chaines de solides - Académie d`Aix

Chaînes de solides
B) CHAÎNES DE SOLIDES
Objectifs
Cette théorie a pour but d'analyser les comportements statique et cinématique d'un mécanisme à partir
d'un modèle défini par le schéma cinématique du mécanisme.
De cette analyse, et en fonction des objectifs visés, peuvent ressortir les éléments suivants :
– la capacité du mécanisme à remplir correctement sa fonction de transformation de mouvement, en traduisant la (les) loi(s) entrée/sortie souhaitées ;
– la possibilité de pouvoir calculer les vitesses relatives au sein des liaisons, en vue de leur conception (choix
qualitatif et dimensionnement) ;
– la nécessité de modifier des liaisons, ou bien d'imposer des contraintes géométriques « sévères » ou, tout
au contraire, de faire apparaître la nécessité d'introduire des jeux dans certaines liaisons, afin d'obtenir un
mécanisme viable et fiable, en particulier dans l'optique d'une production en série (contexte économique
de fabrication) ;
– la possibilité de pouvoir calculer tous les efforts transmissibles par les liaisons, en vue de leur conception
(choix qualitatif et dimensionnement) ;
La description des objectifs visés met en évidence les caractères indissociables et complémentaires des
aspects statiques et cinématiques.
REMARQUE – L'aspect statique est mis en avant, mais il pourrait être remplacé par l'aspect dynamique sans
que la démarche ni qu'aucune conclusion ne soient modifiées.
1. MISE EN ÉQUATION
1.1. Analyse géométrique
L’analyse géométrique d’un mécanisme permet de mettre en évidence la (ou les) relation(s) entrée/sortie qui relie(nt) le (ou les) paramètre(s) de sortie et le (ou les) paramètre(s) d’entrée.
Pour un couple de paramètres entrée/sortie, cette relation définit la fonction de transfert géométrique de
la chaîne cinématique correspondante du système.
uuur n −1 uuuuuur uuuur r
OA1 + ∑ Ai Ai +1 + A1O = 0
Elle est issue de l’écriture de la relation vectorielle qui traduit la fermeture géométrique de chaîne :
i =1
Le point O est l’origine du repère fixe et les points Ai sont les centres des liaisons qui définissent la chaîne
cinématique. La projection de cette relation dans une base donnée permet d’écrire les 2 (problème plan) ou
3 (problème spatial) relations scalaires desquelles on tire la relation entrée/sortie.
1.2. Analyse cinématique
L’analyse cinématique d’un mécanisme permet d’établir des relations entre les vitesses issues de la fermeture cinématique de chaîne.
∑ { VR
n
}+{V
} = {0}
La fermeture cinématique de chaîne est l’écriture de la loi de composition des mouvements sous la forme :
i =1
i −1 / Ri
Rn / R0
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Mécanique
Cette relation torsorielle se traduit par l’écriture de deux équations vectorielles qui, projetées dans un repère, vont donner 6 équations scalaires.
On peut, de la même façon que pour l’étude géométrique, en tirer une (ou des) relation(s) entre les paramètres cinématiques d’entrée et ceux de sortie. On définit ainsi la fonction de transfert cinématique du
mécanisme.
1.3. Analyse des actions mécaniques
L’analyse des actions mécaniques permet d’établir des relations entre le torseur d’effort d’entrée et
celui de sortie d’un mécanisme. Cette étude peut être menée soit en statique soit en dynamique.
On définit ainsi la fonction de transfert du mécanisme au niveau des efforts.
2. DÉFINITIONS
Degrés de liberté
z
Z
S1
Mobilité cinématique
La mobilité cinématique d’un mécanisme (notée mc)est le nombre de
mouvements indépendants (en relation avec les degrés de liberté) que
l’on peut imposer à certaines pièces de ce mécanisme pour définir
complètement son comportement cinématique.
θz
→
Le positionnement d’un solide S2 par rapport à un solide S1 est défini
lorsque les 6 paramètres indépendants X, Y, Z, θX, θY, θZ appelés
degrés de liberté sont déterminés (fig. 1).
O
X
θx
S2 θy
Y
→
y
→
x
Fig 1 : Degrés de liberté
Elle est constituée de la mobilité cinématique utile (notée mcu) et de la mobilité cinématique interne
(notée mci) : m c = m cu + m ci
La mobilité cinématique utile mcu correspond au nombre de relations indépendantes qui existent entre les
paramètres cinématiques d’entrée et de sortie du mécanisme.
La mobilité cinématique interne mci correspond au nombre de relations indépendantes qui existent entre les
paramètres cinématiques des pièces internes du mécanisme.
La mobilité cinématique interne, dans un mécanisme, est une mobilité indépendante entre 2 solides qui ne
modifie pas le fonctionnement du mécanisme (par exemple la rotation d’une pièce sur elle-même).
Inconnues statiques de liaison
Ce sont les composantes (indépendantes) du torseur statique associé à une liaison.
Dans la suite, on notera Li le nombre de ces inconnues relativement à la iéme liaison.
Inconnues cinématiques de liaison
Ce sont les composantes (indépendantes) du torseur cinématique associé à une liaison.
Dans la suite, on notera Mi le nombre de ces inconnues relativement à la iéme liaison.
Degré d’hyperstaticité
Une liaison entre deux solides est faite pour imposer une certaine mobilité entre eux.
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Chaînes de solides
Si le nombre de composantes de liaisons pour assurer cette fonction est minimum, la liaison est dite « isostatique ». Dans le cas contraire, les composantes en surnombre sont qualifiées de composantes hyperstatiques et leur nombre définit le degré d’hyperstaticité de la liaison. On le note h.
Modèle d'étude - Structures des mécanismes
Les mécanismes sont réalisés à partir de n pièces modélisées comme indéformables et reliées entre elles par
les l liaisons mécaniques parfaites, c'est-à-dire, sans jeux et sans frottement. Les ensembles ainsi formés sont
appelés chaînes de solides. Ces chaînes peuvent être classées en trois types de structures qui sont définis
par le graphe des liaisons. On distinguera :
(l = n – 1) ;
(l = n) ;
– figure 2-a : les chaînes continues ouvertes
(l > n).
– figure 2-b : les chaînes continues fermées
– figure 2-c : les chaînes complexes fermées
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Fig 2 : Chaînes de solides
La théorie des mécanismes présentée ici ne s'intéressera qu'aux chaînes fermées, continues ou complexes.
Toute chaîne complexe fermée pouvant être considérée comme l'association de plusieurs chaînes continues
fermées, ce sont ces dernières qui, dans un premier temps, feront l'objet de l'étude.
3. DÉTERMINATION DU DEGRÉ DE MOBILITÉ ET DU DEGRÉ D’HYPERSTATISME
3.1. Analyse des chaînes continues fermées
3.1.1. Approche statique
Inconnues statiques de liaison
Pour la chaîne continue fermée, le nombre total d'inconnues statiques de liaison est : Is =
Nombre d'équations statiques
Σ Li
i=1
n
C'est le nombre total des équations issues de l'application du principe fondamental appliqué à chaque solide moins un, puisque, pour une chaîne fermée, l'écriture de l'équilibre de (n-1) solides contient les informations relatives à l'équilibre du nième (actions réciproques). Le solide n'étant pas pris en considération est
généralement le bâti. Dans l'espace, et pour chacun des (n-1) solides, on peut écrire 6 équations.
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Mécanique
Le nombre total maximal des équations statiques que l'on peut écrire est : 6 (n – 1).
Mais, cela ne signifie pas que les 6 (n – 1) équations soient indépendantes et significatives. On notera rs le
rang du système d'équations statiques ainsi obtenu.
RAPPEL – Le rang rs est le rang de la matrice issue du système des ne équations de statique à ni inconnues. Il
est toujours égal ou inférieur à la plus petite des deux valeurs ne ou ni.
Mobilité cinématique
Pour une chaîne continue fermée, la mobilité cinématique se définit de la façon suivante :
mc = 6 (n – 1) – rs
Or la différence entre le nombre d’inconnues statiques de liaison Is et rs correspond au degré d’hyperstatisme : h = Is – rs
ou encore
rs = Is – h
6 (n – 1) – Is = mc – h
On obtient donc en définitive :
Indice de mobilité
On appelle indice de mobilité les quantités 6 (n – 1) – Is
Formule de mobilité
6 (n ± 1) ± Is = m cu + m ci ± h
mc – h.
ou
avec
Interprétation des différentes valeurs de h
Is =
Σ Li
i=1
n
[1]
•h = 0 → Le mécanisme est isostatique. Toutes les actions de liaisons sont définies à partir des actions extérieures connues.
•h > 0 → Le mécanisme est hyperstatique, il existe h inconnues surabondantes. Toutes les actions de liaisons ne peuvent pas être définies à partir des équations de la statique. En d’autres termes, il
manque h équations entre les inconnues d’efforts que l’on va puiser dans le domaine de la résistance des matériaux par exemple.
•h < 0 → Pour une chaîne continue fermée, si le calcul conduit à h < 0, il est probable que la détermination
de mc n'a pas été faite correctement.
3.1.2. Approche cinématique
Inconnues cinématiques de liaison
Pour la chaîne continue fermée, le nombre total d'inconnues cinématiques dans les liaisons est : Ic =
Σ Mi
i=1
n
Puisque les torseurs cinématique et statique sont complémentaires (comoment nul = puissance nulle développée au sein de la liaison parfaite), alors pour une liaison : Li + Mi = 6 .
L i = 6 n ± Is
Σ 6 ± Li = 6 n ± iΣ
i=1
=1
n
n
Pour la chaîne continue fermée, le nombre total d'inconnues cinématiques de liaison sera donc :
Ic =
Nombre d'équations cinématiques
C'est le nombre total des équations issues de la fermeture de la chaîne cinématique par application de la
composition des torseurs cinématiques et qui traduit :
V1/1
O
=
V1/2
O
+
V2/3
O
+ ... +
Vn/1
O
= 0
Cette équation torseurielle dans l'espace est susceptible de fournir 6 équations scalaires.
Mais, cela ne signifie pas que ces 6 équations soient indépendantes et significatives. On notera rc le rang du
système d'équations cinématiques ainsi obtenu.
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Chaînes de solides
Mobilité cinématique
Pour une chaîne continue fermée, elle est définie par le nombre mc de paramètres cinématiques indépendants et surabondants pris parmi les inconnues cinématiques, qu'il faut imposer afin de définir complètement toutes les autres inconnues cinématiques par résolution du système d'équations cinématiques :
mc = Ic – rc
Or ici, le degré d’hyperstatisme correspond à :
On obtient donc en définitive :
Ic – 6= mc – h
h = 6 – rc
Indice de mobilité
On appelle indice de mobilité les quantités Ic – 6
Formule de mobilité
Ic ± 6 = m cu + m ci ± h
mc – h.
ou
avec
Interprétation des différentes valeurs de h
rc = 6 – h
ou encore
Ic =
Σ Mi
i=1
n
[2]
•h = 0 → Toutes les inconnues cinématiques sont calculables à partir des mc paramètres d'entrée. Le mécanisme peut se monter et fonctionner sans contraintes géométriques particulières. La loi entrée/sortie est parfaitement définie.
•h > 0 → Il existe h équations dépendantes qui constituent autant de conditions géométriques qui, dans la
pratique, doivent être parfaitement respectées. La chaîne est rigide et surabondante.
•h < 0 → Le mécanisme n’est pas viable car mal conçu.
3.1.3. Cas particulier d'une chaîne à mobilité nulle
Une telle chaîne est définie, par exemple, par la figure 3. On vérifiera
que sa mobilité est nulle et qu'elle répond au critère d'isostatisme h =
0. Néanmoins, il s'agit plus d'un « assemblage » que d'un mécanisme
au sens cinématique du terme, puisqu'il n'y a pas mouvement. Le
mécanisme ne possède pas de loi entrée/sortie.
3
2
1
3.2. Analyse des chaînes complexes
Une chaîne complexe fermée est décomposable en une juxtaposition
de chaînes continues fermées.
La décomposition n'est pas unique. Soit :
• l : le nombre de liaisons qui constituent la chaîne complexe.
• n : le nombre de solides qui constituent la chaîne complexe ;
Fig 3 : Chaîne à mobilité nulle
On montre (théorie des graphes) que le nombre de chaînes continues fermées qu'il est nécessaire et suffisant d'étudier, afin d'obtenir toutes les équations de fermetures de chaînes possibles (fermetures géométriques ou/et fermetures cinématiques), est donné par le nombre µ défini par la relation :
µ=l –n+1
Le nombre µ est appelé nombre cyclomatique de la chaîne complexe.
REMARQUE – Il est indispensable d'extraire les µ chaînes continues fermées de la chaîne complexe de telle
manière que chaque liaison apparaisse au moins une fois.
En conséquence, dans le cas des chaînes complexes, on peut écrire 6µ équations cinématiques (au lieu de 6
pour les chaînes continues) correspondant aux fermetures des µ chaînes indépendantes. Par ailleurs, l'étude
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Mécanique
des chaînes complexes est en tout point identique à l'étude des chaînes continues. La seule nouveauté
consiste donc à modifier l'expression du nombre d'équations de cinématique.
Toutes les relations vues précédemment restent donc valables à l'exception de la formule de mobilité
concernant le point de vue cinématique qui devient (cas général):
Ic ± 6 µ = m cu + m ci ± h
avec
Ic =
Σ Mi
i=1
n
[3]
4. CONCLUSIONS
Problèmes technologiques posés par un mécanisme hyperstatique
Il se produit des déformations de pièce par apparition de torseurs d’efforts indésirables, ce qui a pour conséquence d’entraîner de l’usure, de réduire le rendement et d’obliger le concepteur à surdimensionner les
pièces.
Solutions technologiques pour rendre le mécanisme isostatique
– Usiner précis (tolérances serrées sur la forme et sur la position des surfaces fonctionnelles).
– Introduire des réglages.
– Prévoir une période de rodage importante.
– Introduire des éléments déformables.
– Reconcevoir le mécanisme en apportant de nouveaux degrés de liberté par transformation des liaisons.
Cette solution est souvent la meilleure.
Conclusion
Il est important de remarquer qu’un mécanisme hyperstatique n’est pas forcément un « mauvais » mécanisme. Un mécanisme hyperstatique nécessite cependant des contraintes de fabrication plus importantes (difficultés d’usinage, augmentation des coûts,…).
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