cours 06 equilibrage dynamique

CPGE Brizeux / PSI
Equilibrage dynamique
EQUILIBRAGE DYNAMIQUE
L’équilibrage dynamique concerne les pièces en mouvement de rotation autour d’un axe fixe dans un
repère galiléen. C’est donc le cas de la plupart des machines tournantes (moteurs électriques par
exemple) mais également des roues de voiture.
Si le système n’est pas équilibré dynamiquement, cela va générer des vibrations dans l’ensemble du
mécanisme, donc du bruit et éventuellement une usure plus rapide des organes de guidage en
rotation.
y0
y1
1- Schématisation adoptée
Le bâti S0 est lié au repère galiléen R0 (O, x0 , y 0 , z 0 )
Le solide S1 de masse m, de centre d’inertie G est en
liaison pivot d’axe (O, z 0 ) avec le bâti S0.
z0
Le repère R1 (O, x1 , y1 , z 0 ) est lié à S1 et est choisi tel
G
O
S0
que G soit dans le plan ( x1 , z 0 )
θ
On pose ( x 0 , x1 ) = θ
Et
S1
OG = a.x1 + c.z0
x1
x0
Le solide S1 étant quelconque, la matrice d’inertie est de la forme :
−F
− E
B − D

− D C  ( x , y , z )
 A
[Ι O ( S1 )]= − F
− E
O
1
1
0
Le milieu extérieur exerce sur S1 des actions mécaniques qui peuvent être quelconques (dans le cas
d’une roue de voiture, c’est l’action de la route sur la roue, l’action de la pesanteur, l’action de l’arbre
de transmission…). On modélise cette action par le torseur :
{T
}=
( ext → S )
1
 R ( ext → S1 ) = X e1.x1 + Ye1. y1 + Z e1.z0 


M O ( ext → S1 ) = Le1.x1 + M e1. y1 + N e1.z0 
O
La liaison pivot exerce également une action qui se modélise dans le cas d’une liaison parfaite par le
torseur suivant :
{T
}=
( S 0 → S1 )
 R ( S → S1 ) = X 01.x1 + Y01. y1 + Z 01.z0 




M
(
S
→
S
)
=
L
.
x
+
M
.
y
O
1
01 1
01 1
O
0
0
On souhaite déterminer ces inconnues de liaison, on suppose que l’on connaît les actions exercées
par le milieu extérieur.
On applique donc le PFD au solide S1 dans son mouvement par rapport à R0 .
{D ( S
1
/ R0 )} = {T ( S1 → S1 )} = {T ( S 0 → S1 )} + {T (ext → S1 )}
Il faut donc déterminer le torseur dynamique :
{D

( S1 / R0 )
}= m Γ
O
( G / R0 )
δ O ( S / R )
1
0



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Equilibrage dynamique
 dV

Γ( G / R ) =  ( G / R )  = −a.θ& 2 .x1 + a.θ&&. y1
 dt 

R
 dσ o (S / R ) 
 d OG 
 = a.θ&. y1
V( G / R ) = 

dt

R
et
Le point O étant fixe dans R0, on a
δ O(S / R ) = 
0
0
1
[
]


0
1
dt
0


R
0
Et σ
avec Ω
[
]
= θ&.z 0
O ( S / R ) = I O ( S1 ) Ω ( S / R )
(S / R )
Soit σ
= − E.θ&.x1 − D.θ&. y1 + C.θ&.z 0
O (S / R )
1
0
1
1
0
1
0
0
 dσ O (S / R ) 
 dσ

 =  O ( S / R )  + Ω R / R ∧ σ O ( S / R ) en changeant le repère de dérivation




dt
dt

R 
R
ce qui nous donne
δ O ( S / R ) = − E.θ&&.x1 − D.θ&&. y1 + C.θ&&.z 0 + θ&.z 0 ∧ (− E.θ&.x1 − D.θ&. y1 + C.θ&.z 0 )
δ O (S / R ) = 
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
= (− E.θ&& + D.θ& 2 ).x1 − ( D.θ&& + E.θ& 2 ). y1 + C.θ&&.z 0
Les deux équations vectorielles issues du PFD en projection dans la base R1 (O, x1 , y1 , z 0 ) nous
donnent donc les 6 équations scalaires suivantes :
 − m.a.θ& 2
= X 01 + X e1

&
&
m.a.θ
= Y01 + Ye1 On peut donc exprimer les inconnues de liaison à partir de ces équations.


0
= Z 01 + Z e1

2
&&
&
= L01 + Le1
 − E.θ + D.θ
2
− ( D.θ&& + E.θ& ) = M 01 + M e1


C.θ&&
= N e1
2- Conditions d’équilibrage
Pour éviter les vibrations, il faut rendre l’action mécanique dans la liaison entre S0 et S1 aussi
constante que possible, et en particulier qu’elle soit indépendante de θ& et θ&& .
Il faut donc que :
a = 0 : le centre d’inertie doit être sur l’axe de rotation : condition d’équilibrage statique
D = 0 et E = 0 : l’axe de rotation doit être un axe principal d’inertie pour S1.
Illustration avec 2 masses ponctuelles
Les 2 masses ne sont pas à la Les 2 masses sont à la même Les 2 masses sont en face
même distance de l’axe de distance de l’axe : on a réalisé l’une de l’autre : on a réalisé
rotation : on n’a ni l’équilibrage l’équilibrage statique
l’équilibrage dynamique
statique,
ni
l’équilibrage
dynamique
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Equilibrage dynamique
3 Réalisation de l’équilibrage dynamique
Pour réaliser l’équilibrage dans l’exemple précédent, on a déplacé les masses ponctuelles.
On peut également envisager de rajouter d’autres masses ponctuelles afin de réaliser l’équilibrage
statique et dynamique
On appelle S2 et S3 les deux masses ponctuelles, que l’on va fixer sur le solide S1. On appelle M2 et
M3 les points où sont placées ces deux masses.
OM 2 = x2 .x1 + y2 . y1 + z 2 .z0
y1
OM 3 = x3 .x1 + y3 . y1 + z3 .z0
y0
Par définition du centre d’inertie du solide Se
constitué des solides S1 + S2 + S3 , on a
( m1 + m2 + m3 )OGe = m.OG + m2 .OM 2 + m3 .OM 3
Pour que Ge soit sur l’axe (O, z 0 ), on doit donc
avoir en projetant cette relation sur x1 et y1 :
m.a + m2.x2 +m3.x3 = 0
m2.y2 +m3.y3 = 0
z0
M2
G
O
S0
M3
θ
S1
x1
x0
Les produits d’inertie De et Ee valent :
De = D + m2.y2.z2 + m3.y3.z3
Ee = E + m2.x2.z2 + m3.x3.z3
(application du théorème de Huygens)
La condition d’équilibrage dynamique impose que De et Ee soient nuls, ce qui se traduit par :
D + m2.y2.z2 + m3.y3.z3 = 0
E + m2.x2.z2 + m3.x3.z3 = 0
Remarque1 : Si D ≠ 0 , on a besoin des 2 masses pour faire l’équilibrage , car si m3 = 0, la relation
impose que y2 = 0 ce qui ne permet pas de rendre la relation vraie
Remarque2 : On dispose de 4 équations et de 8 inconnues (masses + coordonnées de S2 et S3.
On a donc une infinité de solution.
Dans le cas de l’équilibrage d’une roue de voiture, les masses sont fixées sur le bord de la jante dans
le cas d’une jante en tôle ou bien collées sur la jante dans le cas d’une jante en aluminium.
On impose donc le rayon et la composante selon z 0 pour chacune des masses, ce qui ne laisse que
4 paramètres pour 4 équations. La solution est donc unique et
consiste donc à choisir la valeur de la masse et la position angulaire
de celle ci.
Dans le cas des moteurs électriques, on ne rajoute pas des masses
mais on en « retire » en venant usiner localement la partie en fer doux
du rotor.
Encoches usinées permettant
de réaliser l’équilibrage
statique et dynamique du
rotor
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