CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES IDEMPOTENTS

Bull. Soc. math. France,
119, 1991, p. 173–198.
CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE
DES IDEMPOTENTS EULÉRIENS.
FILTRATION DES GROUPES DE POLYTOPES ET
DES GROUPES D’HOMOLOGIE DE HOCHSCHILD
PAR
F. PATRAS (*)
RÉSUMÉ. — Il est possible de démontrer, par des méthodes entièrement géométriques, l’existence d’une famille d’idempotents orthogonaux dans l’algèbre Q[Sn ], ainsi
que certaines propriétés remarquables de ces idempotents (comme la commutativité
au bord de Hochschild abstrait). Ces résultats reposent sur l’étude de l’action des
homothéties dans des groupes de polytopes.
Ils permettent de retrouver, à la manière de constructions dues à J.-L. Loday,
la filtration des groupes d’homologie de Hochschild d’une algèbre commutative à
coefficients dans un bimodule symétrique.
ABSTRACT. — We prove, through geometrical means, the existence of a family
of orthogonal idempotents in the algebra Q[Sn ]. We also establish some properties of
these idempotents (commutativity with Hochschild’s abstract boundary, for example).
Applying this, and following ideas of J.-L. Loday, we construct the filtration of the
Hochschild homology of a commutative algebra.
Introduction
Les travaux récents de Jean-Louis LODAY en homologie de Hochschild
et en homologie cyclique [4] montrent l’importance de certaines propriétés de type combinatoire liées aux “battages de cartes” (ou “shuffles”).
Lors d’une note récente [5], nous montrions comment il est possible de
donner une application géométrique des calculs de [4] et de retrouver par
l’intermédiaire des opérations combinatoires liées aux battages certains
résultats classiques en théorie des polytopes. Le présent travail adopte le
(*) Texte reçu le 28 juin 1990.
F. PATRAS, D.M.I., E.N.S., 45, rue d’Ulm, 75230 Paris Cedex 5, France.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
c Société mathématique de France
0037–9484/1991/173/$ 5.00
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point de vue opposé et montre entre autres comment établir, par des
arguments élémentaires de géométrie simpliciale, les égalités combinatoires de [4].
L’idée fondamentale reste celle de [5] : faire opérer le n-ième groupe
symétrique Sn sur les simplexes ordonnés de dimension n. Si l’on définit
ces opérations sur des groupes de polytopes bien choisis, certains calculs
sur l’algèbre sur les rationnels du groupe Sn peuvent s’effectuer de manière
purement géométrique.
Après avoir construit un modèle géométrique : “l’anneau des simplexes”, nous permettant d’interpréter les calculs liés aux opérations de
battage, nous nous attacherons successivement à établir quelques égalités liées à ces opérations, puis certaines propriétés d’éléments de Q[Sn ]les opérations d’Adams de [5], qui opèrent comme les homothéties sur
l’anneau des simplexes et sont, au signe près les λ-opérations de [4].
Nous démontrons ainsi, entre autres, l’existence pour tout n d’une famille d’idempotents orthogonaux dans Q[Sn ] permettant d’obtenir une
décomposition en somme directe de tout groupe muni d’une structure
de Q[Sn ]-module.
Par l’intermédiaire de raisonnements géométriques élémentaires dans
une sous-catégorie CS de la catégorie des ensembles finis pointés, nous retrouvons la filtration des groupes d’homologie de Hochschild des algèbres
commutatives établie dans [4]. Nous retrouvons également la décomposition du groupe des polytopes d’un espace euclidien établie dans [5].
De fait, une fois effectuée la construction de l’anneau des simplexes,
ces différents résultats découlent tous des propriétés élémentaires des
homothéties.
Je tiens tout particulièrement à remercier Pierre CARTIER, pour ses indications quant à la manière d’interpréter certains résultats combinatoires
à l’aide de modèles simpliciaux, ainsi que pour ses nombreux conseils lors
de l’élaboration de cet article.
Ce dernier est divisé en quatre parties :
I. L’anneau des simplexes ∆• .
II. Décompositions et opérations sur ∆• .
III. Filtration de l’anneau des simplexes.
IV. Catégorie CS et applications.
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I. L’anneau des simplexes ∆•
Ce paragraphe a pour fondement les idées de HADWIGER [3] : celuici s’intéressant à la théorie des polytopes dans des espaces affines réels
à été amené à établir certaines propriétés d’un produit géométrique, le
produit de Minkowski [3, I.2.2]. Ce produit s’interprète facilement en
termes d’opérations de type combinatoire sur les simplexes, au travers
de la notion de battage.
En fait si, plutôt que de s’intéresser comme HADWIGER à la théorie des
polytopes, l’on cherche à établir de manière géométrique des propriétés
de type combinatoire, il est profitable de définir ces opérations sur des
groupes de polytopes à sommets dans certains sous-ensembles discrets
des espaces affines réels. C’est là la motivation initiale de la construction
de l’anneau des simplexes ∆• , quelque intérêt qu’il puisse par ailleurs
présenter en lui-même.
I.1. Définitions préalables.
I.1.a. Groupes de polytopes. — Afin d’éviter par la suite toute ambiguı̈té,
nous commençons par rappeler les définitions suivantes.
Soient M un espace affine réel de dimension n, et G un groupe de
transformations affines de cet espace. On appelle polytope convexe de M
tout sous-ensemble de M s’écrivant comme l’enveloppe convexe d’un
nombre fini de points. Un polytope convexe est dit dégénéré (resp. kdégénéré, où k ≤ n) s’il est contenu dans un hyperplan affine de M (resp.
dans un sous-espace affine de M de dimension k − 1).
Plus généralement, on appelle polytope de M toute réunion finie de
polytopes convexes de M . Un polytope est dit non-dégénéré s’il contient
un polytope convexe non-dégénéré.
Définissons alors le groupe LP (M ) comme le Q-module libre sur
l’ensemble des polytopes de M . On appellera groupe de polytopes associé à M et on notera P(M ) le groupe quotient
n de LP (M ) par le sous
Q-module engendré par les éléments (Q − i=1 Pi ) de LP (M ), n parcourant N∗ , tels que les polytopes Pi et Q appartiennent à LP (M ) et
satisfassent à :
i) Pour i, j distincts dans [1, n], Pi ∩ Pj est un polytope dégénéré
de M ;
ii) i∈[1,n] Pi = Q.
L’action de G sur M induit une action de G sur P(M ). On appellera
groupe de polytopes associé à M et G, et on notera P(M, G), le groupe
H0 (G, P(M )).
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REMARQUE 1. — On rappelle que, si H est un groupe et L un ZHmodule à gauche, H0 (H, L) désigne le groupe quotient de L par le sousZH-module engendré par les éléments − h · , où h parcourt H et parcourt L.
Si P est un polytope de M , nous noterons désormais [P ] sa classe
dans P(M ) (ou éventuellement dans P(M, G)). Remarquons que si P est
un polytope dégénéré, sa classe [P ] est nulle, compte tenu des relations i)
et ii).
I.1.b. Polytopes orientés. — Nous aurons par la suite à parler de
polytopes orientés. Choisissons une base ordonnée (en1 , . . . , enn ) de M ,
et fixons sur M l’orientation définie par cette base ordonnée. Nous
appellerons polytope orienté de M la donnée d’un polytope P et d’une
orientation de l’espace. Si cette orientation coı̈ncide avec l’orientation fixée
sur M , nous dirons que P est orienté positivement ; nous dirons que P est
orienté négativement dans le cas contraire.
En d’autres termes, la donnée d’un polytope orienté de M équivaut
à la donnée d’un couple (P, ε), où P est un polytope et ε un élément
de {−1, 1}, avec la convention : ε = 1 si l’orientation est positive, ε = −1
sinon.
Considérons l’application :
Ψ
LP (M ) × {−1, 1} −→ P(M, G)
(P, ε) → ε · [P ] ;
elle permet d’associer à tout polytope orienté un élément de P(M, G).
Par abus, si P est un polytope de M , nous appellerons l’élément −[P ] de
P(M, G) : la classe dans P(M, G) du polytope P affecté d’une orientation
négative.
I.1.c. Simplexes. — Un k-simplexe de M est un polytope enveloppe
convexe de k + 1 points de M . Un k-simplexe ordonné est alors défini
par la donnée d’une suite ordonnée de k + 1 points (x0 , . . . , xk ) ou, de
manière équivalente, par la donnée d’un point et d’une suite ordonnée
de k vecteurs — qui représentent les arêtes successives du k-simplexe :
(x0 / x0 x1 / · · · / xk−1 xk ).
Le k-simplexe sous-jacent à un k-simplexe ordonné est, par définition
l’enveloppe convexe des (k + 1) points qui définissent ce simplexe.
Soit maintenant (x0 , . . . , xn ) un n-simplexe ordonné non-dégénéré ; la
suite de vecteurs ( x0 x1 , . . . , xn−1 xn ) définit une orientation de M ; tout
n-simplexe ordonné peut donc être considéré comme un simplexe orienté.
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La classe dans P(M, G) d’un n-simplexe ordonné S, que nous noterons [S],
est donnée par la classe du simplexe sous-jacent affecté de l’orientation
du n-simplexe ordonné S.
I.2. Triangulation du cube.
Nous travaillerons jusqu’à nouvel ordre dans le groupe des polytopes
associé à Rn et au groupe T E des translations entières de Rn — c’est-àdire le groupe des translations associées aux vecteurs de Rn à coordonnées entières. Si P est un polytope, [P ] désignera donc la classe de P
dans P(Rn , T E).
Notons Cn le cube unité dans Rn :
Cn = (t1 , t2 , . . . , tn ) | 0 ≤ ti ≤ 1 ∀i ∈ [1, n] ·
Si σ appartient à Sn , notons Qnσ le n-simplexe :
Qnσ = (tσ(1) , tσ(2) , . . . , tσ(n) ) | 0 ≤ tn ≤ tn−1 ≤ · · · ≤ t1 ≤ 1 ;
Qnσ est le n-simplexe sous-jacent au n-simplexe ordonné Pσn :
0/enσ−1 (1) / · · · /enσ−1 (n) ;
où eni désigne le i-ème vecteur de la base canonique de Rn .
Si l’on désigne par sgn(σ) la signature de la permutation σ de Sn , on
a alors :
[Pσn ] = sgn(σ) · [Qnσ ],
et
[Cn ] =
σ∈Sn
[Qnσ ] =
sgn(σ)[Pσn ].
σ∈Sn
Nous noterons désormais ∆n le sous-Q-module de P(Rn , T E) engendré
par ([Pσn ])σ∈Sn .
Si t et t sont deux translations de T E et σ et σ deux permutations
distinctes de Sn , t · Qnσ ∩ t · Qnσ est un polytope dégénéré de Rn . Le
groupe ∆n est donc un Q-module libre sur les classes [Qnσ ] non nulles des
n-simplexes Qnσ .
L’application volume définit (à un scalaire près) un élément de
Hom(P(Rn , T E), R). Comme les valeurs de cette application sur les
classes [Qnσ ] sont non nulles, [Qnσ ] est non nul dans P(Rn , T E) et ∆n
est un Q-module libre de rang n !.
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Par ailleurs, le morphisme Q-linéaire In de Q[Sn ] dans ∆n induit par :
σ −→ [Pσn ],
définit un isomorphisme de Q-modules. Les applications
n
],
β : [Pσn ] −→ [Pβ·σ
pour β décrivant Sn , munissent ∆n d’une structure de Sn -module, et In
définit en fait un isomorphisme de Q[Sn ]-modules.
I.3. Structure d’anneau.
Nous poserons ƥ =
n∈N ∆n , avec la convention : ∆0 = Q. Si
m < n, nous noterons im,n l’application R-linéaire de Rm dans Rn qui
k
fait correspondre eni+n−m à em
i . Définissons le produit des simplexes Qσ
k+
et Qβ comme le polytope de R
:
(1)
Qkσ × Q
β = t + i
,k+
(t ) ∈ Rk+
| t ∈ Qkσ , t ∈ Q
β ·
REMARQUE 2. — Si l’on identifie Rk × R
à Rk+
, Qkσ × Q
β désigne
simplement le produit cartésien des simplexes Qkσ et Q
β .
Si l’on pose maintenant
[Qkσ ] × [Q
β ] = [Qkσ × Q
β ],
(2)
on définit par là une application Q-bilinéaire de ∆k ×∆
dans P(Rk+
, T E).
La PROPOSITION 2 montre que cette application est en fait à valeurs
dans ∆k+
, et on a donc le résultat suivant :
PROPOSITION 1. — Le produit défini par les formules (1) et (2) munit ∆•
d’une structure d’anneau.
Rappelons maintenant qu’une permutation σ de Sk+
est appelée un
battage de coefficients (k, ) si σ(i) < σ(j) est vrai dès que i < j ≤ k
ou k < i < j. Nous noterons Sh(k, ) l’ensemble des battages de coefficients (k, ).
PROPOSITION 2. — L’égalité suivante est vraie dans ∆k+
:
[Qk1 ] × [Q
1 ] =
(3)
γ∈Sh(k,
)
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[Qk+
γ ].
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En effet :
Qk1 × Q
1 = (t1 , t2 , . . . , tk+
) |
(t1 , . . . , tk ) ∈ Qk1 ; (tk+1 , . . . , tk+
) ∈ Q
1
= (t1 , . . . , tk , tk+1 , . . . , tk+
) |
0 ≤ tk ≤ · · · ≤ t1 ≤ 1, 0 ≤ tk+
≤ · · · ≤ tk+1 ≤ 1 ·
Le polytope de Rk+
ainsi obtenu se décompose en simplexes de
type Qk+
σ . L’ensemble des simplexes de cette décomposition est paramétré
par les bijections de [1, k + ] dans [1, k + ] dont les restrictions à [1, k]
et [k + 1, k + ] sont croissantes.
En d’autres termes, cette décomposition est paramétrée par les battages
de coefficients (k, ) et
(t1 , . . . , tk , tk+1 , . . . , tk+
Qk1 × Q
1 =
γ∈Sh(k,
)
| 0 ≤ tγ −1 (k+
) ≤ · · · ≤ tγ −1 (1) ≤ 1
Qk+
=
γ .
γ∈Sh(k,
)
Par conséquent
[Qk1 ] × [Q
1 ] =
[Qk+
γ ]
γ∈Sh(k,
)
[P1k ] × [P1
] =
et
sgn(γ) · [Pγk+
].
γ∈Sh(k,
)
Notons maintenant l’application de Sk × S
dans Sk+
telle que
σ(i)
si i ≤ k,
(σ β)(i) =
β(i − k) + k si i > k.
On vérifie de la même manière le résultat suivant :
Qkσ × Q
β =
Qk+
γ·(σβ) .
γ∈Sh(k,
)
PROPOSITION 3. — Dans ∆• , le produit des simplexes est donné par les
formules suivantes :
(4)
Qk+
[Qkσ ] × [Q
β ] =
γ·(σβ) ,
γ∈Sh(k,
)
(5)
[Pσk ] × [Pβ
] =
k+
.
sgn(γ) · Pγ·(σβ)
γ∈Sh(k,
)
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Posons S• = n∈N Q[Sn ]. Compte tenu des isomorphismes In de I.2,
la structure d’anneau de ∆• permet de munir S• d’une multiplication ×
et d’une structure d’anneau. Nous appellerons (S• , +, ×) l’anneau géométrique du groupe symétrique pour différencier cette structure de la structure usuelle (S• , +, ). Nous noterons · la multiplication usuelle dans le
groupe symétrique Sn .
REMARQUE 3. — Si (σ, β) ∈ Sk × S
, nous aurons donc, par définition :
(6)
σ×β =
sgn(γ) · γ · (σ β).
γ∈Sh(k,
)
II. Décompositions et opérations sur ∆•
L’anneau ∆• étant défini à l’aide de groupes de polytopes, les homothéties à coefficients entiers opèrent sur ∆• . Notons Ψk l’opération sur ∆•
induite par l’homothétie de rapport k. Compte tenu des propriétés géométriques des homothéties, Ψk définit un endomorphisme de l’anneau ∆• .
Par abus, l’opération induite par l’homothétie de rapport k sur les
polytopes et sur les différents groupes P(M, G) sera également notée Ψk .
L’opérateur Ψk stabilise la décomposition ∆• =
n∈N ∆n ; nous
noterons Ψki sa restriction à ∆i .
II.1. Premières décompositions.
Nous renvoyons à [3, I.2.6] pour une représentation géométrique des
calculs qui vont suivre.
PROPOSITION 4. — On a les relations suivantes :
Ψk ◦ Ψ
= Ψ
◦ Ψk = Ψk·
Ψk+
[Qi1 ] =
Ψk [Qr1 ] × Ψ
[Qs1 ] .
(7)
(8)
r+s=i
La formule (7) est évidente, par définition des Ψk .
La formule (8) est la conséquence de la décomposition suivante :
Ψk+
(Qi1 )
= (t1 , . . . , ti ) | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ t1 ≤ k + (t1 , . . . , ti ) | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ tj+1 ≤ k ≤ tj ≤ · · · ≤ t1 ≤ k + =
j≤i
=
(k + t1 , . . . , k + tj , tj+1 , . . . , ti ) | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ tj+1 ≤ k;
0 ≤ tj ≤ · · · ≤ t 1 ≤ .
j≤i
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Comme par ailleurs le polytope
(k + t1 , . . . , k + tj , tj+1 , . . . , ti ) |
0 ≤ ti ≤ · · · ≤ tj+1 ≤ k ; 0 ≤ tj ≤ · · · ≤ t1 ≤ )
se déduit par translation du polytope :
(t1 , . . . , ti ) | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ tj+1 ≤ k ; 0 ≤ tj ≤ · · · ≤ t1 ≤ = Ψk (Qj1 ) × Ψ
(Qi−j
1 ),
cette égalité se réécrit dans ∆i sous la forme :
k j Ψk+
[Qi1 ] =
Ψ [Q1 ] × Ψ
[Qi−j
1 ] .
j≤i
PROPOSITION 5. — Il existe dans Z[Si ] une famille d’éléments (s Ψki )k∈N ,
telle que s Ψki opère comme Ψki sur ∆i .
Nous noterons s Ψki l’élément Ii−1 (Ψki ([P1i ])) de Z[Si ] (Ii ayant été
défini au I.2). Nous avons vu au I.2 que ∆i est un Z[Si ]-module ; s Ψki
définit donc un opérateur dans ∆i . Nous allons montrer que s Ψki opère
comme Ψki dans ∆i . Il suffit pour cela de prouver que, pour tout σ ∈ Si ,
Ψki ([Pσi ]) = s Ψki ([Pσi ]).
i,k
i
k
i
Notons Ψki ([P1i ]) =
β∈Si cβ · [Pβ ] la décomposition de Ψi ([P1 ])
dans ∆i . Par définition, on a :
i,k
s k
Ψi =
cβ · β.
β∈Si
i
Il s’agit donc de prouver que Ψki ([Pσi ]) est égal à β∈Si ci,k
β [Pβ·σ ].
Remarquons pour cela qu’il existe pour tout i un morphisme de
groupes φi de Si dans GLi (R) qui, à toute permutation de [1, i] associe la
permutation correspondante des vecteurs de la base canonique de Ri :
φi (σ) · ej = eσ(j) .
Comme on a
Qiσ =
i
tσ(j) ej | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ t1 ≤ 1
j=1
=
i
tj · eσ−1 (j) | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ t1 ≤ 1
j=1
= φi (σ −1 ) · Qi1 ,
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et que les homothéties sont dans le centre de Mi (R) (l’anneau des
matrices i × i à coefficients réels), on a encore :
Ψki (Qiσ ) = Ψki ◦ φi (σ −1 )(Qi1 ) = φi (σ −1 ) ◦ Ψki (Qi1 ).
Par ailleurs :
φi (σ −1 )(Qiβ ) =
i
tβ(j) · eσ−1 (j) | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ t1 ≤ 1
j=1
=
i
tβ·σ(j) · ej | 0 ≤ ti ≤ · · · ≤ t1 ≤ 1 = Qiβ·σ ;
j=1
par conséquent, en notant encore φi (σ −1 ) l’opérateur sur ∆i défini par :
φi (σ −1 ) [Qiβ ] = [Qiβ·σ ],
on a l’égalité suivante dans ∆i :
Ψki [Pσi ] = sgn(σ) · φi (σ −1 ) ◦ Ψki [P1i ]
= sgn(σ) · φi (σ −1 ) ◦ s Ψki [P1i ]
i
= sgn(σ) · φi (σ −1 ) ·
ci,k
β [Pβ ]
=
β
i
ci,k
β [Pβ·σ ]
=
s
Ψki
· [Pσi ],
β
d’où le résultat annoncé.
Cette proposition nous permet de considérer désormais Ψki comme un
élément de Z[Si ]. Les relations suivantes sont donc vraies dans (S• , +, ×) :
Ψki · Ψ
i = Ψk·
i
(7bis)
Ψk+
=
i
(8bis)
Ψkr × Ψ
s .
r+s=i
Notons maintenant Shki l’élément de Z[Si ] tel que :
(9)
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j1
P1 × · · · × P1jk ,
Shki · [P1i ] =
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où la somme porte sur tous les k-uplets (j
)
∈[1,k] d’entiers non nuls tels
que j1 + · · · + jk = i.
Nous allons établir certaines égalités entre les Ψki et les Shki , dont nous
déduirons par la suite l’existence d’une famille d’idempotents orthogonaux
dans Q[Si ].
• = ∆i . La multiplication
L’anneau ∆• peut être plongé dans ∆
i
• est définie par
dans ∆
[Ri ] ×
i
[T j ] =
n
j
[Ri ] × [T j ] ,
i+j=n
où [Ri ] et [T j ] désignent respectivement des éléments de ∆i et ∆j .
Définissons dans cet anneau P • et P • par les égalités :
P • = 1 + P • =
[P1i ].
i∈N
La formule (8) montre que :
Ψk+
(P • ) = Ψk (P • ) × Ψ
(P • ),
et donc que :
Ψk (P • ) = (P • )k = (1 + P • )k =
k (P• )i .
i
i∈N
Par ailleurs, l’opérateur Ψk préserve la décomposition ∆• =
i∈N ∆i .
D’après la formule précédente et la définition de Shki , on a donc :
Ψki
i k
[P1 ] =
Shji [P1i ] .
j
j≤i
D’où l’égalité dans Z[Si ] :
(10)
Ψki =
k j≤i
j
Shji .
COROLLAIRE 1. — Pour tout i ∈ N, il existe une famille (Ψki )k∈N
d’éléments de Z[Si ], telle que :
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F. PATRAS
i) L’application de ∆• dans ∆• qui coı̈ncide avec Ψki sur ∆i est un
endomorphisme de l’anneau ∆• .
ii) On a les formules suivantes :
Ψ1i = 1,
Ψki · Ψ
i = Ψk·
i ,
Ψki =
k j≤i
j
Shji .
REMARQUE 4. — Les éléments Ψki et Shki que nous définissons sont très
proches des λ-opérations et des shuffle-opérations de [4]. Toutefois, nous
avons adopté des conventions de signes différentes de celles de J.-L. Loday.
Nous donnons ici une table de correspondance entre les deux systèmes de
conventions :
cet article
[4]
Ψki
(−1)k−1 λki
Shki
(−1)k−1 shki
II.2. Idempotents orthogonaux de Q[Si ].
D’après II.1, COROLLAIRE 1, on a :
Ψki
=
k j≤i
j
Shji ;
donc, d’après la définition des nombres de Stirling de première espèce
s(j, p) (cf. [1]) :
Ψki =
s(j, p) ·
1≤p≤j≤i
Shji
Shj · kp =
s(j, p) · i · k p .
j!
j!
p=1 j=p
i
i
s(j, p) ·
Shji
·
j!
Définissons alors pour p ∈ [1, n] :
epi
(11)
=
i
j=p
On a Ψki =
TOME
i
p=1
k p · epi .
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THÉORÈME 1. — Les éléments (epi )1≤p≤i de Q[Si ] définissent une famille
d’idempotents deux à deux orthogonaux de Q[Si ] de somme 1.
En effet, d’une part Ψ1 = 1 et donc 1 = ip=1 epi .
m·
D’autre part, Ψm
implique :
i · Ψi = Ψi
p
epi · mp ·
epi · p =
ei · (m · )p .
1≤p ≤i
1≤p≤i
Et donc
1≤p≤i
epi · epi = δpp · epi .
COROLLAIRE 2. — Tout groupe M muni d’une structure de Q[Si ]-module
se décompose sous l’action des idempotents orthogonaux (epi )1≤p≤i et Ψki
opère sur epi · M comme k p .
REMARQUE 5. — Nous avons vu que ∆i est muni d’une structure
de Q[Si ]-module. Nous allons donner, dans le cas i = 2, une représentation
de la décomposition de ∆2 induite par les idempotents orthogonaux.
Si l’on note σ l’élément de S2 différent de 1, le Q[S2 ]-module ∆2
est engendré par deux triangles, que nous noterons [P12 ] et [Pσ2 ]. Le Qmodule ∆2 est donc également engendré par les éléments [P12 ] + [Pσ2 ] et
[P12 ] − [Pσ2 ], et l’on peut écrire :
∆2 = Q([P12 ] − [Pσ2 ]) ⊕ Q([P12 ] + [Pσ2 ]).
Nous allons montrer que cette décomposition coı̈ncide avec la décomposition de ∆2 comme Q[S2 ]-module sous l’action des idempotents orthogonaux.
Donnons tout d’abord une représentation géométrique du groupe ∆2 :
[P12 ] =
[Pσ2 ] =
=−
Alors, on peut écrire :
Ψ22
· [P12 ] − [Pσ2 ] = Ψ22 ·
=4·
.




=







= 22 [P12 ] − [Pσ2 ] ;
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
186
F. PATRAS
et, de la même manière :
Ψ22
· [P12 ] + [Pσ2 ] = Ψ22 ·
−
−
=
=2·
= 22 [P12 ] + [Pσ2 ] ,
−2·
d’où la décomposition annoncée.
COROLLAIRE 3. — La signature de l’élément epi de Q[Si ] est égale à δip .
En effet, considérons le groupe ∆i . Ce groupe est muni d’une structure
de Q[Si ]-module. L’application Vol, qui associe à un polytope orienté son
volume orienté, permet de définir un morphisme de groupes que nous
noterons encore Vol de ∆i dans Q, avec la convention Vol([P1i ]) = 1.
Alors, si σ ∈ Si , on a :
Vol σ · [P1i ] = Vol [Pσi ] = sgn(σ) · Vol [Qiσ ] = sgn(σ).
Par conséquent, pour tout k, on a :
Vol Ψki · [P1i ] = k i
et, d’autre part :
Vol Ψki · [P1i ] = Vol
k p · epi · [P1i ] =
sgn(epi ) · k p ,
p≤i
p≤i
d’où le corollaire.
Nous noterons désormais ep l’opérateur
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◦
2
p
i∈N ei
sur ƥ .
CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES IDEMPOTENTS EULÉRIENS
187
III. Filtration de l’anneau des simplexes
Les Q-modules ∆• et S• se décomposent sous l’action des idempotents
orthogonaux. Nous poserons
ej · ∆• ,
∆p• =
j≥p
e j · S•
S•p =
et
S
p =
j≥p
ej
· Q[S
].
≥j≥p
Ce paragraphe cherche à donner une construction simple de la filtration :
· · · ⊂ S•p+1 ⊂ S•p ⊂ · · · ⊂ S• .
REMARQUE 6. — Dans la mesure où les opérateurs ej stabilisent la
décomposition S• = ∈N Q[S
], cette construction permet de construire
également la filtration :
· · · ⊂ S
p+1 ⊂ S
p ⊂ · · · ⊂ S
.
Soit alors M un Q[S
]-module ; l’action des idempotents orthogonaux
de Q[S
] induit une filtration de M -associée à la décomposition de M
donnée au COROLLAIRE 2. Cette filtration est définie par :
S
· M ⊂ S
−1 · M ⊂ · · · ⊂ S12 · M ⊂ S
· M = M.
La construction que nous allons donner permet donc d’obtenir des informations sur la filtration associée aux Q[S
]-modules.
Définissons l’idéal J de (S• , +, ×) par J =
∈N∗ Q[S
] et posons
sur J comme la
Φ
Jp = J ∩ S•p . Définissons le groupe d’opérateurs
restriction à J du groupe d’opérateurs i≥1 φi (Si ) sur i≥1 Q[Si ], avec
les notations de II.1 PROPOSITION 5, où l’on a identifié les groupes Q[Sk ]
et ∆k à l’aide des isomorphismes Ik de I.2.
p ), où J p désigne la
THÉORÈME 2. — Pour tout p ∈ N∗ , on a Jp = Φ(J
puissance p-ième de l’idéal J.
Démonstration. — Il suffit en fait de prouver que, pour tout i, Sip est égal
p ), que nous noterons Jp . Considérons
à la composante de degré i de Φ(J
i
tout d’abord l’inclusion Sip ⊂ Jip . Nous identifierons systématiquement
dans la suite de cette démonstration les groupes ∆i et Q[Si ], ainsi que tous
les sous-groupes et sous-anneaux de ∆• et S• deux à deux isomorphes.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
188
F. PATRAS
Par définition, ∆pi =
donc :
j
j≥p ei
· ∆i . D’après la définition (11) des eji , on a
∆pi ⊂
Shji ·∆i .
j≥p
Or, si σ ∈ Si , on a :
Shji · [Pσi ] = Shji ◦φi (σ −1 ) [P1i ] = φi (σ −1 ) ◦ Shji [P1i ] ,
puisque φi (σ −1 ) commute à Ψm
i pour tout m, et que, comme on a :
Ψm
i =
m
j≤i
j
· Shji ,
Shji peut s’écrire comme combinaison linéaire d’opérateurs Ψm
i .
et, d’après la définition (9) de Shj , Shj
Par ailleurs φi (σ −1 ) ∈ Φ
i
i
appartient à J j : on a donc finalement l’inclusion S p ⊂ Jp .
i
i
Réciproquement, soit ([Pj ])
j≤k une famille d’éléments de ∆• telle que
[Pj ] ∈ ∆d(j) , avec d(j) ≥ 1 et j≤k d(j) = i. Alors, on a :
p p
Ψ
d(j) [Pj ] =
· ed(j) · [Pj ] ;
d(j)
p=1
et par conséquent, pour tout σ ∈ Si :
Ψ
i φi (σ) · ([P1 ] × · · · × [Pk ]) = φi (σ) · Ψ
i [P1 ] × · · · × [Pk ]
= φi (σ) Ψ
d(1) ([P1 ]) × · · · × Ψ
d(k) ([Pk ])
est un polynôme en à coefficients dans ∆• divisible par k . Le théorème
est alors conséquence du COROLLAIRE 2.
IV. Catégorie CS et applications
D’après [4], le cadre idéal d’étude de la filtration de l’homologie
de Hochschild associée aux idempotents orthogonaux est fourni par la
catégorie des ensembles finis. Ayant été amené dans [5] à envisager les
opérations combinatoires associées à ces filtrations comme des opérations
géométriques, il est apparu qu’il était possible de donner une construction
de cette filtration, ainsi que de la filtration de certains groupes de
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2
CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES IDEMPOTENTS EULÉRIENS
189
polytopes, par l’intermédiaire d’arguments fonctoriels liés à une catégorie
dont les objets sont simpliciaux et les flèches des opérations géométriques.
Nous en donnons ici la construction.
IV.1. Catégorie CS.
Rappelons que, par définition, la catégorie Fin a pour objets les
ensembles [0, n] et pour flèches les applications ensemblistes qui respectent
le point base 0 (i.e. f (0) = 0).
On s’intéresse à la sous-catégorie Fin de Fin dont les objets sont
les ensembles [0, n] et les flèches les applications surjectives respectant le
point-base. Nous allons tout d’abord donner une réalisation géométrique
de la catégorie Fin .
Nous poserons R(∞) = lim Rm et Z(∞) = lim Zm . Nous définirons le
−→
−→
groupe CSkm comme le Q-module sur l’ensemble des k-simplexes ordonnés
non-k-dégénérés de Rm (cf. I.1.a) à sommets dans Zm , soit encore comme
le Q-module sur l’ensemble des (k + 1)-uplets : (a/x1 /x2 / · · · /xk ), où
a ∈ Zm et où (xi )i∈[1,k] est une famille libre de vecteurs de Rm à
coordonnées entières.
Nous poserons enfin CSk = lim H0 (T E m , CSkm ), où T E m désigne
−→
le groupe des translations à coefficients entiers de Rm . Nous noterons
[(x1 / · · · /xk )] la classe dans CSk du k-simplexe ordonné (a/x1 / · · · /xk ).
En d’autres termes, CSk n’est autre que le Q-module sur l’ensemble
des k-simplexes ordonnés non-k-dégénérés de R(∞) à sommets dans Z(∞) ,
modulo l’action des translations à coefficients entiers.
Le groupe Sk opère alors sur CSk par permutations des vecteurs-arêtes :
σ · (x1 / · · · /xk ) = xσ−1 (1) / · · · /xσ−1 (k) .
Considérons maintenant les applications dki qui, à un k-simplexe ordonné (a/x1 / · · · /xk ) associent sa i-ème face :
dki a/x1 / · · · /xk = a/x1 / · · · /xi + xi+1 / · · · /xk ;
dk0 a/x1 / · · · /xk = a + x1 /x2 / · · · /xk ;
avec
dkk a/x1 / · · · /xk = ak /x1 / · · · /xk−1 .
et
Ces applications définissent par passage au quotient une famille de
morphismes que nous appellerons encore applications face :
dki : CSk −→ CSk−1 .
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
190
F. PATRAS
Par définition, la catégorie CS sera la catégorie dont les objets sont
les CSk et les flèches, les applications obtenues par composition de
permutations et d’applications face.
PROPOSITION 6. — Les catégories Fin et CS sont isomorphes.
Soit f une flèche de Fin , f est une application surjective de [0, m] dans
[0, n]. On définira T (f ) comme l’application de CSm dans CSn telle que :
T (f ) (x1 / · · · /xm ) = (y1 / · · · /yn ) ,
avec yi = f (j)=i xj .
De la même manière, soit g une flèche de CS de source CSm et de
but CSn . On peut décrire de manière univoque g par son action sur les
simplexes sous la forme :
xi /
xi / · · · /
xi ,
g (x1 / · · · /xm ) =
i∈P1
i∈P2
i∈Pn
où (P1 , . . . , Pn ) est une famille de sous-ensembles disjoints non vides
de [1, m].
On définira T (g) comme l’application de [0, m] dans [0, n] telle que :

 j si i appartient à Pj ,
T (g)(i) =
si i appartient au complémen
0 taire de P dans [1, m].
j∈[1,n]
j
Les transformations T et T ainsi définies sont bien fonctorielles et
T T = 1, T T = 1. L’étude de l’algèbre sur Z des flèches de Fin se ramène
donc à celle de l’algèbre sur Z des flèches de CS, que nous noterons A(CS).
k
i k
Dans A(CS), si k ∈ N∗ , nous poserons dk =
i=0 (−1) di . Comme
k
précédemment, Ψn désigne l’élément de Z[Sn ] défini au II.1.
PROPOSITION 7. — Dans A(CS), pour tout k ∈ N∗ et tout m ∈ N∗ ,
on a :
k
k
m
Ψm
k−1 · d = d · Ψk .
(12)
Avant d’en venir à la preuve de cette proposition, remarquons que si
F = (f1 , . . . , fk ) est une famille libre de rang k de vecteurs de Z(∞) , le
Q-module ∆F sur les classes {PβF } dans CSk des simplexes
(0/fβ −1 (1) / · · · /fβ −1 (k) ),
où β parcourt Sk , est un sous-Q-module de CSk . L’opération de Sk sur ∆F
définie sur les simplexes {PβF } (que nous appellerons fondamentaux) par
F
}
σ · {PβF } = {Pσ·β
est induite par les opérations de Sk sur CSk .
Nous allons commencer par établir les lemmes suivants.
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LEMME 1. — Si σ = β et si {PσF } et {PβF } ont une face commune
(i.e. s’il existe i et j tels que dki ({PσF }) = dkj ({PβF })), alors il existe une
transposition τ = (i, i + 1) ou un k-cycle τ = (1, 2, . . . , k) dans Sk tel que
σ = τ · β ou β = τ · σ.
En effet, cette face s’écrit :
• Soit sous la forme
fγ −1 (1) / · · · /fγ −1 (i) + fγ −1 (i+1) / · · · /fγ −1(k) ,
auquel cas σ −1 (i) = β −1 (i + 1), β −1 (i) = σ −1 (i + 1) ; et σ −1 (k) = β −1 (k)
si k = i et k = i + 1. Par conséquent σ −1 ◦ τ = β −1 et β = τ ◦ σ, où
τ = (i, i + 1).
• Soit sous une des formes :
fγ −1 (2) / · · · /fγ −1 (k)
ou (fγ −1 (1) / · · · /fγ −1 (k−1) ) ,
auquel cas σ −1 (i) = β −1 (i + 1) ou σ −1 (i + 1) = β −1 (i), et donc, si on note
τ = (1, 2, . . . , k), β = τ · σ ou σ = τ · β.
LEMME 2. — Si σ = τ · β où τ = (i, i + 1) (resp. τ = (1, 2, . . . , k)), alors
dki {PσF } − {PβF } = 0 resp. dk0 {PσF } − dkk {PβF } = 0 .
Le lemme est immédiat, par définition des opérateurs dki .
Notons maintenant Vect(F ) le R-espace vectoriel de dimension k engendré par les vecteurs f1 , . . . , fk , et remarquons que le Q-module ∆F
F de P(Vect(F ), T E) engendré par
est isomorphe au sous-Q-module ∆
F
les classes des simplexes (0/fβ −1 (1) / · · · /fβ −1 (k) ). Tout polytope de ∆
définit donc de manière univoque un élément de ∆F .
F . Si R est un k-simplexe ordonné de Z(∞) dont les vecteursFixons ∆
arêtes sont dans Vect(F ), R peut être considéré comme un simplexe
de P(Vect(F ), T E). Si, en outre, sa classe dans P(Vect(F ), T E) appar F , nous dirons par abus que “la classe de R appartient à ∆
F ”.
tient à ∆
Par ailleurs, nous noterons Ri la i-ième face ordonnée de R.
F , il existe un
F , par définition de ∆
Si la classe de R appartient à ∆
F
k-simplexe ordonné Pσ et un entier j tels que Ri et la j-ième face de PσF
soient portés par deux hyperplans parallèles. Par ailleurs, dkj (PσF ) est un
(k −1)-simplexe ordonné dont la suite ordonnée des vecteurs-arêtes définit
une famille de (k − 1) vecteurs F . La classe de Ri dans P(Vect(F ), T E)
F : nous appellerons “classe dans CSk−1 de Ri
appartient alors à ∆
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
192
F. PATRAS
associée à ∆F ”, et nous noterons {Ri }F l’élément de ∆F ⊂ CSk−1 défini
F , via l’isomorphisme canonique entre ∆F par la classe de Ri dans ∆
et ∆F .
Si P est un simplexe ordonné (p1 / · · · /pk ) de CSk dont la classe
F
F , nous dirons que P est orienté positivement dans ∆
appartient à ∆
si, en notant (f1 , . . . , fk ) la base ordonnée associée à ∆F , on a
p1 ∧ · · · ∧ pk = m · f 1 ∧ · · · ∧ f k ,
avec m ≥ 0. Nous écrirons alors O(P ) = 1. Si m < 0, P est orienté
négativement et nous écrirons O(P ) = −1.
LEMME 3. — Soit R un k-simplexe ordonné de R(∞) , tel que la classe de
F
F . Il se décompose sous la forme [R] =
R appartienne à ∆
σ∈Sk jσ · [Pσ ]
F.
dans la base canonique associée aux simplexes fondamentaux de ∆
Alors, si jσ = 0, le signe de jσ est donné par O(R) · sgn(σ) et l’égalité
suivante est vraie dans CSk−1 :
(13)
k
(−1)i · {Ri }F =
i=0
jσ ·
k
(−1)i · dki {PσF } ·
i=0
σ∈Sk
La condition sur le signe de jσ est immédiate d’après I.1.b.
F , R se décompose dans le
Comme la classe de R appartient à ∆
groupe P(Vect(F )) sous la forme :
(14)
O(R) · [R] =
σ∈Sk
[x + QF
]
,
σ
x∈Sσ
où Sσ est un ensemble de points de R(∞) à coordonnées entières et où
[x + QF
σ ] désigne la classe dans P(Vect(F )) du k-simplexe sous-jacent à
(x/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (k) ) (cf. figure ci-après dans le cas de la dimension 2).
On a alors, en réécrivant (14) dans P(Vect(F ), T E) :
(15)
O(R) · [R] =
sgn(σ) · |Sσ | · [PσF ].
σ∈Sk
Pour l’essentiel, (14) signifie que le simplexe sous-jacent à R se décompose géométriquement en simplexes qui se déduisent par translation des
simplexes sous-jacents aux simplexes (0/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (k) ).
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La démonstration procède alors de la remarque suivante : puisque R se
décompose géométriquement en simplexes, les faces de ces simplexes sont
les unes intérieures à R, les autres sur le bord de R — nous appellerons
ces faces les faces R-extérieures. Chaque face intérieure appartient simultanément à deux simplexes du membre droit de (14), tandis que l’union
des faces R-extérieures n’est autre que le bord de R, comme le montre la
figure ci-dessous en dimension 2.
R
e22
0
e21
Les notations de cette figure sont celles de la remarque 5.
Les faces intérieures sont dessinées en pointillés ; elles appartiennent
toutes simultanément aux bords de deux simplexes fondamentaux distincts. Les faces extérieures (en gras) délimitent le bord de R. L’égalité (14)
s’écrit :
[R] = [Q21 ] + [e21 + Q21 ] + e21 + e22 + Q21 + [e21 + Q2σ ].
Revenons-en à la démonstration du lemme ; il s’agit de prouver que
les faces intérieures s’annulent algébriquement deux à deux dans (13),
tandis que les faces R-extérieures décomposent algébriquement les {Ri }F
dans CSk−1 .
Soit alors [x+QF
σ ] la classe dans P(Vect(F )) d’un simplexe intervenant
dans la décomposition de R.
Supposons tout d’abord i ∈ [1, k − 1] :
F
• Si la i-ème face de [x + Qσ ] est intérieure à R, il existe un simplexe
F
[y + Qβ ] intervenant dans la décomposition (14) de R dont la j-ième face
coı̈ncide avec la i-ième face de [x + QF
σ ]. D’après les LEMMES 1 et 2, on a :
i = j et dki {PσF } − {PβF } = 0.
Comme dans (15), les simplexes PσF et PβF sont affectés de signes opposés,
les deux faces affectées des signes correspondants s’annulent dans le terme
droit de (13).
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
194
F. PATRAS
F
• Si la i-ème face de [x + Qσ ] est R-extérieure, elle appartient à une
face Rj de R. Comme cette face est de manière ensembliste la réunion des
faces R-extérieures qu’elle contient, il suffit pour prouver (13) de vérifier
que, dans (13), le terme dki ({PσF }) provenant de [x + QF
σ ] apparaı̂t affecté
du bon signe ; c’est-à-dire que Rj a pour orientation (−1)i+j ·sgn(σ)·O(R)
fois l’orientation de (0/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (i) + fσ−1 (i+1) / · · · /fσ−1 (k) ) dans
le sous-espace affine de dimension (k − 1) correspondant de R(∞) . Cela
résulte de ce que R a pour orientation O(R) · sgn(σ) fois l’orientation
de (0/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (k) ).
Si maintenant i = k (resp. i = 0), la vérification est identique, à cela
près qu’il faut distinguer les cas où k est pair et sgn(1, 2, . . . , k) = −1, et
les cas où k est impair et sgn(1, 2, . . . , k) = 1.
D’où la preuve du LEMME 3.
D’où enfin la preuve de la PROPOSITION 7 : les morphismes de la catégorie CS sont caractérisés par leur action sur les simplexes fondamentaux
k
des groupes ∆F ; pour établir (12), il suffit donc de prouver que Ψm
k−1 ◦ d
et dk ◦ Ψm
k , considérés comme morphismes de CSk dans CSk−1 , ont même
action sur ces simplexes fondamentaux.
Soit donc (0/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (k) ) un k-simplexe ordonné, dont la
classe dans ∆F est un simplexe fondamental. Le simplexe ordonné
(0/m · fσ−1 (1) / · · · /m · fσ−1 (k) ), obtenu par homothétie de rapport m à
partir du simplexe (0/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (k) ) satisfait aux hypothèses du
F est égale à Ψm ([P F ]).
LEMME 3 et sa classe dans ∆
σ
k
D’après le LEMME 3, dk ◦ Ψkm ({PσF }) est égal dans CSk−1 à la
somme alternée des classes associées à ∆F des faces ordonnées de
(0/m · fσ−1 (1) / · · · /m · fσ−1 (k) ). Les (k − 1)-simplexes ordonnés qui définissent ces faces s’écrivent :
(0/m · fσ−1 (1) / · · · /m · (fσ−1 (i) + fσ−1 (i+1) )/ · · · /m · fσ−1 (k) ).
Ce sont les images par homothétie de rapport m des faces ordonnées
de (0/fσ−1 (1) / · · · /fσ−1 (k) ). La classe associée à ∆F dans CSk−1 de leur
k
F
somme alternée est donc égale à Ψm
k−1 ◦ d ({Pσ }), ce qui termine la
démonstration.
IV.2. Décomposition du groupe des polytopes d’un espace
euclidien.
Fixons n ∈ N. Nous définirons C m (Rn ) comme le Q-espace vectoriel
engendré par les éléments (x1 / · · · /xm ), où xi ∈ Rn .
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REMARQUE 7. — Géométriquement, (x1 / · · · /xm ) représente, à translation près, le m-simplexe ordonné d’arêtes successives x1 , . . . , xm .
m
Nous définirons de même C(n−1)
(Rn ) comme le sous-groupe de C m (Rn )
engendré par les éléments (x1 / · · · /xm ) tels que les vecteurs x1 , . . . , xm
engendrent un sous-R-espace vectoriel de Rn de dimension au plus (n−1).
Si G est un groupe de déplacements de Rn contenant le groupe T
des translations ; G s’écrit comme le produit semi-direct de T et d’un
de transformations vectorielles de Rn . En notant g̃ l’élément
groupe G
de G associé à l’élément g de G dans la décomposition en produit semidirect, G opère sur C m (R) par :
(16)
g x1 / · · · /xm = g̃(x1 )/ · · · /g̃(xm ) .
On peut alors définir un foncteur F (resp. F(n−1) ) de CS vers les Qespaces vectoriels, qui associe :
m
n
m
n
• à CSm le groupe C (R ) (resp. C(n−1) (R )) ;
• à une flèche de CSm dans CSn dont l’action sur les simplexes de
CSm est donnée par :
xi / · · · /
xi
g (x1 / · · · /xm ) =
i∈P1
i∈Pn
(avec les notations de la PROPOSITION 6), l’application correspondante sur
les simplexes de C m (Rn ).
Le fait que l’on définisse de la sorte un foncteur est immédiat, compte
tenu de la définition de la catégorie CS.
k
On sait (cf. [2]) que les opérations dk = i=0 (−1)i dki permettent de
∗
:
définir des complexes de chaı̂nes C ∗ et C(n−1)
d
d
−→ C m (Rn ) −→ C m−1 (Rn ) −→ · · · −→ Q −→ 0,
d
d
m−1
m
−→ C(n−1)
(Rn ) −→ C(n−1)
(Rn ) −→ · · · −→ Q −→ 0
et que, si T ⊂ G :
∗
) .
P(Rn , G) ∼
= H0 G, Hn (C ∗ /C(n−1)
D’après IV.1 PROPOSITON 7, les opérateurs Ψkm de Q[Sm ], définis à
l’aide du foncteur F sur C m (Rn ), commutent aux opérateurs bord de ces
complexes :
Ψkm−1 ◦ dm = dm ◦ Ψkm .
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
196
F. PATRAS
∗
Les opérateurs Ψkn agissent donc sur Hn (C ∗ /C(n−1)
). D’après (16), T
∗
∗
opère trivialement sur Hn (C /C(n−1) ). Les opérateurs Ψkn sont donc bien
définis sur P(Rn , T ). D’après leur définition au II, ils opèrent comme les
homothéties sur ce groupe de polytopes.
On sait par ailleurs que l’action des homothéties commute à l’action
de tout groupe de déplacements G. L’action des opérateurs Ψkn est
donc bien définie sur P(Rn , G). Enfin, compte tenu des relations Ψkn =
p
p
1≤p≤n k · en qui existent entre dilatations et idempotents, les idempotents orthogonaux ekn agissent sur P(Rn , G) . Le groupe P(Rn , G) se
décompose donc sous l’action des opérateurs Ψkn (c’est-à-dire des homothéties de rapport k, cf. [3]).
PROPOSITION 8. — Le groupe des polytopes d’un espace euclidien
de dimension n se décompose sous l’action des homothéties (i.e. des
opérateurs Ψkn de Q[Sn ]) :
P(Rn , G) ∼
=
(17)
n
P i (Rn , G),
i=1
où P i (Rn , G) = ein · P(Rn , G).
L’homothétie de rapport k opère comme ik sur P i (Rn , G).
IV.3. Décomposition de l’homologie de Hochschild d’une algèbre commutative sur un corps de caractéristique nulle.
m
REMARQUE 8. — Comme les opérateurs Ψm
k et Shk appartiennent
à Z[Sk ], ils permettent de définir une filtration du complexe de Hochschild
pour une algèbre commutative sur un anneau commutatif quelconque.
Nous renvoyons pour ce calcul à [4].
Soit A une algèbre commutative sur un corps K de caractéristique nulle
et M un A-bimodule symétrique. Le complexe de Hochschild associé à M
a pour n-ième composante le K-espace vectoriel M ⊗A⊗n et pour bord :
d : M ⊗ A⊗n −→ M ⊗ A⊗(n−1)
m ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an → m · a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ an
n−1
+
(−1)i m ⊗ · · · ⊗ ai · ai+1 ⊗ · · · ⊗ an
i=1
+ (−1)n an · m ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 .
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CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES IDEMPOTENTS EULÉRIENS
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L’homologie de Hochschild de A à coefficients dans M est donnée par les
groupes d’homologie de ce complexe.
On peut, comme dans le cas des polytopes, définir un foncteur F de CS
vers les K-espaces vectoriels en associant :
⊗k
• à CSk , le K-espace vectoriel M ⊗ A
;
• à une flèche Ψ de CS
dans CSk définie par :
Ψ [(f1 / · · · /f
)] =
fi / · · · /
fi ,
i∈P1
i∈Pk
de
avec les notations de la PROPOSITION 6, la flèche correspondante Ψ
M ⊗ A
dans M ⊗ Ak donnée par :
$
$
$
m ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ a
=
(18)
Ψ
ai · m ⊗
ai ⊗ · · · ⊗
ai ,
i∈P c
i∈P1
i∈Pk
k
où l’on note P c le complémentaire de i=1 Pi dans [1, ].
Compte tenu de l’existence de F , les opérations Ψm
k définies sur le
terme M ⊗ A⊗k du complexe de Hochschild, commutent aux bords de ce
complexe. Elles peuvent donc être définies sur ses groupes d’homologie,
et l’action des idempotents orthogonaux définit une décomposition de
l’homologie de Hochschild de toute algèbre commutative sur un corps
de caractéristique nulle [4].
PROPOSITION 9. — L’homologie de Hochschild de A à coefficients
dans M se décompose sous l’action des opérations Ψkn :
Hn (A, M ) ∼
=
n
Hni (A, M )
i=1
où Hni (A, M ) = ein · Hn (A, M ).
L’élément Ψkn de Z[Sn ] opère comme k i sur Hni (A, M ).
BIBLIOGRAPHIE
[1] COMTET (L.). — Analyse combinatoire. — P.U.F., .
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
198
F. PATRAS
[2] DUPONT (J.-L.). — Algebra of polytopes and homology of flag
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[3] HADWIGER (H.). — Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Springer Verlag, Grund. der Math. Wiss. Band XCIII,
1957.
[4] LODAY (J.-L.). — Opérations sur l’homologie cyclique des algèbres
commutatives, Invent. Math., t. 96, , p. 205–230.
[5] PATRAS (F.). — Filtration du groupe des polytopes et λ-structure
du groupe symétrique., C. R. Acad. Sci. Paris, t. 310, 1, 7, ,
p. 501–504.
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