1iereS. produit scalaire. exos serie 1

1ièreS
Exercice 1 : vrai ou faux : pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse ,
proposer une démonstration pour la réponse indiquée ou un contre-exemple.
1.
2.
3.
4.
le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel positif.
si u i v = 0
alors u = 0 ou v = 0 .
si AB = 2 et BC = 3 alors ABiBC = 6
u et v sont deux vecteurs tels que u = 3 v = 2 et u iv = −3 alors 3u − 2v
(
)
2
= 19
Exercice 2 : soit ( O ; i , j ) un repère orthonormé. A(5 ; 2) B(3 ; 4) et C(0 ; 1)
1.
a ) Calculer le produit scalaire ABiAC
b ) Calculer les longueurs AB et AC
c ) En déduire une valeur de l’angle AB, AC
(
2.
3.
4.
5.
)
Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB]
Déterminer l’équation de la droite (BC)
Déterminer l’équation de la hauteur issue de A du triangle ABC
Déterminer le réel k afin que le triangle ABD soit rectangle en A, avec D(1 ; k)
Exercice 3 : ABCD est un carré de côté a , I est le mileu de [DC] et J le milieu de [BC] .
de mesure θ
On se propose d’évaluer l’angle IAJ
1. Exprimer AIiAJ en fonction de cos θ et de a
2. a ) Exprimer AI et AJ à l’aide des vecteurs AB et AD
b ) Donner une autre expression de AIiAJ
3. En déduire la valeur exacte de cos θ et une valeur approchée à 10-2 près par défaut de θ
Exercice 4 : ABC est un triangle isocèle de sommet A , H est le projeté orthogonal de A sur (BC)
et K celui de H sur ( AC ) . On a BC = 4 et AH = 5
1. Calculer la distance AC
2. Calculer le produit scalaire ACiAH . En déduire la distance AK
Exercice 5 : le triangle ABC est rectangle en B , une droite D passant par A coupe la hauteur issue de B en M
et le cercle de diamètre [AC] en N . Montrer que AM iAN = AB2
Exercice 6 : ABCD est un carré de côté a et E un point quelconque de [BC] .
On considère le point F de [CD] tel que BE = CF .
1. On pose BE = x , exprimer en fonction de a et de x les produits scalaires ABiCF et BE iBC
2. Démontrer que les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires .
Exercice 7 : on donne trois points A , B et C non alignés .
(
)(
)
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : MA + MB + MC i AB + AC = 0
Exercice 8 : on donne deux points A et B tels que AB = 3 cm .
(
)
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : MA + 2.MB iAB = −27
Exercice 9 : soit A , B et C trois points du plan et H un point quelconque .
1.
2.
Montrer que HA iBC + HBiCA + HCiAB = 0
En choisissant un point H particulier , montrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes .
Exercice 10 : soit ABCD un trapèze rectangle en A et D ; la diagonale [AC] est orthogonale au côté [BC].
En calculant de deux façons différentes le produit scalaire ABiAC , montrer que AC 2 = AB×CD
Exercice 11 : montrer que dans un parallélogramme ABCD on a : 2AB2 + 2 AD 2 = AC2 + BD 2