Programme de colle en Mathématiques
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Programme de colle en Mathématiques
PSI 2014-2015 Programme de colle en Mathématiques Semaine 8 - du 17 novembre au 21 novembre Dénombrement – Ensembles finis – p-listes et p-arrangements d’un ensemble à n éléments – p-combinaisons d’un ensemble à n éléments – Modèles d’urne : tirages successifs sans remise, successifs avec remise, tirages simultanés. Probabilités sur un univers fini – Le langage des probabilités : univers, évènement, évènement élémentaire, évènement contraire, évènements « A et B » et « A ou B », évènement impossible, évènements incompatibles, système complet d’évènements. – Espace probabilisé fini : définition d’une probabilité, détermination d’une probabilité par les images des singletons, probabilité uniforme, probabilité d’une réunion, de l’évènement contraire, croissance. La formule du crible est hors-programme, elle a été cependant démontrée en exercices. – Probabilité conditionnelle : définition, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formules de Bayes. – Évènements indépendants : couple d’évènements indépendants, famille finie d’évènements mutuellement indépendants. Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini – Variables aléatoires : définition, loi PX de la v.a. X, image d’une v.a. par une fonction et loi associée. – Espérance et variance d’une variable aléatoire réelle : définition de l’espérance, linéarité de l’espérance, E(aX + b), variable centrée, positivité et croissance de l’espérance, inégalité de Markov, théorème de transfert, moments, variance, formule de Kœnig-Huygens, propriétés de la variance, V(aX + b), écart-type, v.a. centrée réduite associée, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. – Couples de variables aléatoires : définition, loi conjointe, lois marginales, loi conditionnelle de Y sachant X = x, extension aux n-uplets de v.a. – Indépendance de variables aléatoires : définition d’un couple de v.a. indépendantes, v.a. indépendantes (on peut aussi dire « mutuellement indépendantes »), v.a. indépendantes deux à deux, si X et Y sont indépendantes f (X) et g(Y ) le sont aussi, lemme des coalitions. – Lois finis usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale : « Situation type », définition, espérance et variance Si X1 , . . . , Xn sont mutuellement indépendantes de même loi B(p) alors X1 + . . . + Xn ֒→ B(n, p). La loi hypergéométrique est hors programme. – Covariance : définition, formule de Kœnig-Huygens sur la covariance, l’application (X, Y ) 7→ Cov(X, Y ) est bilinéaire, symétrique, positive. Variance d’une somme de 2 v.a., variance d’une somme de n v.a., Si X, Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X)E(Y ), Cov(X, Y ) = 0 et V(X + Y ) = V(X) + V(Y ). Variables non corrélées, lien avec l’indépendance. Variance d’une somme de n v.a. deux à deux indépendantes. Retour sur le calcul de la variance d’une v.a. X suivant une loi binomiale. Questions de cours – Énoncé et démonstration des deux formules de Bayes. – Énoncés et démonstrations de l’inégalité de Markov et de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. – Donner, sans démonstration, pour les trois lois finies usuelles (uniforme, Bernoulli et binomiale) : la « situation type », la définition, l’espérance et la variance. – Démonstration directe de l’espérance et de la variance d’une v.a. X suivant une loi binomiale B(n, p). – Démonstration de l’espérance et de la variance d’une v.a. X suivant une loi binomiale B(n, p) à l’aide d’une somme de n v.a. de Bernoulli B(p) indépendantes. Semaine 9 : EVN + Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles d’une variable réelle + Arcs paramétrés ?