L3 Mathématiques Université Joseph Fourier Topologie A 2013

L3 Mathématiques
Topologie A
Université Joseph Fourier
2013-2014
Feuille d’exercices 4
Densité
Exercice 1 On considère l’espace métrique (R2 , d∞ ).
1) Soit A = [0, 1] × [0, 1]. Est-ce que Q2 ∩ A est dense dans A ?
2) Même question lorsque A = {(x, λx) | x ∈ [0, 1]}, où λ ∈ [0, 1] est un paramètre fixé.
Exercice 2 Soit a ∈ [0, 1].
1) Est-ce que l’ensemble des fonctions nulles en a est dense dans (C([0, 1], R), || · ||2 ) ?
2) Même question dans (C([0, 1], R), || · ||∞ ).
Exercice 3 Déterminer les valeurs d’adhérence des suites (un ) suivantes, dans E = (R2 , d∞ ):
a) un = (n, (−1)n ),
b) un = ((−1)n , (−1)n+1 ),
c) un = (1/n, cos(n)),
d) un = (cos(n), sin(n)).
Exercice 4 Soit (E1 , d1 ) et (E2 , d2 ) deux métriques, (E, d) leur espace métrique produit.
1) Soit (xn ) = (x1 n , x2 n ) une suite de E. Que peut-on dire des valeurs d’adhérence
de (x1 n ), (x2 n ) et de (xn ) ?
2) Soit A ⊂ E1 , B ⊂ E2 . Que peut-on dire des propriétés de densité de A, B et de
A×B ?
Exercice 5 Soit l’espace vectoriel des matrices à coefficients réels, muni de la norme
||(aij )|| = supij |aij |
1) Montrer que le sous-ensemble GLn (R) ⊂ Mn (R) des matrices inversibles forme
une partie dense de Mn (R). (on pourra considérer, pour tout A ∈ Mn (R), t 7→ A + tIn )
2) En déduire que pour tout A, B ∈ Mn (R), on a χ(AB) = χ(BA), où χ est le
polynôme caractéristique.
3) Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables sur C est dense dans Mn (R).
4) Que peut-on dire de l’ensemble On (R) des matrices orthogonales ? des projecteurs ?
Homéomorphismes, équivalence de distances
Exercice 6 (Projection stéréographique) Soit
S2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 2 + x2 2 + x3 2 = 1}
la sphère unité de (R3 , d2 ). On note n le point (0, 0, 1). On définit, pour tout x ∈ S2 \ {n},
f (x) ∈ P = {(x1 , x2 , 0) ∈ R3 } comme l’intersection de la droite (nx) et du plan P.
1) Montrer que f : S2 \ {n} → P est un homéomorphisme, les espaces étant munis
des distances induites par celle de (R3 , d2 ).
2) En déduire que S2 et R2 ne sont pas homéomorphes.
3) La construction précédente se généralise t’elle en dimension supérieure ?
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Exercice 7 Soit f : (Rn , || · ||∞ ) → (Rn , || · ||∞ ) une application bijective et continue. On
suppose que
lim ||f (x)|| = +∞,
||x||→∞
montrer que f est un homéomophisme.
Exercice 8 1) Les propriétés suivantes sont-elles transportées par un homéomorphisme
f : (X, dX ) → (Y, dY ) ?
a) (un ) est une suite convergente de (X, dX ).
b) (un ) est une suite bornée de (X, dX ).
c) (un ) est une suite de Cauchy de (X, dX ).
d) A ⊂ X est une partie dense de (X, dX )
2) Mêmes questions avec une application bi-lipschitzienne.
Exercice 9 Soit (X, d) un espace métrique, et f : X → X une bijection. On définit une
distance f ∗ d sur X (tiré en arrière de d par f ) en posant
f ∗ d(x, y) = d(f (x), f (y)).
a) Montrer que d et f ∗ d sont topologiquement équivalentes si et seulement si f
est un homéomorphisme.
b) Montrer que d et f ∗ d sont équivalentes si et seulement si f est bi-lipschitzienne.
Applications linéaires continues
Exercice 10 Soit E = C([a, b], R). Pour s ∈ [a, b] fixé, on définit δs : E 7→ R, par
δs (f ) = f (s). δs est une forme linéaire sur E, appelée mesure de Dirac au point s ou
fonctionnelle évaluation en s.
1) Etudier la continuité de δs , lorsque E est muni de || · ||∞ ou || · ||1 .
2) Même question pour s 7→ δs , lorsque E ∗ est muni de la norme triple associée.
Exercice 11 Soit E l’espace vectoriel des
P suites réelles u = (un ) bornées, et F le sous
espace vectoriel des suites u telles que
|un |P
converge. Pour u ∈ E, on pose ||u||∞ =
supn |un |, et pour u ∈ F , on pose ||u||1 =
|un |. On fixe a ∈ E, et on considère
l’application f : E → E qui envoie u sur au = (an un )n .
1) Montrer que f est une application linéaire continue, et calculer sa norme.
2) Montrer que f (F ) ⊂ F , et calculer la norme de la restriction f|F quand on prend
la norme || ||1 sur F .
Exercice 12 Soit E = C([0, 1]; R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans
R, muni de la norme de la convergence uniforme. Pour tout f , g ∈ E, on note f g la
fonction produit de f et g. On dit qu’une forme linéaire ϕ est multiplicative si ϕ(f g) =
ϕ(f )ϕ(g) pour tout f et g de E. Pour x0 ∈ [0, 1], on définit l’application δx0 : E → R par
δx0 (f ) = f (x0 ).
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1) Montrer que δx0 est une forme linéaire continue multiplicative.
2) Déterminer |||δx0 |||.
3) Soit ϕ une forme linéaire non identiquement nulle, continue et multiplicative.
Montrer que ϕ(1) = 1 (1 désigne la fonction constante égale à 1).
4) Montrer que si f ∈ E est telle que f −1 (0) = ∅, alors f ∈
/ Ker(ϕ) (considérer
l’inverse g de f défini par g(x) = 1/f (x)).
5) Montrer que si F = {f1 , . . . , fn } est une partie finie de Ker(ϕ), alors Z(F ) :=
∩f ∈F f −1 (0) est non vide (considérer g = f12 + . . . + fn2 ).
6) En déduire que Z(Ker(ϕ)) 6= ∅.
7) Montrer que E = Ker(ϕ) ⊕ R1. En déduire que ϕ = δx0 pour un élément
x0 ∈ Z(Ker(ϕ)).
Exercice 13 Soit E = C ∞ ([0, 1]; R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans
R, et D l’endomorphisme de dérivation.
1) Montrer qu’il n’existe aucune norme sur E pour laquelle D soit continu. (On
pourra considérer la fonction x 7→ eαx ).
2) Soit F le sous espace vectoriel des fonctions polynômiales. Trouver une norme sur
F pour laquelle D|F soit continu.
Exercice 14 Soit (E, || · ||) un espace vectoriel normé. Soit ψ une forme linéaire non nulle
continue sur E. On note H = Ker(ψ).
· ||y|| (On pourra utiliser
1) Montrer que pour tout x, y ∈ E \ H, on a d(x, H)| ≤ |ψ(x)|
|ψ(y)|
une décomposition en somme directe de E).
2) En déduire que pour tout x ∈ E, |ψ(x)| = |||ψ|||d(x, H).
3) On fixe a ∈ E tel que ψ(a) 6= 0. Montrer qu’il y a équivalence entre :
(i) il existe b ∈ H tel que d(a, b) = d(a, H);
(ii) il existe x 6= 0 tel que |ψ(x)| = |||ψ||| · ||x||.
4) Montrer que ces conditions sont vérifiées lorsque E est de dimension finie.
Exercice 15 Soit E = C([0, 1]; R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0, 1] dans
R, muni de la norme de la convergence uniforme.
On fixe g ∈ E, et on considère
R1
l’application ϕ : E → R définie par ϕ(h) = 0 g(x)h(x)dx.
1) Montrer que ϕ est une forme linéaire continue.
2) Déterminer la norme |||ϕ||| lorsque g est une fonction positive, puis lorsque g est
la fonction x 7→ x − 1/2.
3) (∗ ) Que vaut |||ϕ||| pour une fonction g ∈ E quelconque ?
4) On note en la fonction monôme en (x) = xn restreinte à [0, 1], et on suppose que
ϕ(en ) = 0 pour tout n ∈ N.
En utilisant le théorème de Stone-Weierstrass, montrer que Ker(ϕ) = E.
En déduire que g = 0.
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