Détection d`un signal périodique additivement bruité

TD CE8-4 , ENSE3 1A, 2010
Détection d’un signal périodique additivement bruité – Démodulation et détection
synchrone
Les méthodes proposées consistent à détecter la présence d’un signal certain périodique S(t) dans une observation z(t)
contenant le signal additivement perturbé par un bruit aléatoire B(t), supposé statistiquement indépendant du signal S(t).
L’idée est de détecter le signal périodique en détectant la présence de son fondamental.
Dans la suite du TD on se limite au cas où le signal à détecter est une sinusoïde de fréquence ν0 , S(t) = A cos(2πν0 t +
φ). Le bruit B(t) est supposé stationnaire et ergodique au second ordre, centré, de fonction d’autocorrélation ΓBB (τ ). On
cherche donc à trancher entre deux hypothèses :
(
H0 : Z(t) = B(t)
absence du signal (hypothèse nulle)
H1
: Z(t)
= S(t) + B(t) présence du signal
1. 1 ER CAS : ON CONNAÎT ν0 ET φ : Dans ce cas on choisit un “signal détecteur” µ(t) qui est un signal périodique de
même période que S(t) mais aussi de même phase (synchrone). On calcule alors la statistique
Z
Wθ =
θ
Z(t)µ(t)dt
0
On suppose de plus que B(t) est un bruit blanc centré de densité spectrale de puissance N0 . On supposera également
que ν0 θ 1.
(a) Calculer la moyenne et la variance de Wθ sous chacune des hypothèses. Quel paramètre permet de caractériser
les performances de détection ? On notera ρ ce paramètre (déflexion).
(b) Démodulation synchrone : on prend µ(t) = sin(2πν0 t + φ). Calculer la moyenne, variance et la “qualité”
de détection ρ.
(c) Détection synchrone : on choisit cette fois un créneau µ(t) = sign(cos(2πν0 t + φ)). Mêmes questions que
pour la démodulation synchrone.
(d) Approche filtrage : dans cette partie, le signal S(t) et le signal µ(t) étant en phase, on peut poser φ = 0.
Montrer que Wθ peut s’interpréter comme la sortie à l’instant θ d’un filtre linéaire et homogène de réponse
impulsionnelle
θ
h(t) = Πθ
− t µ(θ − t),
2
l’entrée étant Z(t). Calculer le gain complexe H1 (ν) dans le cas de la démodulation synchrone et interpréter
le résultat. Calculer le gain complexe H2 (ν) dans le cas de la détection synchrone. En déduire que les performances des deux systèmes sont identiques (même valeur de R) si avant de calculer Wθ dans le second cas on
effectue un filtrage de Z(t) par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure 2ν0 .
2. 2 ÈME CAS : ON NE CONNAÎT QUE ν0 : Dans ces conditions, on peut utiliser un “signal détecteur” (récepteur) qui
est un signal périodique de même période ν10 que S(t), par exemple une sinusoïde
µ(t) = sin(2πν0 t + ψ)
(a) Montrer qu’en calculant la fonction d’intercorrélation entre Z(t) et µ(t) on peut séparer les deux hypothèses.
(b) En déduire que pour séparer les deux hypothèses on peut en réalité utiliser soit un corrélateur à 2 points, soit
deux corrélateurs à un point.
3. 3 ÉME CAS : ON NE CONNAÎT NI φ, NI ν0 : montrer qu’en estimant ΓZZ (τ ) il est possible de séparer (trancher
entre) les deux hypothèses.