Feuille 6 - of Christophe Hohlweg

UQAM, MAT2030 - Introduction à la géométrie
Hiver 2009
Feuille d’exercices 6
Exercice 1 Soit f : E → F une application.
Si A1 , A2 ⊆ E, montrer que
1. f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ),
2. f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 )
(l’égalité est fausse en général),
3. A1 ⊆ A2 =⇒ f (A1 ) ⊆ f (A2 ).
Si B1 , B2 ⊆ F , montrer que
4. f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ),
5. f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ),
6. B1 ⊆ B2 =⇒ f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ).
(∗) De plus, si A ⊆ E et B ⊆ F , montrer que f (f −1 (B)) ⊆ B et A ⊆ f −1 (f (A)).
Exercice 2 Soit f : A → B et g : B → C deux applications. Montrer que pour tout
X ⊆ A et pour tout Y ⊆ C on a (g ◦ f )(X) = g(f (X)) et (g ◦ f )−1 (Y ) = f −1 (g −1 (Y )).
Exercice 3 L’application f : A → B définie par f (x) = x2 est-elle injective, surjective,
bijective dans les cas suivants :
(a) A = B = R; (b) A = B = R+ ; (c) A = R+ et B = R; (d) A = R et B = R+ .
Exercice 4 Soit f : E → F une application.
(a) Montrer que f est injective si et seulement si f −1 (y) est un singleton pour tout
y ∈ Im(F );
(b) Montrer que f est surjective si et seulement si pour tout y ∈ F il existe x ∈ E tel
que f (x) = y;
(c) Montrer que f est bijective si et seulement si f −1 (y) est un singleton pour tout
y ∈ F;
(d) On considère f0 : E → f (E) définie par f0 (x) = f (x). Montrer que f0 est surjective
et que f0 est une bijection si et seulement si f est injective.
Exercice 5 ∗ Soient f : A → B et g : B → C deux applications. Montrer que
(a) f et g injectives =⇒ g ◦ f injective;
(b) f et g surjectives =⇒ g ◦ f surjective;
(c) g ◦ f injective =⇒ f injective;
(d) g ◦ f surjective =⇒ g surjective;
(e) g ◦ f injective et f surjective =⇒ g injective;
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UQAM, MAT2030 - Introduction à la géométrie
Hiver 2009
Exercice 6 Soit P le sous-espace vectoriel de R3 défini par l’équation ½
x + 2y − z = 0
x+y =0
.
et soit D le sous-espace vectoriel de R3 défini par le système d’équation
y+z =0
1. Montrer que P est un plan vectoriel et que D est une droite vectorielle. Trouver
une base (e01 , e02 ) de P et une base (e03 ) de D.
2. Montrer que P et D sont supplémentaires (i.e. R3 = P ⊕ D). Est-ce que B0 =
(e01 , e02 , e03 ) est une base de R3 ?
3. Notons p la projection sur P parallèlement à D et s la symétrie par rapport à P
parallèlement à D. Calculer les matrices de p et s dans la base canonique de R3
et dans la base B0 .
Exercice 7 Soit E un R-espace vectoriel. Montrer qu’une application f : R → E est
linéaire si et seulement si il existe un vecteur u ∈ E tel que f (x) = xu pour tout x ∈ R.
Exercice 8 Soient f, g : E → F deux applications linéaires et λ ∈ R. On définit
les applications f + g : E → F et λf : E → F par (f + g)(u) = f (u) + g(u) et
(λf )(u) = λf (u) pour tout u ∈ E. Montrer que f + g et λf sont des applications
linéaires.
Exercice 9 Soit f : E → F une application linéaire. Soit g : E × F → E × F
l’application définie par g(u, v) = (u, v − f (u)). Montrer que g est une application
linéaire bijective.
Exercice 10 Montrer que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
N.B : Les exercices qui ne sont pas marqués d’une ”∗” sont prioritaires.
Christophe Hohlweg, PK-4230
Courriel : [email protected]
http://hohlweg.math.uqam.ca/
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