Second degré€: Aide mémoire

Second degré : Aide mémoire
L’équation générale d’une parabole s’écrit y = ax² + bx +c
Influence des coefficients
Influence de a
y
4y
2
3
1
2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
1
-1
-2
-5
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
-1
-4
-2
-5
a est positif, la parabole est ouverte vers le
haut
CUEEP Département Mathématiques
a est négatif, la parabole est ouverte vers le
bas
E912 : Second degré : Aide mémoire
p1/8
Influence de c
x=0 y=c
La valeur de c est la valeur de y correspondant à x = 0, c’est l’ordonnée à l’origine
Si la parabole coupe l’axe des y en positif, la valeur de c est positive.
Si la parabole coupe l’axe des y en négatif la valeur de c est négative.
4y
3
2
1
-2-1
-10 1 2 3 4 5 x
-2
-3
Influence de b
Le signe de b ne peut pas se lire directement sur le graphique : il dépend de l’abscisse du sommet de la parabole et du signe de a.
Pour déterminer le signe de b il faut pouvoir déterminer la position de l’axe de symétrie de la parabole.
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E912 : Second degré : Aide mémoire
p2/8
Axe de symétrie et sommet de la parabole
L’axe de symétrie est obtenu pour la valeur de x = −
L’abscisse du sommet est −
b
,
2a
b
2a
En remplaçant cette valeur dans la formule y = ax² + bx + c on obtient l’ordonnée du sommet :
y=
− b ² + 4ac
4a
y
4
signe de b en fonction du signe de a et du signe de
3
−
b
2a
2
y=
− b² + 4ac
1
4a
-1
0
-1
Signe de
a
1
2
b
x=−
2a
3
4
CUEEP Département Mathématiques
x
+
+
-
E912 : Second degré : Aide mémoire
Signe de
b
−
2a
+
+
-
Signe de
b
+
+
-
p3/8
Signe de y en fonction de x
1er cas
2ème cas
3ème cas
y = ax² + bx + c n’admet pas de y = ax² + bx + c admet 1 racine double
solutions. ∆ est négatif. Alors quelque x1 . ∆ est nul, alors y est nul pour x1 ;
soit x, y est du même signe que a
pour toute autre valeur de x , y est du
même signe que a
6y
5
4
3
2
1
y est toujours positif
a>0
pour x1
CUEEP Département Mathématiques
-4-3-2-1
-10 1 2 3 x
-2
-3
-4
-5
-6
y est toujours positif ou nul
a>0
y est négatif entre x1 et x2,
positif ailleurs.
4y
3
2
1
y
1
-4-3-2-1
-10 1 2 3 x
-2
-3
-4
-5
-6
-4-3-2-1
-10 1 2 3 x
-2
-3
-4
-5
y est toujours négatif
1y
-4-3-2-1
-10 1 2 3 x
2y
1
a<0
x2. ∆ est positif, alors y est du même
signe que a pour les valeurs extérieurs
aux racines. y est du signe opposé à
celui de a entre les racines x1 et x2.
6y
5
4
3
2
1
-4-3-2-1
-10 1 2 3 x
a>0
y = ax² + bx + c admet 2 racines x1 et
a<0
pour x1
-2-1
-10 1 2 3 4 5 x
-2
-3
y est toujours négatif ou nul a < 0
y est positif entre x1 et x2,
négatif ailleurs
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p4/8
Représentation graphique
Soit la fonction f(x) = 2x² + 6x –8
a est positif la courbe sera tournée vers le haut
b
6
3
Axe de symétrie −
=− =−
2a
4
2
3
2
3
2
Ordonnée du sommet : 2 × (− )² + 6 × (− ) − 8 = −
9y
8
7
6
5
4
3
2
1
25
2
Ordonnée à l’origine c = -8
Solutions de f(x )= 0 :
x1 = -3
x2 = 1
Tableau de signe
y est du signe de a à l’extérieur des racines
x
Signe de y
Variation
de y
-∞
+∞
+
-4
0
-3/2
-
-5
1
0
+
-4
+∞
+∞
-25/2
x
y
-3/2
-4
1
0
-3
-25/2
0
0
-8
-8
Sommet parabole
1ère racine
2ème racine
Ordonnée à l’origine
Symétrique du point précédent
CUEEP Département Mathématiques
E912 : Second degré : Aide mémoire
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
1
2
p5/8
3
4
5x
Parabole et racines de l’équation ax² + bx +c = 0
Trouver les valeurs de x qui annulent l’expression ax² + bx + c , c’est trouver les racines de l’équation ax² + bx + c =0, ces racines
sont les abscisses des points de rencontre de la parabole avec l’axe des abscisses
Les solutions sont données par les formules x1 =
− b + b ² − 4ac
− b + b ² − 4ac
et x 2 =
2a
2a
b² - 4ac s’appelle le discriminant ∆
∆ <0
∆ =0
∆ >0
3y
y
y
2
1
3
1
0
1
2
3
4
2
5 x
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
4x
-1
-2
-2
-3
La parabole coupe l’axe des x en deux
points.
L’équation a deux racines
x1 et x2
CUEEP Département Mathématiques
La parabole coupe l’axe des x en un seul
point (elle est tangente à l’axe des
abscisses) :
L’équation admet une racine double x1
-3
-2
-1
0
1 x
La parabole ne coupe pas l’axe des x :
L’équation n’admet aucune racine
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p6/8
Décomposition en produits de facteurs
Lorsque le polynôme ax² + bx + c admet deux solutions il peut s’écrire sous la forme
ax² + bx + c = a( x- x1)(x – x2)
On utilise la forme factorisée pour établir les tableaux de signe.
Voir les exercices sur les signes du trinôme.
x
Signe de a
Signe de x – x1
Signe de x – x2
Signe de y
x1
|
0
|
|
x2
|
|
0
|
Exercices factorisation
Exercices signe du trinôme 1
Exercices signe du trinôme 2
Exercices signe du trinôme 3
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p7/8
Somme et produit des racines
Si on ajoute les deux racines
x1 + x 2 =
− b − b ² − 4ac − b + b ² − 4ac
b
+
=−
2a
2a
a
Si on multiplie les deux racines
2
 − b − b² − 4ac   − b + b² − 4ac   b  2  b² − 4ac 
b²
b ² 4ac c
×
 = −  − 
 =
x1 × x 2 = 
−
+
=





2a
2a
2a
4a ² 4a ² 4a ² a

 
  2a  

La somme des racines est égale à
−
Le produit des racines est égal à
c
a
b
a
Quand on connaît une racine (racine évidente) on peut trouver facilement la deuxième en utilisant l’une des formules ci-dessus, cela
évite de calculer le discriminant.
Exercices somme et produit de racines.
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p8/8