LA CONVECTION NATURELLE DES NANOFLUIDES EN CAVITÉ

12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 - Casablanca (Maroc)
LA CONVECTION NATURELLE
DES NANOFLUIDES EN CAVITÉ
RECTANGULAIRE VERTICALE
EL KHAOUDI FATIMAa, GUERAOUI KAMALa, b,
MAN-LAYAKHAF SAMIRa
a
Équipe de modélisation en mécanique des fluides et
environnement, LPT, Faculté des Sciences Rabat-Agdal,
B.P. 1014, Rabat, Maroc.
b
Département de Génie Mécanique, Université d’Ottawa,
Ottawa, Canada, K1N 6N5
Email : [email protected]
Résumé
Le but principal de ce travail est d’étudier numériquement
la convection naturelle laminaire et non permanent dans
une enceinte rectangulaire chauffée par le côté et remplie
d'un mélange d'eau et de nanoparticules. Les équations
gouvernantes ont été discrétisées par la méthode des
volumes finis en utilisant un schéma hybride. Un code
numérique a été conçu et réalisé dans ce contexte pour
utiliser la simulation numérique comme outil
d’investigation.
Une étude paramétrique a été menée en considérant le
nombre de Rayleigh, le type de nanofluide.
Les résultats obtenus sont en accord avec ceux obtenus
par d’autres auteurs travaillant dans le même domaine.
Mots clé : convection naturelle, nanofluides, modélisation
numérique, volume finis.
Nomenclature
Cp
H
T
g
u
w
kT
Pr
t
chaleur spécifique, J.kg-1.K-1
hauteur de la cavité, m
température, K
accélération de la pesanteur, m.s-2
Composante verticale de la vitesse
Composante horizontale de la vitesse
conductivité thermique, W.m-1.K-1.
nombre de Prandtl ν f
αf
nombre de Rayleigh, gβ∆TH3 /αν
pression Pa
différence de températures imposée aux parois
horizontales, K
temps
α nf
βT
µ nf
҇µ
ν
φ
ρ
Ψ
diffusivité thermique du nanofluide, m2.s-1
coefficient d’expansion thermique, K-1
viscosité dynamique du nanofluide, Kg.m-1s-1
viscosité dynamique effective
viscosité cinématique, m2.s-1
concentration en nanoparticules
masse volumique, Kg.m-3
fonction de courant
Ra
P
∆T
θ
Forme adimensionnelle de températures ( T − T1 )
/ ( T 0 − T1 )
Ω
vecteur rotationnel de vitesse
3 1. Introduction
L’amélioration du transfert de chaleur par convection est
l’objet principal de plusieurs travaux, et pour se faire, un
grand nombre de chercheurs ont mené une multitude
d’essais numériques et expérimentaux portant sur la
description des phénomènes gérant la convection, l’effet
de la nature des systèmes dans lesquels elle a eu lieu
(géométrie spécialement), et les propriétés des fluides
impliqués (propriétés physico-chimiques).
Dans le présent travail, nous étudions la convection
naturelle laminaire dans une enceinte rectangulaire
remplie d'un mélange d'eau et des nanoparticules.
Les simulations numériques sont effectuées pour les
nombres de Rayleigh pour différentes fractions
volumiques pour le fluide pur (φ=0) et pour les nanofluide
Al2O3.
2. FORMULATION MATHEMATIQUE :
Nous nous sommes restreints, dans de ce travail, à
une cellule horizontale rectangulaire de hauteur H et de
largeur L remplie d’eau contenant différentes
concentrations denanoparticules d’Al2O3. Les deux parois
verticales imperméables x = 0 et x = L sont maintenues à
des températures constantes, uniformes respectivement
TC> TF. Les parois horizontales (z = 0 et z = H) sont
imperméables et isolées.
On assimile le nanofluide à un fluide newtonien
incompressible de caractéristiques thermo-physiques
constantes lorsque la différence de températures ∆T=TCTF reste suffisamment faible (quelques degrés) pour que
l’approximation de Boussinesq reste applicable. Dans ces
conditions les écoulements convectifs obtenus sont
laminaires.
Figure 1:Schéma représentant la configuration étudiée et
les conditions aux limites.
12ème Congrès de Mécanique 21-24 Avril 2015 - Casablanca (Maroc)
Compte tenu des hypothèses formulées précédemment,
les équations classiques de conservation en 2D sont les
suivantes :
−
=−
+
+
∗
(1)
2.2. Equation d’énergie:
∂ T ∂ T
∂ (T )
∂( T )
∂ (T )
+u
+w
= α nf  2 + 2
∂t
∂x
∂z
∂z
 ∂x
2
2
−
=−
+
=

 (2)

∗
=
ν
#
+
−
+
(4)
p nf
ρ nf = (1−φ)ρ f + φ ρs
(5)
La capacité calorifique du nanofluide est donnée d’après
(Khanafer et al) par l’expression [3]:
(ρc ) = (1 − φ )(ρc )
p
f
+ φ (ρc p ) s
.
+
.
.
/
"
+
+
"
=
012
02
"
"
+
(10)
Equation de poisson (ligne de courant) :
−
=−
+
(11)
3. METHODE NUMERIQUE :
((k + 2k ) − 2φ (k
(k + 2k ) + φ (k
f
s
"
=
(6)
La conductivité thermique effective du nanofluide est
approximée par le modèle de Maxwell–Garnetts [4] :
s
)*+ ʋ+
.
$% -
Equation d’énergie :
La masse volumique du nanofluide est donnée par [2] :
k nf = k f
ν f t* =
,
H2
αf
(
= −$% &'
k nf
p nf
f
tα f
Equation de Vorticité :
(3)
(ρ c )
,
ρ nf α 2
!
, la diffusivité thermique définit par [1]:
α nf =
2
f
Pr =
2
PH
U=w=0 et θ=1 pour la paroi gauche
U=w=0 et θ=0 pour la paroi droite
"
u=w=0 et =0 pour les parois horizontales
Avec:
α nf
!
,
g β f H 3 (T0 − T1 ) ,
Ra =
P* =
2.4 . Conditions aux limites :
2.3. Equation de poisson (ligne de courant) :
=
T − T1 , ,
T0 − T1
θ=
2.1. Equations de Vorticité:
+
x
z
, z* = , u* = uH , w * = wH ,
H
H
αf
αf
x* =
f
f
f
− k s ))
− ks )
(7)
La viscosité du nanofluide est donnée par Brinkman [5]
[7] :
µeff = µ f (1 − φ )−2.5
(8)
Les vitesses radiale et tangentielle sont définies à l’aide
des relations suivantes:
=
=−
Le dimensionnement se fait comme suit :
Le système d’équations aux dérivées partielles associé
aux conditions aux limites est résolu numériquement à
l’aide de la méthode des volumes finis.
4. RESULTATS ET DISCUSSIONS:
Nous présentons dans cette section, à titre d’illustration, le
résultat relatif au profil de la vitesse suivant l’axe z.
Pour cela, nous avons utilisé un nombre de Prandlt égal à
Pr=6.2 et des propriétés physiques utilisées illustrées dans
le tableau 1[6].
Propriété
thermophysiques
Eau pure
Alumine
(9:. ;< )
)(kg/m3
)
Cp (J/kg k (W/m β (3 45 )
K)
K)
997.1
4179
3970
765
0.613 21 1048
40
0.85 1048
Tableau 1: Les propriétés physiques utilisées
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Références
U(z)
0
-0.002
U
-0.004
-0.006
-0.008
-0.01
-0.012
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
z
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure2 : profil de vitesse suivant l’axe z
Sur cette figure, on constate que la vitesse décroit de la
valeur zéro pour atteindre le minimum à environ z=H/4 et
croit ensuite jusqu’à la valeur zéro sur la paroi droite. En
effet, la vitesse est nulle au niveau des parois à cause de
l’adhérence.
60
solid volume fraction = 0.3
.... solid volume fraction = 0.2
---- solid volume fraction = 0.06
****solid volume fraction = 0.03
50
Nu
40
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
z
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 3 : Nombre de Nusselt moyen pour φ= 0.3,
φ= 0,2 et φ= 0,06, φ= 0.
On constate que dans les quatre cas le nombre de Nusselt
moyen augmente avec le nombre de Rayleigh, mais que
les valeurs du Nusselt moyen pour le nanofluide sont plus
élevées par rapport à celles de l’eau pure. Ceci est dû à
l’augmentation de la conductivité du nanofluide par
rapport à celle de l’eau pure, ce qui augmente le transfert
thermique par diffusion (conduction) à travers la paroi.
5. CONCLUSIONS
Dans cette étude numérique nous avons modélisé le
transfert de chaleur en convection laminaire dans une
cavité rectangulaire verticale pour montrer l’amélioration
du transfert de chaleur par un nanofluide par rapport à un
fluide pur. Les résultats obtenus montrent clairement que
l'utilisation
des
nanofluides
peut
influencer
considérablement le transfert de chaleur dans ce type de
géométrie.
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