MT90 P2012 Partiel NOM : PRENOM : Les exercices 1, 2, 3 et 4 sont

MT90 P2012 Partiel
NOM :
PRENOM :
Les exercices 1, 2, 3 et 4 sont indépendants.
Barème approximatif (3, 7.5, 4, 5.5).
La rédaction est très importante, rédigez et justifiez clairement vos réponses ou démonstrations !
Exercice 1
A, B et C sont trois sous-ensembles non vides de IR. On rappelle la définition de A\B :
{x ∈ A\B} ⇔ {x ∈ A et x ∈
/ B}.
1. Démontrer que (A ∩ C)\C = ∅.
2. Compléter et démontrer l’équivalence suivante :
x ∈ A\(B ∩ C) ⇔ x ∈ (A....B).....x ∈ (A.....C).
3. Déduire de ce qui précède une expression plus simple de (A ∩ C)\(B ∩ C).
Exercice 2
On note E l’ensemble des applications de IR dans IR.
1. Soit φ une application appartenant à E.
(a) Donner la définition de φ n’est pas injective.
(b) Donner la définition de φ n’est pas surjective.
2. On définit les applications f1 et f2 appartenant à E par :
∀x ∈ IR, f1 (x) = exp(x),
f2 (x) = x2 .
Est-ce que f1 est injective de IR dans IR ? surjective de IR dans IR ?
Est-ce que f2 est injective de IR dans IR ? surjective de IR dans IR ?
On ne demande pas de démontrer les résultats.
3. Soient f et g appartenant à E.
On note Im f, Im g, Im (f og), les images respectives des applications f , g, f og.
(a) Compléter les équivalences suivantes :
y ∈ Im(f og) ⇔ .........................................
y ∈ Imf ∩ Img ⇔ .........................................
(b) Quelle inclusion existe entre les ensembles Im f, Im g et Im (f og) ? Démontrer cette
inclusion.
4. On définit les propositions :
(P1 ) : ∀f, g ∈ E {f og injective } ⇒ f injective.
(P2 ) : ∀f, g ∈ E {f og surjective } ⇒ f surjective.
(a) Compléter l’équivalence suivante :
( non P1 ) ⇔ ..........................................................
(b) Est-ce que la proposition (P1 ) est vraie ? Justifier la réponse.
(c) Est-ce que la proposition (P2 ) est vraie ? Justifier la réponse.
Exercice 3
Soient A et B deux sous-ensembles non vides de IR, on suppose que
∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ b.
1. (a) Montrer que A admet une borne supérieure. On notera α cette borne supérieure.
(b) Montrer que B admet une borne inférieure. On notera β cette borne inférieure.
2. (a) Donner la définition de “m est minorant de B”.
(b) Utiliser cette définition pour montrer que α est minorant de B.
(c) En déduire que α ≤ β.
Exercice 4 Soit (un , n ∈ IN) une suite numérique.
1. Donner la définition de “la suite (un ) converge vers `”.
2. Donner la définition de “la suite (un ) est majorée”.
3. On définit les propositions :
(P1 ) :
(un ) converge vers une limite `.
(P2 ) :
(un ) est majorée.
(a) Donner un exemple de suite pour laquelle (P1 ) est fausse et (P2 ) vraie.
(b) Quelle implication, vraie, existe entre (P1 ) et (P2 ) ?
On ne demande pas de démontrer le résultat.
4. On définit les propositions (P ) et (Q) suivantes :
(P ) : quelle que soit la suite (un ), (un ) est convergente ou (un ) n’est pas majorée.
(Q) : quelle que soit la suite (un ), (un ) est divergente ou (un ) est majorée.
Est-ce que (P ) est vraie ? Justifier la réponse en utilisant la question 3.
Est-ce que (Q) est vraie ? Justifier la réponse en utilisant la question 3.