Les files d`attente (1)

Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Cours de Tronc Commun Scientifique
Les files d’attente (1)
Introduction
Vocabulaire
Recherche Opérationnelle
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
1
Introduction
2
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Les files d’attente (1)
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
3
Modélisation dans le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
4
Un exemple
5
Conclusion
Frédéric Sur
École des Mines de Nancy
Conclusion
www.loria.fr/∼sur/enseignement/RO/
1/28
2/28
Exemples de files d’attente (1)
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Exemples de files d’attente (2)
F. Sur - ENSMN
Introduction
Introduction
Vocabulaire
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Un exemple
Conclusion
Conclusion
Noah’s ark, Edward Hicks, 1846.
3/28
Files d’attente (1)
4/28
Exemples de files d’attente (3)
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Files d’attente (1)
Exemples de files d’attente (4)
F. Sur - ENSMN
et :
Introduction
Introduction
Trafic aérien
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Vocabulaire
Télécommunications (téléphonie, call-centers)
Serveurs informatiques
Modélisation dans
le cadre Markovien
Modélisation dans
le cadre Markovien
...
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Objectif : dimensionnement, organisation
Conclusion
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Conclusion
par l’estimation de mesures de performance comme :
temps moyen d’attente
nombre moyen de clients dans la file
nombre de serveurs occupés
St Pancras Station, Londres, AFP, dec. 2010.
probabilité que la file soit vide / pleine
“File” d’attente ?
...
5/28
6/28
Les files d’attente (1)
1
2
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Caractéristiques d’un système d’attente
Introduction
Modélisation dans le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
4
Un exemple
5
Conclusion
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
4
Modélisation dans
le cadre Markovien
3 2
S2
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
.........
Modélisation dans
le cadre Markovien
1
File d’attente
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
"Clients"
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Sn
"Serveurs"
Un exemple
Conclusion
Conclusion
“loi” d’arrivée des clients ?
“loi” de la durée des services ?
combien de serveurs ?
quelle est la taille de la file ?
comment s’organise la file ?
7/28
F. Sur - ENSMN
Introduction
S1
Vocabulaire
Un exemple
3
Files d’attente (1)
8/28
Les notations de Kendall (1953)
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Nombre d’arrivées / départs
Introduction
File (système) d’attente décrite par :
Files d’attente (1)
La loi de Little (1)
Arrivées
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
A/B/m/N/S
A est la distribution des arrivées : stochastique ou
déterministe ;
B est la distribution des temps de service : idem ;
5
4
4
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
2
1
t
Conclusion
D(t) nombre de départs pendant [0, t]
N(t) = A(t) − D(t) nombre de clients au temps t
Ti : temps de séjour (attente + service) du i-ème client
Z
A(t)
t
N(u)du =
0
Files d’attente (1)
1
0
0
1
Arrivées
0
1
0
1
0000000
1111111
0
1
7 1111111
00000000000
11111111111
0000000
0
1
00000000000
11111111111
0
1
6
00000000000
11111111111
0
00005 1
1111
0
5 1111
0000 1
0
1
0
Départs1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
temps
0
1
0t
1
F. Sur - ENSMN
A(t) nombre d’arrivées pendant [0, t]
D(t) nombre de départs pendant [0, t]
N(t) = A(t) − D(t) nombre de clients au temps t
Z
Vocabulaire
0
Donc :
Modélisation dans
le cadre Markovien
1
t
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
2
0
10/28
3
A(t)
N(u)du =
i=1
4
Ti − R(t)
Files d’attente (1)
Z
t
0
F. Sur - ENSMN
A(t)
t
N(u)du =
X
i=1
Ti − R(t)
A(t)
R(t)
A(t) 1 X
N(u)du =
Ti −
t A(t)
t
i=1
Hypothèses : lorsque t → +∞
R
1 t
1
t 0 N(u) → N (nombre moyen de clients présents)
Ti : temps de séjour (attente + service) du i-ème client
Remarque :
Ti − R(t)
La loi de Little (2)
Introduction
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
X
i=1
10/28
9/28
X
Un exemple
A(t) nombre d’arrivées pendant [0, t]
Remarque :
t
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Conclusion
Question : sous quelles conditions peut-on faire des calculs ?
Z
Modélisation dans
le cadre Markovien
temps
Un exemple
S est la discipline de service (FIFO, LIFO, RAND. . .)
11111
00000
00000
11111
4
4
00000
11111
000
111
000
111
1
3 111
10101111111111
0000000000
000
000
111
0000000000
1111111111
3
2 1
0
0000000000
1111111111
0000 2
1111
1 1111
0000
Départs
3
2
N est le nombre maximum de clients dans le système ;
Nombre d’arrivées / départs
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
5
1
3
m est le nombre de serveurs ;
La loi de Little (1)
Vocabulaire
6
Modélisation dans
le cadre Markovien
où :
Introduction
7
Vocabulaire
A(t)
t
→ λ (nombre moyen d’arrivées par unité de temps)
A(t)
T
i /A(t) → T (temps de séjour moyen)
i=1
P
R(t)
t
→0
(hypot. 1,2,3 : “régime permanent” ; hypot. 4 : pas de cumul)
11/28
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
Files d’attente (1)
La loi de Little (3)
F. Sur - ENSMN
Exemple
Introduction
Proposition - loi de Little (1961)
N =λ·T
Autre version :
Nf = λ · T f
avec :
– Nf : nombre moyen de clients dans la file d’attente
– Tf : temps d’attente moyen (dans la file).
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
(i.e. sans compter les clients en cours de service.)
12/28
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Modélisation dans le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
4
Un exemple
5
Conclusion
Les clients n’ont pas de mémoire
Hypothèses sur le nombre d’arrivées A(t) pendant [0, t] :
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Conclusion
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Pr(A(t + h) − A(t) = 1) =h→0 λh + o(h)
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Conclusion
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Introduction
les nombres d’arrivées pendant des intervalles de temps
disjoints sont indépendants (phénomène “sans mémoire”)
Vocabulaire
Pr(A(t + h) − A(t) > 1) =h→0 o(h)
λ : taux d’arrivée (nombre par unité de temps).
Alors on peut montrer que
1
2
∀t, A(t) suit une loi de Poisson de paramètre λt :
(λt)k
∀k > 0, Pr(A(t) = k) = e −λt
k!
le temps Tarr entre deux arrivées consécutives suit une
loi exponentielle :
∀t > 0, Pr(Tarr = t) = λe −λt
On dit que A(t) est un processus de Poisson.
14/28
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Un exemple
Question 1 : quel est le temps moyen d’attente d’une
requête ? (attention au time-out)
loi de Little : Tf = Nf /λ = 8/1000 sec.
Introduction
Un exemple
3
Vocabulaire
13/28
Les files d’attente (1)
2
Un serveur informatique à 5 processeurs reçoit en moyenne
1000 requêtes par seconde.
L’administrateur du serveur se rend compte que le serveur
est occupé à 100%, et qu’en moyenne 8 requêtes sont en
attente.
Question 2 : quel est le temps moyen de traitement d’une
requête ?
T − Tf = (N − Nf )/λ = (13 − 8)/1000 = 5/1000 sec.
Remarque : résultat général !
−→ pas d’hypothèse sur la distribution des arrivées ou des
temps de services, ni sur la discipline de service.
1
F. Sur - ENSMN
Introduction
Un exemple
Conclusion
Files d’attente (1)
15/28
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
Files d’attente (1)
Processus de Poisson
F. Sur - ENSMN
Les serveurs n’ont pas davantage de mémoire. . .
Introduction
Vocabulaire
20
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
18
16
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
A(t)
12
10
8
Un exemple
6
Conclusion
Hypothèse : la durée d’un service suit une loi exponentielle.
∀t > 0, Pr(Tserv = t) = µe −µt
∀k > 0, Pr(S(t) = k) = e −µt
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
(µt)k
k!
90
t
Ici µ est le taux de service (ou nombre moyen de services par
unité de temps) d’un serveur donné.
(1/µ est la durée moyenne d’un service.)
(exemple avec λ = 0.2)
Propriétés : E (A(t)) = λt, E (Tarr ) = 1/λ
17/28
16/28
File M/M/1
Exemple canonique : un serveur, file non-bornée.
Arrivées = processus de Poisson, taux d’arrivée λ
Durée des services exponentielle, taux de service µ
−→ hypothèse Markovienne (M) dans les deux cas
+ proba d’arrivée et service pendant [0, h] est o(h)
Si m < n :
Pr(Nt+h = n|Nt = m) = Pr(A(t +h)−A(t) = n−m|Nt = m)
+o(h)
donc (cf déf processus de Poisson)
si m < n − 1 : Pr(Nt+h = n|Nt = m) = o(h)
et : Pr(Nt+h = n|Nt = n − 1) = λh + o(h)
De même (raisonnement sur les départs D(t)) :
si m > n + 1 : Pr(Nt+h = n|Nt = m) = o(h)
et : Pr(Nt+h = n|Nt = n + 1) = µh + o(h)
Vocabulaire : Nt = processus de Markov à temps continu.
18/28
Vocabulaire
Modélisation dans
le cadre Markovien
De manière équivalente, si S(t) est le nombre de services
possibles pendant [0, t],
∀t, S(t) suit une loi de Poisson :
4
0
F. Sur - ENSMN
Introduction
Modélisation dans
le cadre Markovien
14
Files d’attente (1)
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Introduction
File M/M/1 : vue comme une chaı̂ne de Markov
Pr(Nt+h = n) =
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
(si n > 1 . . . )
D’où la représentation :
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
0
t
µ
µ
41t
λ
Un exemple
Conclusion
λh Pr(Nt = n − 1) + (1 − λh − µh) Pr(Nt = n)
+µh Pr(Nt = n + 1) + o(h)
Vocabulaire
42t
λ
µ
43t
λ
Remarque : chaı̂ne ergodique ?
Formule des coupes (régime permanent) +
λp0
λp1
...
λpn
...
=
=
µp1
µp2







= µpn+1 



=⇒
P+∞
19/28
3 ...
n=0 pn
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
=1:
n λ
λ
∀n, pn =
· 1−
µ
µ
. . .sous la condition τ = λ/µ < 1
τ : nombre moyen d’arrivées pendant la durée de service.
F. Sur - ENSMN
Modélisation dans
le cadre Markovien
µ
λ
Files d’attente (1)
Files d’attente (1)
File M/M/1 : propriétés
F. Sur - ENSMN
Sous condition : τ = λ/µ < 1
Files d’attente (1)
Autres files markoviennes
F. Sur - ENSMN
(convention : on ne représente pas les boucles du graphe)
Introduction
En régime permanent :
Vocabulaire
τ n (1
pn =
− τ)
Nombre moyen de clients dans le système :
+∞
X
τ
N=
npn =
1−τ
n=0
Nombre moyen de clients dans la file d’attente :
+∞
X
Introduction
M/M/3
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
2µ
µ
0
Modélisation dans
le cadre Markovien
t
41t
λ
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Vocabulaire
3µ
42t
λ
3µ
3µ
43t
λ
44t
λ
λ
M/M/2/4
Conclusion
0
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
2µ
µ
τ2
Nf =
(n − 1)pn =
1−τ
n=1
3 ...
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
t
41
λ
t
2µ
42
λ
t
43
λ
Conclusion
2µ
t
44
λ
Temps de séjour moyen dans le système : (loi de Little)
T = N/λ =
−→ formule des coupes.
−→ cf formulaire dans le polycopié.
−→ attention, la formule de Little dit : T = N/λ
où λ est le taux d’entrée effectif.
Et dans le cas M/M/n/K ?
T = N/ λ(1 − p(K ))
1 τ
λ1−τ
Temps d’attente moyen dans la file : (loi de Little)
Tf = Nf /λ =
1 τ2
λ1−τ
20/28
21/28
Loi des départs hors du système
Attention : la loi des départs D(t) n’a pas de raison d’être
la loi de S(t).
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
−→ c’est le cas si les serveurs sont occupés en permanence
−→ sinon le taux de départ est inférieur au taux de service.
Modélisation dans
le cadre Markovien
Exemple : cas de s serveurs, taux de service individuel µ.
Taux de service lorsque n serveurs sont occupés : nµ.
Un exemple
Les files d’attente (1)
1
Introduction
2
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Conclusion
si n > s clients dans le système, taux sµ
si n < s clients dans le système : taux nµ < sµ.
22/28
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
3
Modélisation dans le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
4
Un exemple
5
Conclusion
Justification : Si X ∼ E(α) et Y ∼ E(β) sont
indépendantes, alors : min(X , Y ) ∼ E(α + β)
−→ Conséquence sur la loi des départs :
Files d’attente (1)
23/28
Conclusion
Files d’attente (1)
Comparaison de différentes stratégies
F. Sur - ENSMN
Comparaison de différentes stratégies
Introduction
Des requêtes sont envoyées sur un serveur, taux d’arrivée λ.
Arbitrage entre trois types de serveurs :
(ou trois types d’organisation de la file d’attente dans une
administration recevant du public)
1
processeur unique très puissant de taux de service mµ,
file M/M/1 ;
2
m processeurs légers indépendants de taux de service µ,
file M/M/m commune ;
3
m processeurs légers indépendants de taux de service µ,
chacun possédant une file M/M/1 dans laquelle un
nouveau service entre “au hasard” (proba uniforme)
1
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
M/M/1, taux de service mµ, taux d’arrivée λ
T =
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
2
Un exemple
Conclusion
1 λ/(mµ)
λ 1 − λ/(mµ)
M/M/m, taux de service µ, taux d’arrivée λ
T donné par les formules du polycopié p. 63.
3
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
cf formule Erlang-C.
équivaut à m files M/M/1 de taux de service µ et taux
d’arrivée λ/m
T =
Question : temps de traitement moyen d’une requête ?
m λ/(mµ)
λ 1 − λ/(mµ)
25/28
Files d’attente (1)
Comparaison de différentes stratégies
F. Sur - ENSMN
Exemple : m = 10, µ = 1
Introduction
Vocabulaire
10
9
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
cas 1
cas 2
8
temps d’attente
Les files d’attente (1)
1
Introduction
2
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
cas 3
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
7
6
Un exemple
5
Conclusion
4
Modélisation dans le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
4
Un exemple
5
Conclusion
2
1
0
3
4
5
6
λ
7
8
9
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
3
3
Remarque : λ < 10.
Explication intuitive ?
26/28
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
24/28
Files d’attente (1)
27/28
Conclusion
Conclusion
Deux cas vus aujourd’hui :
File d’attente générale : formules de Little.
File d’attente Markovienne : les calculs en régime
permanent / stationnaire sont faciles.
Files d’attente (1)
F. Sur - ENSMN
Introduction
Vocabulaire
Caractéristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modélisation dans
le cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Prochaine séance :
Généralisation du cadre M/M
(processus de naissance et de mort)
M/MX (Markov par lot)
M/G (loi de service générale)
réseaux de files d’attente.
28/28
Conclusion