EX 1 - lycée Beaussier

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TSTMG
E X 1 : ( 7 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième
trimestre des années 2000 à 2007 (Source : INSEE).
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Indice
100
108, 5
120, 7
134, 9
154, 8
176, 4
193, 5
213, 6
Les résultats seront arrondis à 4 chiffres significatifs si c’est nécessaire.
1. Quel est le pourcentage d’augmentation de l’indice entre 2000 et 2007 ?
a. 2,136%
t=
b. 13,6%
c.
113,6%
213, 6 − 100
113, 6
= 1, 136 =
= 113,6%
100
100
2. Quel est le pourcentage d’augmentation de l’indice entre 2005 et 2006 ?
a. 1,096 9%
t=
b.
9,69%
c. 0,096 9%
193, 5 − 176, 4
' 0,096 9 = 9,69%
176, 4
3. Le coefficient multiplicateur pour passer de l’indice en 2005 à l’indice en 2006 est environ :
a.
CM =
b. 9,69
1,096 9
193, 5
' 1,096 9
176, 4
ou
c. 0,096 9
CM = 1 + t = 1 + 0,096 9 = 1,096 9
4. Un appartement ancien à Paris a été vendu au prix de 149 000 euros au quatrième trimestre de l’année 2005.
Quel était son prix de vente au quatrième trimestre de l’année 2001 ?
a.
b. 148 702,74 €
91 646,83 €
c. 87 802,00 €
149 000 × 108, 5
' 91 646,83
176, 4
5. Un appartement ancien à Paris a été vendu au prix de 149 000 euros au quatrième trimestre de l’année 2005.
Quel était son prix de vente au quatrième trimestre de l’année 2006 ?
a. 149 074,31 €
b.
149 000 × 193, 5
' 163 443,88
176, 4
163 443,88 €
c. 174 479,00 €
149 000 × 1,096 9 = 163 438,10
6. Le taux global d’évolution de l’indice entre 2001 et 2006 est arrondi à 10−4 :
a. 0,899 8
t global =
b. 0,439 3
c.
0,783 4
193, 5 − 108, 5
' 0,783 4
108, 5
7. Le taux annuel moyen d’évolution de l’indice entre 2001 et 2006 est :
a.
0,122 7
¡
¢1
CMmoyen = CMglobal 5
BAC BLANC Janvier 2014
b. 0,156 7
et
c. 0,952 3
¡
¢1
1
t moyen = CMmoyen − 1 = CMglobal 5 − 1 = (1,783 4) 5 − 1 ' 0,122 7
1
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E X 2 :( 7 points )
Une petite ville des Pyrénées décide de relancer sa station de ski, en faisant certains investissements et de la publicité. Le
directeur fait des prévisions. À l’aide d’un tableur, il construit le tableau suivant, donnant pour chaque saison de ski :
• le prix du forfait « journée » ;
• le nombre de forfaits « journée » vendus ;
• la recette correspondante.
Pendant la saison 2006/2007, il a été vendu 18 540 forfaits « journée » au prix de 16 euros l’unité.
Le directeur de la station décide d’augmenter le prix du forfait de 1, 20 € par an, jusqu’à la saison 2012/2013.
¡ ¢
Il obtient alors la suite des prix unitaires, en euros, notée u n en colonne C sur la feuille de calcul proposée ci-dessous. On
a donc u 1 = 16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
Saison
B
Rang
2006/2007
2007/2008
2008/2009
2009/2010
2010/2011
2011/2012
2012/2013
1
2
3
4
5
6
7
C
Prix du « forfait journée » en
euros
16
17,2
D
Nombre de forfaits vendus
E
Recette en euros
18 540
19 003
296 640
326 851,6
23,20
21 500,72
TOTAL
¡ ¢
PARTIE A : Étude de la suite u n des prix du forfait « journée »
¡ ¢
1. Quelle est la nature de la suite u n ? Préciser sa raison.
Si chaque année le prix augmente de 1, 20 €, on a u n+1 = u n + 1, 2.
La suite (u n ) est donc une suite arithmétique de raison 1, 2 et de premier terme u 1 = 16.
2. Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne C ?
Formule :
= C2 + 1, 2
3. Si on complétait le tableau jusqu’à la saison 2012/2013, quel serait le nombre obtenu dans la cellule C8 ?
On sait que u n = u 1 + (n − 1)r = 16 + 1, 2(n − 1), donc
u 7 = 16 + 1, 2 × 6 = 23, 20
PARTIE B : Étude de la suite des nombres de forfaits « journée » vendus
1. Quel est, en pourcentage, le taux d’évolution du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007 et 2007/2008 ?
(on arrondira à 0, 1 % près).
Le taux d’évolution du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007 et 2007/2008 est égal à :
t=
19 003 − 18 540
' 0, 025 = 2, 5 % à 0, 1 %
18 540
2. Le directeur de la station suppose que chaque saison le taux d’augmentation sera celui trouvé à la question précé¡ ¢
dente et obtient ainsi en colonne D la suite notée v n des nombres de forfaits vendus.
On a donc v 1 = 18 540.
a. Quelle est la formule à saisir en D4 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne D ?
Pour passer d’un rang au suivant on multiplie par CM = 1 + t = 1, 025 ; on a donc v n+1 = v n × 1, 025.
¡ ¢
La suite v n est donc une suite géométrique de raison q = 1, 025 et de premier terme v 1 = 18 540.
La formule est donc :
= D3 ∗ 1, 025
b. Quel serait alors le nombre obtenu dans la cellule D8 ?
On sait que v n = v 1 × q n−1 = 18 540 × 1, 025n−1 , donc
BAC BLANC Janvier 2014
2
v 7 = 18 540 × 1, 0257−1 ' 21 500,72
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c. Vous donnerez la formule de votre calculatrice qui permet de calculer la somme de tous les forfaits vendus
depuis 2006/2007 jusqu’à 2012/2013.
Quelle est cette somme ?
Avec la calculatrice on tape la formule suivante :
P
– avec Casio, dans l’application RUN-MAT, tapez : 7X=1 18540 × 1, 025(X−1)
£P ¤
P
(
pour trouver le commande , il faut taper sur la touche option : (optn), puis sur [CALC] puis chercher
– avec TI : sum(seq(18540×1,025ˆ(X-1),X,1,7,1)) ou somme(suite(18540×1,025ˆ(X-1),X,1,7,1))
S ' 139 929,35
Cette somme est :
Algorithme
d. Voici un algorithme qui permet de calculer cette
somme :
Quelle formule faut-il mettre à la place des pointillés ?
V + 0, 025
ou
V × 1, 025
ou
V × 1, 025N−1
Initialisation :
V PREND LA VALEUR 18 540
S PREND LA VALEUR 0
Traitement :
P OUR I allant de 1 à 8
S PREND LA VALEUR S + V
V PREND LA VALEUR V × 1, 025
F IN P OUR
Sortie : A FFICHER S
PARTIE C : Étude de la recette
1. Quelle est la formule à saisir en E2 et à recopier vers le bas dans la plage E3: E8 ?
Il faut multiplier le nombre de forfaits journée par le prix du forfait. La formule est donc :
= C2 ∗ D2
2. Quelle formule peut-on saisir en E9 afin de calculer la recette totale des 7 saisons ?
Formule :
= SOMME(E2: E8)
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E X 3 :( 6 points )
L’évolution du SMIC mensuel exprimé en euros entre 2006 et 2011, et arrondi à l’entier, est donnée dans le tableau
suivant :
Année : x i
SMIC mensuel : y i
2006
2007
2008
2009
2010
2011
1 254
1 280
1 321
1 338
1 348
1 365
Source INSEE
Partie A
1. Le nuage de points associé à cette série est en partie représenté sur le graphique donné en Annexe 1.
Compléter avec les deux points manquants. Le graphique est complété avec les deux points manquants.
ANNEXE 1
1 380
1 360
1 340
1 320
G
1 300
1 280
1 260
1 240
2 005
2 006
2 007
2 008
2 009
2 010
2 011
2 012
2. Déterminer les coordonnées du point moyen G, et le placer sur le graphique.
¡
¢
Les coordonnées de G sont x ; y
xG =
2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010 + 2011
= 2 008,5 ;
6
yG =
1 254 + 1 280 + 1 321 + 1 338 + 1 348 + 1 365
' 1 317,667.
6
¡
¢
G 2 008,5 ; 1 317,667 est placé sur le graphique précédent.
3. On saisit les données statistiques dans une calculatrice, et on affiche l’équation réduite de la droite d’ajustement du
¡
¢
nuage de points x i ; y i par la méthode des moindres carrés.
L’écran de la calculatrice affiche :
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LinearReg
a =22.1714285
b =-43213.647
r =0.97456884
r2 =0.94978444
MSe=113.704761
y = ax + b
COPY
Écrire l’équation réduite de cette droite en arrondissant les coefficients à 3 décimales.
L’équation réduite de cette droite en arrondissant les coefficients à 3 décimales, est
y = 22,171x − 43 213,647
On admet que la droite passe par le point de coordonnées (2005 ; 1 240). Tracer cette droite sur le graphique.
Cette droite est tracée sur le graphique.
4. En utilisant l’ajustement de la question précédente,
a. Estimer la valeur du SMIC mensuel en 2015 (arrondir à l’entier)
Estimons la valeur du SMIC mensuel en 2015. Pour ce faire, remplaçons x par 2015 dans l’équation de la
droite.
y = 22,171 × 2015 − 43 213,667 = 1 460,898
Une estimation du SMIC mensuel en 2015, à l’euro près est
1 461€
b. Déterminer à partir de quelle année le SMIC mensuel dépassera 1 500 euros.
Le SMIC mensuel dépassera 1 500 euros à partir de 2017
En effet en remplaçant x par 2016 nous trouvons 1 483,09 euros et par 2017 nous trouvons 1 505,16 euros.
Partie B
1. Montrer que le taux moyen d’évolution du SMIC mensuel entre 2008 et 2011 est d’environ 1, 1 %.
Calculons le taux moyen d’évolution du SMIC mensuel entre 2008 et 2011.
1365
' 1,033 4.
1321
En appelant t m le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi (1 + t m )3 puisque le SMIC a subi 3
évolutions durant cette période.
Le coefficient multiplicateur global permettant de passer de la valeur de 2008 à celle de 2011 est
1
(1 + t m )3 = 1,033 4 par conséquent t m = 1,033 4 3 − 1 ' 0,011 012 ≈ 1, 1%
Le taux moyen d’évolution du SMIC mensuel entre 2008 et 2011 est environ de 1, 1 %
2. Soit u n la valeur en euros du SMIC mensuel l’année 2011 + n, ainsi u 0 = 1 365. On suppose qu’à partir de l’année
2011, le SMIC mensuel augmentera tous les ans de 1, 1 %.
Les prévisions obtenues en utilisant un tableur figurent à l’Annexe 1. Les valeurs sont arrondies à l’entier.
a. Laquelle des formules suivantes a-t-on écrite dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les autres
valeurs du tableau ?
(
(
((
(1,(011
(∗
((
= C2 ∗ 1, 011
=(
C$2
=(
$C$2
∗(
1, 011
(
(
La première formule a été écrite dans la cellule C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les autres valeurs du
tableau. En écrivant la seconde formule, nous ne pourrions changer de ligne et en écrivant la troisième, la
valeur serait constante.
b. Donner les valeurs manquantes du tableau.
En utilisant la relation précédente, les valeurs manquantes arrondies à l’unité du tableau ont été écrites sur
le tableau de l’annexe 1.
3. Comparer les résultats du tableau avec les valeurs trouvées à la question 4 de la partie A.
Comparons les résultats du tableau avec les valeurs trouvées à la question 4 de la partie A. Nous pouvons remarquer que l’ajustement affine par la méthode des moindres carrés donne un montant plus élevé pour le SMIC mensuel jusqu’en 2015. Après 2015, l’évolution de 1,1 % permettrait une augmentation plus rapide du SMIC mensuel.
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ANNEXE 1
Partie B Question 2. b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
BAC BLANC Janvier 2014
A
année
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
B
rang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
C
SMIC
1 365
1 380
1 395
1 411
1 427
1 442
1 458
1 474
1 490
1 506
1 523
1 540
1 556
1 574
1 591
1 608
1 626
6
D
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