Physique de la Mati`ere Condensée 1 Effet tunnel d

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale
Centre Scientifique d’Orsay - Université de Paris-Sud
Année 2010 - 2011
Physique de la Matière Condensée
Partiel du 13 Janvier 2011
Durée : 3 heures.
Remarques :
– Les documents et portables ne sont pas autorisés, mais les calculatrices le sont, pour les applications numériques seulement.
– Il est vivement conseillé de lire l’ensemble du texte avant de composer.
– Les deux exercices sont indépendants.
– L’ensemble du sujet est long ; il vous permet, le cas échéant, de sélectionner une partie plutôt
qu’une autre. L’ensemble sera noté sur plus que 20.
Données numériques :
– Constante de Boltzmann : k = 1, 38 × 10−23 J/K.
– Nombre d’Avogadro : NA = 6, 02 × 1023
– Constante de Planck : h = 6, 62 × 10−34 J.s
– Masse de l’électron : me = 9 × 10−31 kg
– Masse du neutron : mn = 1, 675 × 10−27 kg
– Charge de l’électron −e = −1, 6 × 10−19 C
1 Effet tunnel d’électrons libres : application au microscope à
effet tunnel (prix Nobel 1986)
On considère deux solides métalliques identiques dont les surfaces planes perpendiculaires à Oz
sont séparées par un petit intervalle de vide d’épaisseur s. A l’intérieur de chacun des solides, les
électrons peuvent se déplacer librement dans les 3 directions de l’espace, avec un vecteur d’onde
⃗k et une énergie cinétique ϵ(⃗k) = h̄2 k 2 /2m. Leur énergie de Fermi est ϵF . L’intervalle entre les
deux plaques correspond à une barrière d’énergie potentielle U = ϵF + ϕ.
L’énergie potentielle des électrons ne dépend que de leur position sur l’axe z, normal aux deux
surfaces, et peut se représenter par le schéma suivant :
1
On applique une différence de potentiel entre les deux métaux de telle manière que les métaux
(1) et (2) soient respectivement aux potentiels 0 et V > 0. L’énergie potentielle des électrons et
la position du niveau de Fermi dans chacun des métaux sont alors donnés par le schéma suivant :
L’écart en énergie entre les 2 niveaux de Fermi est eV (−e est la charge de l’électron) et on
suppose eV ≪ ϕ et eV ≪ ϵF .
1.1
Préliminaires : le gaz d’électrons libres à 3D
Pour un gaz d’électrons libres à 3D, occupant un volume Ω et dont le nombre d’électrons par
unité de volume est noté n :
1. Rappeler la valeur de la densité d’états dans l’espace des ⃗k, g(⃗k) ; on utilisera les conditions
aux limites périodiques.
2. Exprimer n sous forme d’une intégrale qui fait intervenir g(⃗k) puis calculer le module du
vecteur d’onde de Fermi, kF , en fonction de n et de constantes. En déduire l’énergie de
Fermi.
3. Calculer kF puis ϵF en (eV), dans le cas du cuivre, de masse atomique ACu = 63, 5 × 10−3 kg
de densité d = 8, 9, avec un électron par atome.
2
1.2
Condition de l’effet tunnel
A température nulle, T = 0, les électrons de (1) peuvent passer par effet tunnel dans (2) si et
seulement si :
kz > 0
h̄2 k 2
ϵF − eV ≤
≤ ϵF
2m
(1)
(2)
(kz est la composante selon z du vecteur d’onde de l’électron libre considéré).
On rappelle que dans un processus tunnel, les électrons conservent leur énergie.
1. Justifier les deux conditions (1) et (2).
2. Représenter les états correspondants dans l’espace des ⃗k. On notera l’invariance par rotation
autour de l’axe kz et on pourra effectuer une coupe dans le plan ky = 0.
1.3
Les électrons candidats à l’effet tunnel à T = 0 K
1. On considère les électrons du métal (1), vérifiant les conditions d’effet tunnel et dont le
vecteur d’onde ⃗k fait un angle avec l’axe z compris entre θ et θ + dθ (dθ infiniment petit).
Donner le volume de l’espace des ⃗k correspondant, dV⃗k (k, k + dk; θ, θ + dθ) ; dk représente
la petite variation de k = |⃗k| déduite de l’équation (2).
2. En déduire le nombre d’électrons correspondant, à T = 0 et par unité de volume, dn(θ, θ+dθ),
susceptibles de passer par effet tunnel à travers la barrière de potentiel dans la direction
(θ, θ + dθ). Montrer qu’on peut le mettre sous la forme :
dn(θ, θ + dθ) =
1.4
meV
kF sin θ dθ
2π 2 h̄2
Courant tunnel à T = 0 K
On admet que le coefficient de transmission par effet tunnel à travers la barrière, D, est donné
par
1√
D = exp(−2k0 s) avec k0 =
2mϕ
h̄
D = nombre d’électrons transmis/nombre d’électrons incidents.
1. A partir des résultats de la question précédente, écrire le nombre d’électrons par unité de
volume dn′ (θ, θ + dθ) transmis dans la direction (θ, θ + dθ) et en déduire que la contribution
djz au courant tunnel traversant la barrière selon z s’écrit sous la forme :
djz = B cos θ sin θ dθ
où B est une constante exprimée en fonction des données du problème.
2. En déduire, sous forme intégrale, la densité de courant total jz circulant par effet tunnel
entre les deux plaques.
3. Calculer jz et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :
jz = AV exp(−2k0 s)
Exprimer la valeur de A en fonction ϵF et de constantes.
4. Application numérique : Quelles sont les valeurs prises par 2 k0 , D, A et jz (préciser les
unités) si l’on donne :
ϵF = 5 eV ϕ = 3 eV V =0.05 Volt s = 5Å
3
1.5
Microscope à effet tunnel
En fait l’une des électrodes est constituée d’une pointe très fine (terminée par un atome !) située à
une distance s au dessus d’une surface métallique. Cette substitution ne modifie pas sensiblement
les résultats ci-dessus.
1. Sachant qu’il est possible de discerner les variations de courant de l’ordre de 10%, évaluer la
variation de s susceptible d’être ainsi discriminée (résolution topographique du microscope
tunnel). On prendra s = 5 Å.
2. Dessiner schématiquement la variation du courant en fonction de la tension (caractéristique
courant-tension). A quoi correspond la partie V < 0 de la caractéristique ?
4
2 Structures cristalline et magnétique de fluorures de métaux
de transition AF2
Certains fluorures anhydres de métaux de transition divalents, de formule générique AF2
(A=Mn, Fe, Co, Ni, Zn), cristallisent dans une structure dite de type rutile observée pour
l’oxyde de titane TiO2 .
Cette structure est décrite dans une maille quadratique simple de paramètres a = b et c (un
parallélipipède rectangle), dont les valeurs sont proches pour les différents fluorures.
Dans ce texte, basé sur les études de ces fluorures dans les années 50 par diffraction de
rayons X et de neutrons, on considère uniquement le cas du fluorure de manganèse MnF2
pour lequel a = b = 4, 8734 Ået c = 3, 3103 Å.
2.1
Réseau réciproque et diffraction
(a) Donner la nature du réseau réciproque d’un réseau quadratique simple de paramètres
a et c et exprimer ses paramètres de maille en fonction de a et c.
(b) Rappeler les conditions de Bragg sur l’angle 2θ entre faisceau incident et faisceau diffracté, pour obtenir une intensité diffractée. On exprimera le résultat en utilisant la longueur d’onde λ du rayonnement utilisé, les paramètres de maille du réseau réciproque,
a⋆ et c⋆ et des entiers h, k et l, puis on exprimera la relation donnant sin θ en fonction
de λ, a, a/c et ces entiers h, k et l.
(c) Application numérique :
i. On utilise des neutrons thermalisés à 520 K, c’est à dire dont l’énergie cinétique
correspond à une température de 520 K. Les neutrons sont des particules qui, dans
ces conditions obéissent aux lois de la mécanique classique. Montrer que la longueur
d’onde associée aux neutrons est λ = 1, 2 Å.
ii. Comparer au diagramme de diffraction de la figure 2-2 obtenu à 300 K.
On se contentera d’examiner les raies (1,1,0) et (2,1,0).
Dans cette maille quadratique simple, les positions des six ions du motif sont données ci
dessous :
A2+ (0, 0, 0) ; (1/2, 1/2, 1/2)
F− (u, u, 0) ; (1 − u, 1 − u, 0) ; (1/2 + u, 1/2 − u, 1/2) ; (1/2 − u, 1/2 + u, 1/2)
Le nombre u a une valeur approximative de 0,3.
2.2
Réseau de Bravais
(a) Donner un schéma décrivant la maille quadratique simple de cette structure cristalline
et placer les ions en prenant u ≃ 0, 3.
(b) Combien de formules AF2 la maille contient-elle ?
2.3
Facteur de structure
(a) En notant fA , fF les facteurs de diffusion respectifs des ions A2+ et F− , donner l’expression du facteur de structure S(h, k, l) associé au motif. L’exprimer sous la forme :
S(h, k, l) = fA [1 + g(h + k + l)] + 2fF [cos 2π(h + k)u + g(h + k + l) cos 2π(h − k)u]
5
(b) Dans le cas h + k + l impair, montrer que l’intensité sera nulle si h ou k est nul.
(c) Quel devrait être le premier pic de Bragg observé ? Est-ce en accord avec le spectre à
300 K de la figure 2-2 ?
2.4
Diffraction des rayons X et détermination de u
Afin de déterminer la valeur du paramètre u, on utilise les résultats des expériences de
diffraction des rayons X sur MnF2 .
(a) Calculer le rapport des facteurs de structure pour les raies (2,0,2) et (3,1,1) en fonction
de fMn , fF et u.
(b) Ce rapport vaut 1,22. En déduire la valeur numérique de u (on gardera la valeur la
plus grande) et montrer qu’une variation de 1% de u induirait une variation de plus de
30% sur ce rapport d’intensité. On donne fMn /fF = 2, 42 et la représentation graphique
ci-dessous.
6
5
4
3
2
1
0
f(x)
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
1
2
3
4
5
X
Représentation graphique de la fonction (2, 42 + 2 cos x)/(cos 2x − cos x)
2.5
Structure magnétique et diffraction des neutrons
Dans le fluorure de manganèse, les ions Mn2+ portent un moment magnétique. Les couplages
entre premiers voisins tendent à anti-aligner les moments magnétiques qui s’ordonnent en
dessous de 67 K comme indiqué sur la figure 2-1. Les neutrons portent un spin et on peut
alors montrer que le facteur de diffusion neutronique dépend de l’orientation des moments.
Il convient alors de distinguer le facteur de diffusion pour les moments orientés vers le haut
fM n↑ et de celui des moment orientés vers le bas fM n↓ . Les ions F− ne sont pas affectés.
6
Figure 2-1 : Structure magnétique dans la phase ordonnée : seuls les ions Mn2+ ont été
représentés.
Le nouveau motif est donc :
2+
Mn2+
↑ (0, 0, 0) ; Mn↓ (1/2, 1/2, 1/2)
F− (u, u, 0) ; (1 − u, 1 − u, 0) ; (1/2 + u, 1/2 − u, 1/2) ; (1/2 − u, 1/2 + u, 1/2)
(a) Donner l’expression du nouveau facteur de structure Sm (h, k, l).
(b) On considère le cas h + k + l impair, la condition d’extinction h = 0 ou k = 0 est-elle
toujours vérifiée ?
(c) Commenter la différence entre les diagrammes de diffraction obtenus en dessous et au
dessus de la température de transition.
(d) En fait, la différence entre les facteurs de diffusion fM n↑ et fM n↓ s’annule dans le cas où
les moments sont parallèles au vecteur de diffusion. Montrer que le diagramme obtenu
confirme l’orientation des moments choisis sur la figure 2-1.
Figure 2-2 : Diagramme de diffraction de neutrons au dessus (300 K) et en dessous (23 K)
de la transition magnétique.
7