Comparaison de méthodes numériques déterministes pour un mod

Sujet de stage 2016 :
Comparaison de méthodes numériques déterministes
pour un modèle simplifié de transfert radiatif
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Utilisées notamment en physique de la FCI1 ou en astrophysique, les équations du
transfert radiatif modélisent les interactions entre la matière et le rayonnement (voir
[Mi99]). Dans sa forme la plus générale (3D instationnaire avec dimension spectrale), le
modèle contient une équation de transport intégro-différentielle pour l’intensité radiative
→
→
I (t, −
x ,−
ω , ν), renseignant sur le nombre de photons qui, à l’instant t ∈ R+ , occupent
→
→
→
la position −
x ∈ R3 , se déplacent avec la direction −
ω ∈ R3 (k−
ω k = 1), et possèdent la
fréquence ν ∈ R+ . Une discrétisation directe de ce problème de dimension 7 conduirait
à des simulations irréalisables en termes de coût CPU et d’occupation mémoire. Cette
difficulté de fond peut être contournée essentiellement de deux façons :
– soit par l’utilisation de méthodes Monte-Carlo (voir [LPS98]), où le coût des calculs
est maı̂trisé par le choix du nombre de particules Monte-Carlo utilisées. Mais dans
ce cas, l’estimation de la précision globale de la solution obtenue est une question
délicate. Par ailleurs, ces méthodes génèrent un « bruit » (i.e. de rapides variations
spatiales d’origine stochastique) susceptible de briser la symétrie des solutions et
qui ne s’estompe que lentement avec l’augmentation du nombre de particules.
– soit par l’utilisation de méthodes déterministes (voir [BG70]), considérées comme
des méthodes pouvant fournir une solution de référence, mais au prix d’un coût
CPU élevé. Dans ce cas, les dépendances angulaire et spectrale sont projetées
sur des bases finies composées typiquement de quelques dizaines de direc→
tions ou modes angulaires2 pour −
ω (indice k), et d’une centaine de groupes
3
de fréquence pour ν (indice g). L’intensité radiative est ainsi approchée par
XX
→
→
→
→
→
I (t, −
x ,−
ω , ν) ≃
I (t, −
x ) α (−
ω ) β (ν), où les {I (t, −
x )} satisfont un
k,g
k
k
g
k,g
g
système d’EDP hyperbolique avec termes sources, qu’il faut discrétiser sur maillages
non structurés. Se pose alors la question du choix de la méthode de discrétisation :
si Volumes Finis, quel flux numérique ? si Éléments Finis, quels éléments ? des
termes doivent-ils être implicités ? etc.
1
Fusion par Confinement Inertiel, voir www-lmj.cea.fr
Les discrétisations angulaires les plus couramment utilisées sont de type SN (ordonnées discrètes) ou
PN (harmoniques sphériques).
3
On parle d’approximation multigroupe.
2
Si les choix d’hier étaient cohérents avec la puissance des machines disponibles alors, la
montée en puissance4 des supercalculateurs du CEA amène naturellement à se reposer la
question du choix de la méthode numérique, en particulier sous l’angle de son extensibilité
parallèle. Ce stage a pour but d’apporter des éléments permettant de guider ce choix, via
la mise en œuvre et la comparaison de plusieurs méthodes déterministes existantes pour le
modèle de transfert radiatif simplifié 5 suivant :
I (t, x, µ) ,
t ∈ R+ ,
x ∈ R,
µ ∈ [−1; +1],

Z +1
1

′

I
t,
x,
µ
∂
I
+
µ
∂
I
+
σ
I
=
σ
B
+
σ

t
x
t
a
s

 c
−1
Z +1


1


 ∂t E = σa
I t, x, µ′
c
−1
σa (t, x) ≥ 0,
dµ′
2
σs (t, x) ≥ 0,
B(t, x) = B (E(t, x)) avec
dµ′
2 ,
−B ,
σt = σ a + σ s ,
dB
(t, x) > 0,
dE
où c > 0 est la vitesse de la lumière dans le vide et E(t, x) la densité d’énergie interne de
la matière.
Après avoir assimilé quelques documents décrivant les méthodes numériques
déterministes ciblées dans cette étude, le stagiaire implémentera ces méthodes (langage
C++) et testera leur précision et leur vitesse d’exécution sur des cas-tests fournis par
le tuteur. Fort de cette expérience, le stagiaire rédigera un rapport synthétisant, pour
chaque méthode étudiée : ses avantages, ses inconvénients, son efficacité (précision/coût
CPU) et des considérations sur son extensibilité parallèle.
4
En 2001 : Tera1 ≃ 5 Teraflops. En 2010 : Tera100 ≃ 1 Petaflops. En 2017 : Tera1000 ≃ 25 Petaflops,
voir www-hpc.cea.fr
5
Simplifications : symétrie spatiale 1D plane, et pas de dépendance à la fréquence (approximation grise).
[Mi99] D. Mihalas & B. Weibel-Mihalas, Foundations of radiation hydrodynamics, chapitre
6, ISBN 0-486-40925-2 Dover (1999).
[LPS98] B. Lapeyre, E. Pardoux & R. Sentis, Méthodes de Monte-Carlo pour les équations
de transport et de diffusion, ISBN 3-540-63393-8 Springer (1998).
[BG70] G. Bell & S. Glasstone, Nuclear reactor theory, chapitre 5, ISBN 0-442-20684-0
Van Nostrand Reinhold (1970).