Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition, égalité de

Seconde
Exercices sur les vecteurs
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Définition, égalité de vecteurs ---------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 1 : A vue d’œil, dire s’il existe une translation qui transforme la figure (1) en la figure (2) .
Exercice 2 :
1) Tracer deux parallélogrammes et tels que les points , et ne soient pas alignés.
.
2) Démontrer que = 3) En déduire que = .
Exercice 3 : Compléter le tableau suivant ( On pourra s’aider d’une figure ) :
Langage habituel
est l’image de …… par…………………………
……………………………………………………….
Langage vectoriel
= est l’image de par la translation de vecteur ……………………
est un parallélogramme
= ………
………………. est un parallélogramme
= est le milieu de ……………………
…… est le milieu de ………
= Exercice 4 :
1) Construire un parallélogramme et le point , symétrique du point par rapport au point .
2) Démontrer que est un parallélogramme .
Exercice 5 :
Soit un triangle tel que = 5 , = 6 et = 3 .
1)
.
a) Construire le point tel que = b) Déterminer l’image de par la translation de vecteur .
2) a) Construire le point symétrique de par rapport à .
.
b) Montrer que = c) En déduire que est l’image de par la translation de vecteur .
Sommes de vecteurs ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 6 :
On considère le triangle ABC ci – dessous.
1) a) Construire le point D tel que = .
.
b) Démontrer que = = 0
.
2) a) Construire le point E tel que .
b) Démontrer que = 3) En déduire l’image du point C par la translation de vecteur .
Exercice 7 :
On considère les quatre points , B , et suivants :
1) a) Construire le point E , image du point par la translation de vecteur .
.
b) Démontrer que = .
2) a) Construire le point F tel que = .
= b) Démontrer que 3) En déduire l’image du point E par la translation de vecteur .
Exercice 8 :
Sur la figure ci-contre,
construire les points D,E, F, définis par les égalités :
1) AD = AB + BC
2) AE = AB + AC
3) BF = BA + CA + CB
Exercice 9 :
ABCD est un parallélogramme,
M et N sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [BC].
Représenter chacun de ces vecteurs.
Que constate-t-on ?
1) AD + MB + NA
2) AB + MD + CM
3) CM + MA + MD + AN 4) CM + DN + AD
Exercice 10 :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1) Démontrer que OA + OB + OC + OD = 0
2) Démontrer que pour tout point M , MA + MB + MC + MD = 4 MO
Exercice 11 :
Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante et, dans chaque cas, illustrer par une figure.
1) AD = DB
A) ABCD est un parallélogramme
2) AB = CD
B) ABDC est un parallélogramme
3) DC = DA + DB
C) D est le milieu de [ AB ]
4) AD = BC
D) ADBC est un parallélogramme
Exercice 12 :
Partie 1 :
On considère un segment [AB] de milieu I.
a) Que peut-on dire du vecteur IA + IB ?
b) Démontrer alors que pour tout point M, on a MA + MB = 2 MI
Partie 2 : Application
On considère un triangle ABC et on considère A’, B’ et C’
les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]
a) Appliquer la formule établie à la partie 1) aux vecteurs AA ', BB ', CC '
b) En déduire que AA ' + BB ' + CC ' = 0
c) On note G le centre de gravité du triangle ABC.
Déduire de b) que GA + GB + GC = 0
Exercice 13 :
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
1) AB − AC − CB
2) BC − BA + BD − BC
4) AC + CB + BA + CB
5) BC − BA + BD − BC
3) AB − CA + BC − BA
6) DE − DF + EF − ED
Produit par un réel -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 14 :
Sur le quadrillage ci – dessous , construire les points , , et tels que :
= 2
= −3
= −4
= 2
Exercice 15 :
Sur le quadrillage ci - dessous, placer les points , , , , et tels que :
5 5 7 3 AE = AC
DF = − CA
AG = − AB
CH = BA
6
6
4
4
5 BI = BD
3
Exercice 16 :
Sur le quadrillage ci – dessous, construire les points , , et tels que :
− = 2
− 2
3
= 2
= −2
− 4
= 2
2 DJ = CD
5
Colinéarité ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 17 :
On considère un quadrilatère quelconque .
3)
Construire les points , , et milieux respectifs de , , et .
= Montrer que .
Exprimer en fonction de .
4)
En déduire la nature du quadrilatère .
1)
2)
Exercice 18 :
1) Construire un triangle tel que = 6 , = 5 et = 4 .
.
= et = 3
2) Construire les points et tels que !
3
.
3) Montrer que = −
4) Exprimer en fonction de et .
5) En déduire la position relative des droites () et () .
Exercice 19 :
1) Construire un parallélogramme et placer les points et milieux respectifs de et .
= 2) Montrer que .
3) Exprimer en fonction de et .
4) Que peut – on en déduire ?
Exercice 20 :
1 3 1) Construire un parallélogramme et placer les points et tels que : CE = CD et BF = BC
3
2
= ! 2) Montrer que 3) Exprimer en fonction de et .
4) En déduire l’alignement des points , et .
Exercice 21 :
1 1) Construire un parallélogramme et placer les points et tels que : BE = AB et AF = 3 AD
2
2) Montrer que = − en fonction de 3) Exprimer et .
4) En déduire l’alignement des points , et .
Exercice 22 :
3 1) Construire un triangle et placer les points , et tels que : CD = BC , AE = AC et BF = −2 BA
2
2) Montrer que = − en fonction de 3) Exprimer et .
4) Que peut – on en déduire ?
Exercice 23 :
Construire un triangle et placer les points , et tels que
1 3 BD = BA + BC , CE = BA et BF = − DA
3
2
1 1 1) Montrer que EF = AB + AD
3
2
2) Exprimer en fonction de et .
3) Que peut – on en déduire ?
Exercice 24 :
On considère un parallélogramme ABCD.
On place deux points E et F sur la droite (BD).
On construit alors les points G et H
tels que BAEG et BAFH soient aussi des parallélogrammes.
1) Montrer que CH = DF et CG = DE
2) En déduire que les points C, G et H sont alignés.
Exercice 25 : Droite d’Euler d’un triangle
Soit ABC un triangle. On note A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC], [AB].
On note G le centre de gravité du triangle, on a vu à l’exercice 12, que G vérifiait GA + GB + GC = 0.
On note O le centre du cercle circonscrit.
1) Faire une figure dans le cas où le triangle est quelconque (ni isocèle ni rectangle).
2) Soit H le point défini par OH = OA + OB + OC (1) .
a) Etablir que : AH = 2 OA '
BH = 2 OB ' CH = 2 OC '
b) En déduire H appartient aux trois hauteurs du triangle ABC.
c) Que représente alors le point H.
3) Déduire de la relation (1) que OH = 3OG .
Que peut-on alors en conclure pour les points A, B et C ?
Note : Lorsque le triangle n’est pas équilatéral, les points O, G et H sont distincts et alignés. La droite ainsi formée
est appelée la droite d’Euler du triangle.
Coordonnées de vecteurs ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Pour les exercices suivants, on se place dans un repère ( O, i , j ) orthonormé.
Exercice 26 :
Etudier la colinéarité des vecteurs :
 2− 3 
u

 3+ 2


 3 − 2 
v
.
 2+ 3 


Exercice 27 :
Soient A (1, 2 ) B ( −5, 2 ) C ( 2, −3) D ( −4, −3) .
Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Exercice 28 :
Soient A ( −3, −2 ) B ( 5,3) C (13,8 ) .
1) Montrer que les points A, B, C sont alignés.
2) Donner une équation de la droite ( AB ) .
Exercice 29 :
Soient A ( 3, 2 ) B ( −1,5 ) C ( −2, 2 ) .
1 1) Déterminez les coordonnées des points M, N et P définis par AM = BC , BN = AC et PA + PB + PC = 0.
3
2) Quelle est la nature des quadrilatères AMCB et BNCA ?
2 3) Déterminer les coordonnées du milieu I de [BC], puis vérifier que AP = AI .
3
Que représente le point P pour le triangle ABC ?
Exercice 30 :
Soient A ( 2,3) B ( −3,1) C ( 4, −3) .
Déterminer les coordonnées du point D sur l’axe des abscisses tel que ( AD ) / / ( CD ) .
Exercice 31 :
Soient A (1, 4 ) B ( 2,1) C ( 6,5 ) .
1) Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
2) Déterminer une équation de la droite (AI) où I est le milieu de [BC].
3) Déterminer une équation de la droite ∆ passant par B et parallèle à la droite (AC).
4) Résoudre la système suivant :
 x + 3 y = 13

− x + 5 y = 3
Interpréter graphiquement le résultat.
 10 
5) Montrer que les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont  3,  .
 3
6) Soit D le point tel que BGCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.
7) Montrer que D appartient à la droite (AI).