Problème N°8Analyse semi-paramétrique en fiabilité

Université de Bretagne-Sud
STA 2209 : Statistique Bayésienne
Problème 8 : Analyse Bayésienne semi-paramétrique en abilité
Soit un échantillon (X1 , · · · , Xn ) de durées i.i.d. de loi f (x) dénie par :
f (x) = fi pour x ∈ [ti−1 , ti [, i = 1, · · · , m avec t0 = 0 et tm = +∞.
Soit la fonction λ(x) dénie par :
P (X ≤ x + dx|X > x)
dx→0
dx
λ(x) = lim
On note, pour x ∈ [ti − 1, ti [, λ(x) = λi et R(ti ) = P (X > ti ) = Ri , i = 1, · · · , m. On note
(k1 , · · · , km ) le vecteur du nombre d'observations
dans chaque intervalle i.e. ki est le nombre de
P
k
=
n.
durées dans dans l'intervalle [ti − 1, ti [. m
i=1 i
1. Montrer
que λ(x) = f (x)/(1 − F (x)) où F (x) est la fonction de répartition de X i.e.
Rx
0 f (t)dt.
2. En considérant l'observation d'un vecteur de pannes, donner l'expression de la fonction de
vraisemblance pour les paramètres (f1 , · · · , fm ).
3. Donner cette expression pour les paramètres (λ1 , · · · , λm ).
4. En considérant une loi conjuguée pour le modèle obtenu précédemment, proposer un estimateur de Bayes du taux de survie. Commenter.
5. Construire une loi non informative (On pourra appliquer la règle de Jereys) et donner alors
une estimation bayésienne du vecteur λ.
On souhaite maintenant introduire dans l'analyse l'idée a priori que le taux de survie est
croissant. On pose ui = 1−λi . n.b. ui = P (X > ti /X > ti−1 ). On se donne uneP
loi a priori de type
Dirichlet sur le vecteur ((y1 , · · · , yk ) où yi = ui−1 − ui , u0 = 1 et ym+1 = 1 − m
j=1 yj = um . Les
P
paramètres (βα1 , · · · , βαm ) de cette loi sont tels que β > 0, αi > 0 pour tout i et m+1
j=1 αj = 1.
1. Montrer que l'espérance mathématique des v.a. ui est m+1
j=i+1 αj .
2. En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer qu'une estimation Bayésienne des
λi pour la loi a priori dénie ci-dessus et sous l'hypothèse d'un coût quadratique a la forme
suivante :
P
Ci,1
, i = 1, · · · , m
C0
est égal à C0 où ki est devenu ki + 1, C0 étant :
λ̃i =
où Ci,1
C0 =
km
X
lm =0
···
k1
X
ki
(−1)li B(βαi , ξi )
li
l1 =0
où B est le coecient bêta.
T. Mazzuchi, N. D. Singpurwalla, A Bayesian approach to inference for monotone failure rate, Statistics and
Probability Letters 3, 1985.
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