Group es op eran t sur un ensem ble. Exemples et applications

G , sur lesquels G opère transitivement.
2) x ∈ E , O(x) = orbite de x , S = Stab(x) . Il
existe un unique G-isomorphisme f : G/S → O(x)
X
Card(G)
·
s(O)
O∈E/H
Applications : ordre d’un élément de Sn ; classes de
conjugaison dans Sn .
cycles à support disjoints ; ces cycles commutent entre
eux. Cette écriture est unique à l’ordre près.
Définitions : cycle d’ordre d dans Sd ; support d’un
cycle.
Proposition .− Toute permutation est produit de
1) Permutations
2. Applications
7) Orbites S (r ≥ 0) : Sr = {v ∈ Rn | ||v|| = r}
r
Si v 6= 0 , Stab(v) ∼
= O(n − 1, R) .
Stab(q) = O(q) .
Exemples .− 1) Action simplement transitive.
3) Orbites = classes de conjugaison ; Stab(x) = Z(x)
4) Orbites = classes de conjugaison de sous-groupes.
Stab(H) = N(H) = normalisateur de H .
5) Orbites = classes de similitude ; Stab(u) = Z(u) .
6) Orbites = classes d’équiv. de formes quadratiques.
Card(E) =
O orbite de G , s(O) := Card Stab(x) (indép. de x)
Corollaire (formule des classes) .− G, E finis. Pour
3) Deux G-ensembles G/H et G/H0 sont isomorphes si et seulement si H et H0 sont conjugués.
tel que f (S) = x .
(= groupes d’ordre pn , n ≥ 1 )
Alors G est simple.
Exemple .− le groupe PSL(V) .
a) est vérifié si : ∀x 6= y, x0 6= y 0 dans E , il
existe g ∈ G tel que gx = x0 , gy = y 0 .
g
Proposition (Iwasawa) .− G ⊂ SE opère transitivement, x ∈ E , S := Stab(x) . On suppose :
a) H sous-groupe de G , H ⊃ S ⇒ H = S ou G ;
b) Tout homomorphisme de G dans un groupe
commutatif est trivial ;
c) Il existe A commutatif distingué dans S tel que
[
gAg −1 engendre G .
4) Un critère de simplicité
Une application : p, q premiers, p > q , q 6 | p − 1 ⇒
tout groupe d’ordre pq est commutatif.
Théorème (Sylow) .− 1) Tout p-sous-groupe de G
est contenu dans un p-Sylow.
2) Les p-Sylow sont conjugués ; leur nombre est
≡ 1 mod. p , et divise m .
G d’ordre pn m avec p 6 | m .
p-Sylow de G := sous-groupe d’ordre pn .
3) Sous-groupes de Sylow
Corollaire .− G = G0 ⊃ G1 ⊃ . . . ⊃ Gn = {1} distingués, Gi /Gi+1 commutatif (“ G résoluble”).
Proposition .− Le centre d’un p-groupe est 6= {1} .
2) p -groupes
Groupes opérant sur un ensemble. Exemples et applications
1. Définitions, structure des G-ensembles
g(hx) = (gh)x
1x = x
Définitions : Action de G sur E :
½
G×E→E
(g, x) 7→ gx
G-ensemble, G-morphisme, G-isomorphisme.
Remarques .− 1) ⇔ morphisme ϕ : G → SE .
2) Action à droite
3) G opère sur E ⇒ G opère sur P(E) .
Exemples .− 1) G opère sur G par multiplication
⇒ G ,−→ SG . En particulier, si Card(G) = n ,
G ,−→ Sn (théorème de Cayley).
2) H sous-groupe de G ⇒ G opère sur G/H .
3) G opère sur G par conjugaison
⇒ int : G → Aut(G) homomorphisme.
4) G opère sur l’ensemble de ses sous-groupes par
conjugaison (remarque 3).
5) V espace vectoriel sur K ; le groupe GL(V)
opère sur End(V) par conjugaison.
6) (car. K 6= 2 ) GL(V) opère sur
Q(V) := {formes quadratiques sur V}
par (g, q) 7→ q ◦ g −1 .
7) Le groupe orthogonal O(n, R) opère sur l’espace
euclidien Rn .
Définitions : action transitive, stabilisateur d’un point,
orbite d’un point
Théorème .− G groupe opérant sur l’ensemble E .
1) Les orbites forment une partition de E ; c’est
l’unique partition de E en sous-ensembles stables par