II) Qu`est ce que la fonction inverse

FICHE METHODE sur les
FONCTION INVERSE
I) A quoi sert la fonction INVERSE ?
a) Exemples :
. On partage équitablement 1 million d ’euros entre x personnes !
Combien chacun aura t-il en fonction de x ?
f(x) =
1
.
x
. Il doit parcourir 100 km !
Combien de temps mettra t-il s’il va à la vitesse de x km.h -1 ? f(x) =
100
.
x
. Il y a une réserve de 100 litres d ’eau, et actuellement 10 personnes, mais il arrive 2 personnes
par heure ! Quelle sera la part d ’eau par personne dans t heures ? f(t) =
100
10 + 2t
. Un rectangle a une aire de 100m² et une longueur de x mètres
Que vaut sa largeur en fonction de sa longueur ? : f(x) =
100
.
x
. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute !
Quel sera le pourcentage de fille dans x minutes ?
f(x) =
8+x
100x + 800
× 100 =
.
10 +2x
2x +10
b) Remarques :
Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de
ces évolutions. Les évolutions que l’on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature
( la vitesse de croissance d’un arbre, la position d’une pierre en chute libre,…), à une certaine
« façon » d’évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions
affines ou carrées permettent de décrire une « sorte » d’évolution, certains phénomène peuventêtre décrits grâce à la fonction inverse, fonction dont il faut connaître les propriétés principales !
II) Qu’est ce que la fonction inverse ?
Définition 1 : ( fonction inverse )
La fonction inverse associe à tous nombre réel non nul x ∈IR-{0}, l’inverse
 IR-{0}
x 1
x

→
On note
f:
→

IR
ou encore: f(x) =
1
de ce nombre
x
1
pour x∈ IR-{0} . 0 n’a pas d’inverse dans
x
IR
1
1
Exemples : .L’inverse de 3 est : ≈ 0,33 à 10 -2 près .L’inverse de -2 est :
= - 0,5.
3
-2
2
3
.L’inverse de est : = 1,5.
3
2
III) Propriétés de la fonction inverse
La fonction inverse a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels
qu’elle permet de décrire.
Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION INVERSE .
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole d’équation y =
Voici un tableau de valeurs de la fonction inverse :
x -100 -10
-8
-5
-4
-2 -1 -0,5
1
-0,01 -0,1 -0,125 -0,2 -0,25 -0,5 -1
-2
x
x
1
x
0
0,1
0,125
0,25
0,5
1
10
8
4
2
1
2
4
0,5 0,25
-0,25
-0,125 - 0,1
1
.
x
0
-4
-8
-10
5
8
10
100
0,2
0,125
0,1
0,01
On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique
partiel de la fonction inverse ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) .
10 y
VALEURS de f(x) =
« La courbe est une hyperbole
( en deux parties ) »
1
x
5
x
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
VALEURS de x
-5
-10
Propriété 1 : IMPARITE DE LA FONCTION INVERSE
1
1
= -x
x
( l’inverse de l’opposé d’un nombre non nul est égal a l’opposé de l’inverse de ce nombre )
On dit alors que la fonction carrée est « impaire ».
Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à O .
1
1
1 1
1
1
Preuve :
=
= × = -1× = C.Q.F.D.
-x -1×x -1 x
x
x
La fonction inverse est telle que pour tout nombre réel x ∈ IR-{0} on a
Exemples :
1
1
=-3
3
1
1
=-10
10
1
- 2
=-
1
.
2
Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION INVERSE .
Pour la fonction inverse, on a le tableau de variations suivant :
Valeurs de x
Variations de
1
x
x
-∞
∞
0
→

+∞
Les « doubles barres »
dans le tableau
signifient que 0 n’a pas
d’image.
La fonction inverse est décroissante sur ]- ∞ ; 0 ].
( plus un nombre négatif est grand et plus son inverse est petit )
La fonction carrée est décroissante sur [ 0 ; + ∞ [.
( plus un nombre positif est grand et plus son inverse est petit )
Preuve :
1 1
Démontrons que : si a < b < 0 alors > ( ce qui montrera la décroissance sur ]-∞ ; 0 ] )
a b
Supposons que a < b < 0
1 1
1 1
b–a
l’inégalité > est équivalente à – > 0 mais aussi à
> 0 ( même dénominateur )
a b
a b
ab
or b – a est positif car a < b et ab est positif car a et b sont négatifs, donc par quotient,
b–a
b–a
1 1
est positif donc
> 0 donc > .
ab
ab
a b
1 1
finalement : si a < b < 0 alors > .
a b
On démontre la croissance sur [0 ; + ∞ [ de la même façon :
Supposons que a > b > 0
b–a
1 1
Donc b – a est négatif et ab est positif donc
> 0 donc > .
ab
a b
1 1
finalement : si a > b > 0 alors > .
C.Q.F.D
a b
Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION INVERSE .
la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction
inverse sont croissantes ou décroissantes. (démontrée ci dessus )
Quels que soient les nombres réels a et b :
1 1
Pour a et b négatifs : si a < b alors >
a b
Si on prend les inverses des membres d’une inégalité entre des nombres négatifs stricts alors
on obtient une inégalité de sens inverse.
1 1
Pour a et b positifs : si a < b alors >
a b
Si on prend les inverses des membres d’une inégalité entre des nombres positifs stricts alors on
obtient une inégalité de sens inverse.
Exemples : -3 < -1 donc
1 1
> .
-3 -1
2 < 5 donc
1 1
> .
2
5
Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION INVERSE.
Valeurs de x -∞
∞
Variations
1
de x
x
+∞
0
Exemples :
→

Signe de
1
x
–
1
est négatif
-2
1
est positif
2
+
1
de ce nombre est du signe de x .
x
1
1
Preuve : si x est négatif alors est négatif et si x > 0 alors > 0. ( signe d’un quotient )
x
x
Quel que soit le nombre réel non nul x ∈ IR-{0} , l’inverse
Propriété 5 : EQUATION ET FONCTION INVERSE.
1
= a où a est donné et x un réel cherché.
x
On distingue 2 cas selon les valeurs de « a ».
1
1
Pour a ≠ 0 : Si = a alors x =
x
a
y=a(a>0)
Soit l’inéquation
Pour a = 0
x=
1
a
1
= 0 est une égalité fausse pour toute valeur de x ∈ IR
x
:
( la preuve est laissée au lecteur : « produit en croix )
1
1
1
1
Application : = 0 :aucune solution, S = ∅. = 7 a une solution x = donc S = { }.
x
x
7
7
Propriété 6 : INEQUATION ET FONCTION INVERSE . ( admis )
1
1
> a , < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché.
x
x
On distingue 3 cas selon les valeurs de « a ».
( Voir la courbe ci dessus pour une illustration )
Soient les inéquations
Pour a < 0
Si a = 0 : Si
1
c’est à dire : x ∈ ] 0 , [ .
a
si
1
1
> a alors 0 < x <
x
a
Si
1
1
1
< a alors x < 0 ou x >
c’est à dire : x ∈ ] -∞ , 0 [ ∪ ] , + ∞ [
a
x
a
Pour a > 0 :
Si
1
1
1
> a alors x < ou x > 0 c’est à dire x ∈ ] -∞ , [ ∪ ] 0 , + ∞ [
a
x
a
Si
1
1
1
< a alors < x < 0 c’est à dire x ∈ ] ; 0[
a
x
a
1
1
> 0 alors x > 0 x ∈ ] 0 ; + ∞ [ ; Si < 0 alors x < 0 x ∈ ]-∞ ; 0 [.
x
x
Application : 1
1
1
1
< 7 donne S = ]-∞
∞ , 0 [ ∪] ; + ∞ [ > 7 donne S = ] 0 ; [ .
x
7
x
7
1
1
[ la courbe de x → est
a
x
« au dessus » de la droite d’équation y = a
Pour x ∈ ] 0 ,
