Probabilités - Lycée Louis Bascan

SAVOIR-FAIRE ÉLÉMENTAIRES EN MATHEMATIQUES
pour aborder la classe de première Lycée Bascan : toutes séries
Thème 8 : Probabilités
Exercice 1 (résolu)
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On considère les événements suivants :
A : « tirer un trèfle » et B : « tirer un roi »
1) Déterminer les probabilités des événements A et B.
2) Définir par une phrase l’évènement ̅ puis calculer sa probabilité.
3) a) Définir par une phrase les évènements A ∩ B et A ∪ B.
b) Déterminer p(A ∩ B).
c) En déduire p(A ∪ B).
Correction Exercice 1
1) Chaque carte a la même probabilité d’être tirée : il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.
Donc p(A) =
=
p(B) =
=
=
=
2) ̅ : « tirer une carte qui n’est pas un trèfle ».
p(̅ )= 1− p(A) = 1 −
=
3) a) A ∩ B : « tirer le roi de trèfle ».
A ∪ B : « tirer un roi ou un trèfle ».
b) p(A ∩ B)=
.
c) p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) =
+
−
=
Exercice 2
Une urne contient 100 boules indiscernables au toucher :
 25 boules rouges numérotées 1;
 15 boules rouges numérotées 2 ;
 20 boules vertes numérotées 2 ;
 20 boules bleues numérotées 1 ;
 10 boules jaunes numérotées 1 ;
 10 boules jaunes numérotées 2.
On tire au hasard une boule de l’urne et on considère les évènements :
A : « la boule tirée est rouge » et B : « la boule tirée porte un numéro 2 ».
1) Déterminer p(A) et p(B).
2) Définir par une phrase l’évènement A∩B puis calculer sa probabilité.
3) Déduire des questions précédentes p( ̅ et p(A∪B).
-1-
=
Thème 8 : Probabilités
Exercice 3(résolu)
On dispose d’un dé cubique pipé. La loi de probabilité correspondant au lancer de ce dé est donnée par
le tableau ci-dessous, où p est un réel de l’intervalle [0 ; 1] :
Numéro
probabilité
1
p
2
p
3
2p
4
3p
5
p
6
4p
1) Déterminer p.
2) Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat impair en lançant ce dé.
Correction Exercice 3
1) La somme des probabilités de toutes les issues de l’univers est égale à 1 :
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) =1
p est alors solution de l'équation :
p + p + 2p + 3p + p +4p = 1
⇔ 12p = 1
⇔ p=
2) La probabilité d’obtenir un résultat impair est égale à :
P(1) + P(3) + P(5) =
+
+
=
=
Exercice 4
Une roue de loterie est formée de cinq secteurs. La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
Secteur
1
2
3
4
5
probabilité
0,2
0,25
0,1
1) Déterminer
et
en sachant que
est le double de .
2) On lance cette roue puis on attend l’arrêt.
a) Quelle est la probabilité que la flèche indique un multiple de 2 ?
b) Quelle est la probabilité que la flèche indique un secteur avec un numéro inférieur ou égal à 3 ?
Exercice 5 (résolu)
On lance deux fois de suite un dé équilibré et on note à chaque lancer si on obtient un six ou non.
1) Construire un arbre pondéré correspondant à cette situation.
2) Déterminer les probabilités des évènements suivants :
A : « obtenir 2 six »
B : « obtenir 1 six puis 1 autre numéro »
C : « obtenir un seul six »
-2-
Thème 8 : Probabilités
Correction Exercice 5
1) Soit S l’évènement « obtenir un six » et ̅ est l’évènement « obtenir un autre numéro »
S
1
S
1
̅
1
S
̅
̅
2) p(A) = p(S,S) =
P(B) = p(S, ̅ ) =
×
×
=
=
P(C) = p(S, ̅ ) + p( ̅ , S) =
+
×
=
Exercice 6
Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : deux bleues « B » et trois rouges « R ». On
dispose également de deux sacs contenant des jetons : l’un est bleu et contient un jeton bleu « b » et
trois jetons rouges « r », l’autre est rouge et contient deux jetons bleus « b » et deux jetons rouge « r ».
On extrait une boule de l’urne, puis on tire un jeton dans le sac qui est de la même couleur que la
boule tirée.
1) Représenter cette expérience à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Déterminer la probabilité de l’événement A : « la boule et le jeton extraits sont de la même
couleur »
Exercice 7
Dans une urne, il y a cinq boules rouges (R), deux boules bleues (B) et une boule verte (V),
indiscernables au toucher.
On tire successivement et sans remise deux boules.
On veut déterminer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.
1) Représenter cette expérience l’aide d’un arbre pondéré.
2) En déduire la probabilité d’avoir : le couple (R, R), le couple (B, B) , le couple (V, V).
3) En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
-3-
Thème 8 : Probabilités
Exercice 8 (résolu)
Une usine d'horlogerie fabrique une série de montres. Certaines montres peuvent présenter un
défaut x ou un défaut y.
Des études statistiques menées sur 10 000 montres ont donné les renseignements suivants :
· 10 % des montres présentent le défaut x ;
· parmi les montres présentant le défaut x, 12 % présentent le défaut y ;
· parmi les montres ne présentant pas le défaut x, 5 % présentent le défaut y ;
1) Compléter le tableau ci-dessous :
Nombre de montres
Avec le défaut y
Sans le défaut y
total
Avec le défaut x
Sans le défaut x
total
10 000
2) On choisit au hasard une des 10 000 montres, chacune de ces montres ayant la même
probabilité d'être choisie. Déterminer la probabilité des évènements suivants :
A : "la montre présente le défaut x"
B : "la montre présente le défaut y"
C : "la montre présente les deux défauts"
3) On choisit au hasard une montre présentant le défaut x. Calculer la probabilité qu’elle présente aussi
le défaut y.
Correction Exercice 8
1) Nombre de montres avec le défaut x : 10 000×
= 1000
Nombre de montres sans le défaut x : 10 000 – 1 000 = 9 000
Parmi les montres avec le défaut x, nombre de montres avec le défaut y : 1 000×
= 120
Parmi les montres sans le défaut x, nombre de montres avec le défaut y : 9 000×
= 450
Nombre total de montres avec le défaut y : 120 + 450 = 570
Nombre total de montres sans le défaut y : 10 000 – 570 = 9 430
Nombre de montres avec le défaut x et sans le défaut y : 1 000 −120 = 880
Nombre de montres sans le défaut x et sans le défaut y : 9 000 – 450 = 8550
Nombre de montres
Avec le défaut y
Sans le défaut y
total
2) p(A) =
= 0,1
Avec le défaut x
120
880
1 000
Sans le défaut x
450
8550
9 000
p(B) =
= 0,057
total
570
9 430
10 000
p(C) =
= 0,012
3) Il y a 1 000 montres présentant le défaut x, et parmi elles, 120 présentent aussi le défaut y.
La probabilité cherchée est donc égale à :
= 0,12
-4-
Thème 8 : Probabilités
Exercice 9
Dans un lycée de 1 280 élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, il y a une
épidémie de grippe et 10 % des élèves contractent la maladie. De plus 3 % des élèves vaccinés ont la
grippe.
1) Compléter le tableau ci-dessous :
Nombre d’élèves ayant
eu la grippe
Nombre d’élèves n’ayant
pas eu la grippe
Nombre d’élèves
vaccinés
Nombre d’élèves non
vaccinés
Total
Total
1 280
Pour les questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à 0,001 près.
2) On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être
choisis. On considère les événements suivants :
A : "l'élève a été vacciné" ;
B : "l'élève a eu la grippe" ;
C : "l'élève a été vacciné et a eu la grippe".
a) Calculer la probabilité des événements A, B et C.
b) On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l'événement : "l'élève a eu la
grippe".
Exercice « pour aller plus loin »
Dans un établissement scolaire de 2 000 élèves :
· 40 % des élèves sont des filles ;
· 15 % des filles sont internes ;
· 61 % des élèves, parmi lesquels 780 garçons, sont externes ;
· la moitié des demi-pensionnaires sont des filles.
1) Compléter le tableau ci-dessous :
internes
Demipensionnaires
externes
Filles
Garçons
total
total
2 000
2) On choisit au hasard un élève de cet établissement. On note :
F : "l'élève est une fille" ;
I : "l'élève est interne" ;
E : "l'élève est externe".
a) Calculer la probabilité des évènements F, I et E.
b) Définir par une phrase l’évènement ̅ ∩I et calculer sa probabilité.
c) On choisit au hasard une fille. Calculer la probabilité qu’elle soit demi-pensionnaire
-5-
Thème 8 : Probabilités
Réponses succinctes :
Exercice 2
1) p(A) =
= 0,4
p(B) =
= 0,45
2) A∩B : « la boule tirée est une boule rouge portant le numéro 2 »
p(A∩B) =
= 0,15
3) p(̅ ) = 1 – p(A) = 0,6
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) = 0,7
Exercice 4
1) 0,2 + 0,25 + 0,1 +
+
= 1 ⇔ 0,55 + + 2 = 1 ⇔ = 0,15.
=
2) a) La probabilité que la flèche indique un multiple de 2 est égale à :
p(2) + p(4) = 0,40
b) La probabilité que la flèche indique un secteur avec un numéro inférieur ou égal à 3 est égale à :
p(1) + p(2) + p(3) = 0,55
Exercice 6
1)
2
1
b
1
2
b
B
1
2
2) p(A) = p(B, b) + p(R, r) =
×
+
×
=
-6-
Thème 8 : Probabilités
Exercice 7
R
1)
2
R
1
R
2
1
1
1
R
2
2) p(R, R) =
p(B, B) =
×
×
=
=
p(V, V) = 0
3)
La probabilité de tirer deux boules de même couleur est égale à :
p(R, R) +p(B, B) + p(R, R) =
Exercice 9
1)
Nombre d’élèves
vaccinés
Nombre d’élèves non
vaccinés
Total
Nombre d’élèves ayant
eu la grippe
9
Nombre d’élèves n’ayant
pas eu la grippe
291
Total
119
861
980
128
1152
1 280
300
2)
B : "l'élève a eu la grippe" ;
C : "l'élève a été vacciné et a eu la grippe".
a) p(A) =
≈ 0,234
b) La probabilité cherchée est égale à :
= 0,1
p(B) =
= 0,03
-7-
p(C) =
≈ 0,007
Thème 8 : Probabilités
Exercice « pour aller plus loin »
1) Nombre de filles : 2000×
= 2000×0,4 = 800.
Nombre de filles internes : 800×
Nombre d’externes : 2000×
Nombre de garçons : 2000 – 800 = 1200
= 120
= 1220
Nombre de filles externes : 1220 – 780 = 440
Nombre de filles demi-pensionnaires : 800 – 440 – 120 = 240
Nombre de garçons demi-pensionnaires : 240
Nombre de demi-pensionnaires : 2×240 = 480
Nombre de garçons internes : 1200 −780 – 240 = 180
Nombre d’internes : 120 + 180 = 300
internes
Filles
Garçons
total
120
180
300
Demipensionnaires
240
240
480
2) a) p(F) =
= 0,4
p(I) =
= 0,15
b) ̅ ∩I : « l’élève choisi est un garçon interne »
p( ̅ ∩I ) =
externes
total
440
780
1220
800
1 200
2 000
p(E) =
= 0,61
= 0,09
c) Il y a 800 filles, et parmi elles, 240 demi-pensionnaires. La probabilité cherchée est égale à :
= 0,3
-8-