1 A l`université de sciences économiques, les étudiants de licence

1 A l’université de sciences économiques, les étudiants de licence sont répartis en deux filières A et B.
Un tiers des étudiants de licence est dans la filière A. Parmi les étudiants de la filière A, 60% sont inscrits dans l’option
droit. Parmi les étudiants de la filière B, 90% sont inscrits dans l’option droit.
1° On interroge un étudiant de licence au hasard.
On note A l’évènement « l’étudiant est dans la filière A ».
On note D l’évènement « l’étudiant est inscrit à l’option droit ».
a) Traduire la situation ci-dessus par un arbre.
b) Montrer que la probabilité pour que l’étudiant soit inscrit dans l’option droit est p(D) = 0,8.
c) Déterminer la probabilité p(A), probabilité pour que l’étudiant appartienne à la filière A sachant qu’il n’est pas inscrit
D
dans l’option droit.
2° On interroge au hasard successivement trois étudiants de licence. On s’intéresse au nombre d’étudiants inscrits dans
l’option droit, parmi les trois étudiants interrogés.
a) Calculer la probabilité pour que les trois étudiants soient inscrits dans l’option droit.
b) Calculer la probabilité pour que deux étudiants exactement soient inscrits dans l’option droit.
c) Calculer la probabilité pour qu’aucun des trois étudiants ne soit inscrit dans l’option droit.
d) Calculer la probabilité pour qu’au moins un des trois étudiants ne soit pas inscrit dans l’option droit.
2 Dans cet exercice on donnera les résultats arrondis à 10–2 .
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : une jaune, sept rouges et deux bleues.
Un jeu consiste à tirer d’abord au hasard une boule de l’urne : si cette boule est jaune, alors le jeu s’arrête, sinon on effectue
un second tirage sans remettre la première boule tirée dans l’urne.
1° a) Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune au premier tirage ?
b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage ?
c) Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule jaune au deuxième tirage sachant qu’il a tiré un boule rouge au
premier tirage ?
2° Dans cette question, on pourra utiliser un arbre de probabilité.
a) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage et une boule rouge au second tirage ?
28
b) Démontrer que la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage est
.
45
3 Un jardinier a à sa disposition un sac rempli de 1000 bulbes de tulipes. Parmi ceux-ci :
60 % sont des bulbes de tulipe jaune ; 25 % sont des bulbes de tulipe rouge ; le reste est constitué de bulbes de tulipe noire.
Par ailleurs : 28 % de la totalité de ces bulbes ne fleuriront pas ; 80 % des bulbes de tulipe jaune fleuriront ; 60 bulbes de
tulipe noire ne fleuriront pas.
Partie A Recopier et compléter le tableau ci-dessous
Nombre de bulbes de Nombre de bulbes de Nombre de bulbes de Total
tulipe jaune
tulipe rouge
tulipe noire
Nombre de bulbes de tulipe
150
qui fleuriront
Nombre de bulbes de tulipe
qui ne fleuriront pas
Total
1000
Partie B Le jardinier tire dans son sac un bulbe au hasard. On note :
F l’événement: « Le bulbe fleurira N ;
J : « Le bulbe est celui d’une tulipe jaune N ; R : « Le bulbe est celui d’une tulipe rouge »; N : « Le bulbe est celui d’une
tulipe noire N.
1° Déterminer les probabilités des événements suivants : J  F, J, F, J  F.
2° Les événements J et F sont-ils indépendants? Justifier la réponse.
3° a) Montrer que la probabilité que le bulbe soit celui d’une tulipe noire, sachant qu’il fleurira est 0,125.
b) Sachant que le bulbe est celui d’une tulipe noire, déterminer la probabilité qu’il ne fleurisse pas.
On rappelle :
p(A  B)
la formule donnant la probabilité de B sachant A : pA(B) =
p(A)
la définition de l’indépendance de B vis-à-vis de A : pA(B) = p(B).
1° a) 60 % des élèves sont inscrits à un cours d’instruments à cordes donc p (C) = 0,6
et 10 % sont inscrits à un cours de batterie donc p (B) = 0,1
b) 70 % des élèves inscrits à un cours d’instruments à cordes sont des filles donc
pC(F) = 0,7
0,6
c) 60 % des élèves inscrits à un cours d’instruments à vent sont des garçons donc
pv(G) = 0,6
2° p (C  F) = pC(F) × p (C) = 0,7 × 0,6 = 0,42
0,3
3° p (V) = 1 – p (C) – p (B) = 0,3 et pV(F) = 1 – pV(G) = 0,4
p (V  F) = p (V) × pV(F) = 0,3 × 0,4 = 0,12
0,1
4° a) p (F) = p (C  F) + p (V  F) + p (B  F) donc p (B inter F)
donc p (B  F) = p (F) – p (C  F) – p (V  F) = 0,56 – 0,42 – 0,12 = 0,02
p (F  B) 0,02 1
b) pF(B) =
=
=  36 %
p (F)
0,56 28
1
2
6 18 24 8
3 1° a) b) p(D) =  0,6 +  0,9 =
+
= =
= 0,8
3
3
30 30 30 10
1 4
1
A


3
p(A  D) 3 10 4 10 2

c) p (A)=
=
=

=
p(D)
2
30 2 3
D
10
2
3
3
2° a) A = {(D, D, D)} : p1 = 1  (p(D)) = (0,8)
B
3



2
b) B = {(D, D, D), (D, D, D), (D, D, D)} donc p2 = 3  (0,8)  0,2
  
c) C = {(D, D, D)} donc p3 = 0,2  0,2  0,2

3
d) E = A donc p4 = 1 – (0,8)
2 1° a) Une urne contient
0,7
F
0,3
G
0,4
F
0,6
G
C
V
F
B
G
0,6
D
0,4
0,9
D
D
0,1
D
dix boules indiscernables au toucher : une jaune, sept rouges et deux bleues donc P(J1) =
7
10
c) Si la première boule tirée est rouge l'urne contient alors une jaune, six rouges
1
et deux bleues donc PR1(J2) =
9
2° a) Si la première boule tirée est bleue l'urne contient alors une jaune, sept rouges
7
7 2
7
et une bleues donc PB1(R2) = et P(B1  R2) = PB1(R2)  P(B1) = 
=
9
9 10 45
7 6 2 7 56 28
b) P(R2) = P (R1  R2) + P(B1  R2) =
 +
 = =
10 9 10 9 90 45
b) P(R1)
=
3 Partie A
Nombre de bulbes de tulipe
qui fleuriront
Nombre de bulbes de tulipe
qui ne fleuriront pas
Total
Nombre de bulbes de
tulipe jaune
Nombre de bulbes de
tulipe rouge
Nombre de bulbes de
tulipe noire
Total
480
150
90
720
120
100
60
280
150
1000
600
250
480 12
600 3
720 18
Partie B 1° P (J  F) =
= , P(J) =
= P(F) =
=
1000 25
1000 5
1000 25
3 18 12 21
et p( J  F) = P(J) + P(F) – P(J  F) = +
– =
5 25 25 25
3 18 12
2° P(J)  P(F) = 

5 25 25
90
1
3° a) PF(N) =
= = 0,125
720 8

60 2
b) PN( F) =
=
150 5
J
J
1/10
R
7/10
1/9
6/9
2/9
R
B
J
2/10
B
1/9
7/9
1/2
R
B
1
10