y − Y + Ye'= 0
 13 32
 Z13 − Z 32 + Ze'= 0
 pX + L + Le'= 0
 32 13
 M13 − M 32 + Me'= 0
 N − N + Ne'= 0
 13
32
Etude cinématique :
On exprime la fermeture cinématique ::
{V (3 / 2 )} + {V ( 2 / 1)} + {V (1 / 3)} = {0}
α 32 + α 21 = 0

 pα 32 + u13 = 0
Le degré de mobilité vaut donc : m = Nc – rc = 3 – 2 = 1 (avec mu = 1 et mi = 0)
On peut retrouver la valeur de h en utilisant la relation : h = m + 6 – Nc = 1 + 6 – 3 = 4.
On obtient alors deux équations scalaires indépendantes :
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5- Chaînes fermées complexes
Une chaîne fermée complexe possède un nombre de liaisons supérieur au nombre de solides. L’étude d’une
chaîne complexe reprend la même démarche que celle d’une chaîne simple. Mais la présence de plusieurs
cycles amène à des relations prenant en compte le nombre cyclomatique.
Etude statique et hyperstatisme :
Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d’appliquer (n-1) fois le PFS. L’un des solides étant fixe ne
peut être isolé. Il résulte de ces (n-1) isolements un certain nombre d’équations statiques indépendantes.
Ces équations font intervenir au total Ns inconnues statiques.
On notera « rs » le nombre d’équations statiques indépendantes et « Ns » le nombre total d’inconnues
statiques.
On appelle h le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le
nombre total d’inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs :
h = Ns - rs
Etude cinématique et mobilité:
Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d’écrire plusieurs fermetures cinématiques, en
l’occurrence γ fermetures On obtient alors un système d’au plus 6γ équations cinématiques indépendantes.
Ces équations font intervenir au total Nc inconnues cinématiques.
On notera « rc » le nombre d’équations cinématiques indépendantes et « Nc » le nombre total d’inconnues
cinématiques.
On appelle m le degré de mobilité d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre
total d’inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc:
m = Nc - rc
Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse.
D’où une certaine difficulté à déterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fermée simple.
Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s’exprimer par la relation
suivante :
m = 6(n-1) – rs
En utilisant la relation remarquable nci + nsi = 6, on peut exprimer le degré d’hyperstatisme plus
simplement :
n
On peut écrire :
Nc + Ns =
∑
i=1
De plus :
D’où :
n
nci +
∑
nsi = 6 l
i=1
rs = 6 (n-1) – m = 6 (l - γ) – m = (Nc + Ns) - 6γγ - m
h = Ns – rs = Ns – ( (Nc + Ns) – 6γγ – m )
Ce qui nous donne la relation finale suivante :
h = m + 6γγ - Nc
Dans le cas d’un problème plan, cette relation devient :
h = m + 3γγ - Nc
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TABLEAU DES LIAISONS
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