Devoir commun de mathématiques de seconde

Lycée Saint-Exupéry
Devoir commun de mathématiques de seconde
17 avril 2014
Devoir commun de mathématiques — corrigé
!
à !
Ã
!
Ã
−→ 8
−→ 2 × 4
−→ xG − x A
⇔ AG
⇔ AG
.
AG
yG − y A
−2
2 × (−1)
−→
−→
−→
On a donc AG = 2 AB . Les vecteurs AB et
−→
AC sont donc colinéaires, et les points A,
B et G alignés.
Exercice 1 (géométrie analytique, 10 points).
1
1.
(b) Voir graphique en annexe A.
1
1
(a) Voir graphique en annexe A (points A à G).
2.
(a) Le point E est le milieu de [AC ] alors :
x A + xC −3 + 0
3
=
=− ,
2
2
2
y A + yC 4 + (−1) 3
=
= .
yE =
2
2
2
¡ 3 3¢
Donc E a pour coordonnées − 2 ; 2 .
xE =
2
Exercice 2 (statistiques, 10 points).
1.
(b) Le repère (O, I , J ) est orthonormé donc :
AB 2 = (x B − x A )2 + (y B − y A )2
= (1 − (−3))2 + (3 − 4)2
AB 2 = 42 + (−1)2 = 16 + 1 = 17,
AC 2 = (0 − (−3))2 + (−1 − 4)2
AC 2 = 32 + (−5)2 = 9 + 25 = 34,
BC 2 = (0 − 1)2 + (−1 − 3)2
1, 5
1, 5
2
BC 2 = (−1)2 + (−4)2 = 1 + 16 = 17.
p
p
p
Ainsi AB = 17, AC = 34 et BC = 17.
– D’une part, AB 2 + BC 2 = 17 + 17 = 34
et AC 2 = 34 ; donc AB 2 + BC 2 = AC 2 et
d’après la réciproque du théorème de
Pythagore, ABC est rectangle en B .
– D’autre part, AB = BC donc ABC est isocèle en B .
−→ −→
(c) Les vecteurs BC et C F sont égaux. Or :
(
xC − x B = x F − xC
−→ −→
BC = C F ⇔
yC − y B = y F − yC
(
0 − 1 = xF − 0
⇔
−1 − 3 = y F − (−1)
(
(
−1 = x F
x F = −1
−→ −→
BC = C F ⇔
⇔
.
−4 = y F + 1
y F = −5
2.
(a) Voir tableau en annexe B.
2, 5
(b) – L’étendue est la différence entre la plus
grande valeur et la plus petite valeur de
la série : 110 − 0 = 110.
– La moyenne de la série est la moyenne
des centres pondérés par les effectifs :
352×5 + 472×17, 5 + · · · + 180×95
x=
352 + 472 + · · · + 180
121155
x=
' 42, 32.
2863
2
(c) Voir graphique en annexe B.
1
(d) La médiane, le 1er quartile et le 3e quartile
sont les abscisses des points de la courbe
d’ordonnées respectives 50%, 25% et 75%.
Par lecture graphique : M ' 42 ans, Q 1 ' 21
ans et Q 3 ' 60 ans.
1, 5
(a) Faux. La médiane de la série correspond
à la fréquence cumulée croissante de 50%.
Cette F.C.C. correspond à la classe [40; 55[
donc l’âge médian est au moins égal à 40
ans.
1
(b) Vrai. Selon le tableau, 67, 9% des habitants
ont strictement moins de 55 ans. Or 67, 9 <
70.
1
(c) Vrai. Selon le tableau, 28, 7% des habitants
ont strictement moins de 25 ans. Donc
71, 3% (100 − 28, 7) des habitants ont au
moins 25 ans. Or 71, 3 > 70.
1
Exercice 3 (fonctions affines, 5 points).
Donc F a pour coordonnées (−1; −5).
−→ −−→
(d) Montrons que AC = DF .
Ã
!
à !
−→ xC − x A
−→ 3
AC
⇔ AC
,
yC − y A
−5
Ã
!
à !
−−→ 3
−−→ x F − x D
DF
⇔ DF
.
yF − yD
−5
1. La fonction f est affine, de la forme x 7→ ax + b
où a = −2 < 0. Donc f est décroissante sur R.
0, 5
2. Pour tout réel x,
1
1
1
g (x) > 0 ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2 ⇔ x > 4.
2
2
Le tableau de signes de g est donc :
x −∞
−→ −−→
On a donc AC = DF . AC F D est donc un
parallélogramme.
−→ −→
(e) Montrons que AB et AG sont colinéaires.
Ã
!
à !
−→ x B − x A
−→ 4
AB
⇔ AB
et
yB − y A
−1
page 1/4
g (x)
4
−
0
+∞
+
.
3. Voir graphique en annexe C.
1, 5
4.
(a) Voir tableau en annexe C.
1
(b) Voir graphique en annexe C, courbe en trait
épais.
1
Lycée Saint-Exupéry
Devoir commun de mathématiques de seconde
Exercice 4 (géométrie dans l’espace, 5 points).
1, 5
1. Dans S AB : E ∈ [S A], F ∈ [SB ] et (E F ) Ë (AB ).
Donc d’après le théorème de Thalès :
SE SF
EF
=
=
S A SB
AB
En particulier :
EF
3
=
12
9
c.-à-d.
3
SF E F
=
=
.
12 SB
9
2.
2. Le triangle S AB est rectangle en A donc d’après
le théorème de Pythagore, SB 2 = S A 2 + AB 2 :
1
(a) Pour tout x ∈ R,
0, 5
(b) On utilise la seconde expression :
p
p
p
f ( 2) = ( 2)2 + 2 2 − 3
p
p
p
f ( 2) = 2 + 2 2 − 3 = 2 2 − 1.
1
(c) On utilise la première expression.
2
Pour tout x ∈ R, d’une part :
3. La pyramide S ABC D a pour base le carré ABC D
et pour hauteur le segment [S A] donc :
f (x) ≤ 0 ⇔ (x − 1)(x + 3) ≤ 0,
d’autre part :
1
× A ABC D × S A
3
1
= × AB 2 × S A
3
1
VS ABC D = × 92 × 12 = 324.
3
x − 1 < 0 ⇔ x < 1 et
x + 3 < 0 ⇔ x < −3.
On utilise le tableau de signes suivant :
x −∞
Le volume de S ABC D est donc de 324 cm3 .
4. Le volume V recherché est VS ABC D − VSE FG H . La
pyramide SE FG H a pour base le carré E FG H et
pour hauteur le segment [SE ] donc :
x −1
−
x +3
−
0
+
f (x)
+
0
−
0, 75
1, 75
0
+
+
0
+
.
1, 75
Pour tout x ∈ R, d’une part :
f (x) > g (x) ⇔ (x − 1)(x + 3) > (x − 1)
⇔ (x − 1)(x + 3) − (x − 1) > 0
⇔ (x − 1)((x + 3) − 1) > 0
⇔ (x − 1)(x + 2) > 0,
d’autre part :
x − 1 < 0 ⇔ x < 1 et
x + 2 < 0 ⇔ x < −2.
Exercice 5 (étude de fonctions, 10 points).
1.
−
+∞
(d) On utilise la première expression.
et V = VS ABC D − VSE FG H
81 5103
=
= 318, 9375.
V = 324 −
16
16
Le volume V d’eau nécessaire est donc de
318, 9375 cm3 .
0, 5
1
−3
L’ensemble des solutions de l’inéquation
f (x) ≤ 0 est donc [−3; 1].
1
× AE F G H × SE
3
1
= × E F 2 × SE
3
µ ¶2
1
9
81
= ×
×3 =
3
4
16
VSE FG H =
VSE FG H
(e) L’ensemble des solutions de l’inéquation
f (x) > g (x) est S = ]−∞; −2[ ∪ ]1; +∞[.
f (x) = x 2 + 3x − x − 3 = x 2 + 2x − 3.
VS ABC D =
1, 5
0, 75
= x ×x +x ×3−1×x −1×3
3
9
et donc E F = 9 ×
= .
12 4
SB 2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225.
p
Donc SB = 225 = 15, c.-à-d. SB = 15 cm.
1
(d) Le minimum de f est −4, atteint en −1.
f (x) = (x − 1)(x + 3)
Donc E F = 49 cm.
1
17 avril 2014
On utilise le tableau de signes suivant :
(a) L’image de −3 par f est 0 : f (−3) = 0.
(b) L’ensemble des solutions de l’équation
f (x) = 0 est S = {−3; 1}.
(c) Pour déterminer les l’ensemble des solutions de l’équation f (x) ≤ −3 :
– on trace la droite d’équation y = −3 ;
– on lit les abscisses des points d’intersection de C f et de cette droite ;
– on en déduit les abscisses des points de
C f situés « en-dessous » de cette droite.
L’ensemble des solutions est S = [−2; 0].
page 2/4
x −∞
1
−2
x −1
−
x +2
−
0
+
produit
+
0
−
−
0
+∞
+
+
0
+
.
L’ensemble des solutions de l’inéquation
f (x) > g (x) est S = ]−∞; −2[ ∪ ]1; +∞[.
Annexe A (exercice 1 ).
Annexe B (exercice 2 ).
classe
centre
effectif
E.C.C.
F.C.C.
N
M
[0; 10[
5
352
352
12%
[10; 25[
17, 5
472
824
29%
[25; 40[
32, 5
532
1356
47%
[40; 55[
47, 5
597
1953
68%
[55; 65[
60
363
2316
81%
[65; 80[
72, 5
367
2683
94%
[80; 110]
95
180
2863
100%
Devoir commun de mathématiques de seconde
F.C.C.
100%
A
B
page 3/4
G
E
75%
J
D
I
Lycée Saint-Exupéry
Devoir commun de mathématiques — corrigé — annexes
50%
C
25%
10%
F
10
Q1
M
50
Q3
100
âge
17 avril 2014
Df
x =2
Cf
Cg
J
Dg
J
−1
O
I
I
y = −3
Dh
−4
page 4/4
x
h(x)
−3
−3, 5
0
−2
2
−1
8
−13
10
−17
Devoir commun de mathématiques de seconde
O
−2
−3
Lycée Saint-Exupéry
Annexe D (exercice 5).
Annexe C (exercice 3).
17 avril 2014