homogeneisation numerique une methode d`elements finis multi

Homogénéisation numérique
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G. Allaire
HOMOGENEISATION NUMERIQUE
UNE METHODE D’ELEMENTS FINIS
MULTI-ECHELLES
G. ALLAIRE, R. BRIZZI CMAP, Ecole Polytechnique
http://www.cmap.polytechnique.fr/˜momas
1. Introduction
2. Rappels d’homogénéisation périodique
3. Eléments finis multi-échelles
Homogénéisation numérique
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-I- INTRODUCTION
PRISE
DE
MOYENNE
MILIEU HETEROGENE
MILIEU EFFECTIF
Homogénéisation: théorie mathématique de la moyennisation. Comment
remplacer un milieu très hétérogène par un milieu homogène (plus facile à
calculer) ?
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HOMOGENEISATION NUMERIQUE
But: on veut calculer la réponse d’un milieu hétérogène (longueur caractéristique
) avec un maillage de taille h >> .
☞ On ne se satisfait pas d’un modèle homogénéisé: on veut aussi obtenir les
fluctuations microscopiques.
☞ Il peut y avoir plusieurs échelles (ou un continuum d’échelles): attention
aux résonances h ≈ .
☞ Il faut choisir un modèle ou paradigme d’homogénéisation qui guide la
construction de la méthode numérique.
☞ Méthode d’éléments finis multi-échelles: Arbogast, Hou, Babuska-Schwab, E,
Engquist, Capdeboscq-Vogelius...
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-II- RAPPELS D’HOMOGENEISATION PERIODIQUE
Exemple modèle: diffusion dans un milieu périodique caractérisé par un
tenseur
x
A(y) avec y = ∈ Y = (0, 1)N
QQ OP
RX R ST
VU VU WWX
„ƒ „ƒYZ
†„ƒ ]^ „ƒ
……† [\
_` cd gh
baba
f
eef
ij
l
kkl
mn
J
IIJ KL
F DCD
HG EEF MN C
r op r r
qrq qrq qrq
AB ‚ @? ‚ @? ‚‚
ε
€€
= ~} ~}
>=> ~} ~} <;
z z
zyy yzy
x x
xww wxw
||{
|{{
9:9: 78
4312 43
56
vuvu
0/
('(
.-*) +, -. &% '
st st "! $#
st ts
Ω
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DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
Equation de diffusion stationnaire

 −div A
 u = 0
x
∇u = f
dans Ω
sur ∂Ω
Développement asymptotique à deux échelles:
u (x) =
+∞
X
i=0
i u i
x
,
x,
avec y → ui (x, y) fonction périodique.
Variable macroscopique x, variable microscopique y = x .
Règle de dérivation composée ⇒ cascade d’équations regroupées par puissance de
.
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CASCADE D’EQUATIONS
−
−2
−
−1
−
+∞
X
i=0
divy A∇y u0
x
x,
divy A(∇x u0 + ∇y u1 ) + divx A∇y u0
i
x
x,
divx A(∇x ui + ∇y ui+1 ) + divy A(∇x ui+1 + ∇y ui+2 )
= f (x).
Equation −2 ⇒ u0 (x, y) ≡ u(x)
Equation −1 ⇒ u1 (x, y) proportionnel à ∇x u(x)
Equation 0 ⇒ équation homogénéisée pour u(x).
x
x,
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PROBLEME HOMOGENEISE avec
A∗ij =
Z

 −div (A∗ ∇u) = f
 u=0
Y
dans Ω
sur ∂Ω
A(y) (ei + ∇y wi (y)) · (ej + ∇y wj (y)) dy
et (ei )1≤i≤N la base canonique de IRN .
Le problème de cellule est

 −div (A(y) (e + ∇ w (y))) = 0
y
i
y i
 y → wi (y)
dans Y
Y -périodique,
Il donne la réponse de la microstructure à un champ moyen.
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CONVERGENCE On a trouvé un tenseur effectif mais aussi un correcteur du problème
homogénéisé:
N
x
X
∂u
(x)wi
u (x) ≈ u(x) + ∂xi
i=1
Le reste de l’ansatz est faux car il manque des couches limites.
Les correcteurs ne sont pas négligeables pour les gradients !
N
x
X
∂u
(x)(∇y wi )
∇u (x) ≈ ∇u(x) +
∂xi
i=1
Cette approche se généralise aux cas non périodiques mais pas de formule
explicite pour A∗ .
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REMARQUE CRUCIALE
Dans le cas périodique, on a l’estimation d’erreur
N
x
X
∂u
+ r (x)
(x)wi
u (x) = u(x) + ∂x
i
i=1
√
kr kH 1 (Ω) ≤ C Cela ressemble a un développement de Taylor. Effectivement, on peut démontrer
x + s (x) avec w = (w1 , ..., wN )
u (x) = u x + w
√
avec ks kH 1 (Ω) ≤ C .
Nouvelle idée: pour calculer une approximation de u on utilise une méthode
E.F. standard pour u mais composée avec un changement de variables.
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-III- ELEMENTS FINIS MULTI-ECHELLES

 −div A
 u = 0
x
∇u = f
dans Ω
sur ∂Ω
☞ On s’inspire du cas périodique, mais on utilise la méthode pour des cas plus
généraux.
☞ Théorèmes d’estimation d’erreur dans le cas périodique si h >> (pas de
résonances).
☞ Idée principale inspirée par la méthode de L. Tartar en homogénéisation:
fonction test oscillante.
☞ Idée numérique: les fonctions de base de la méthode d’éléments finis
contiennent les oscillations des coefficients.
☞ On décrit la méthode proposée par A.-Brizzi.
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IDEE DU CHANGEMENT DE VARIABLES Dans le cas périodique, on a
x u (x) ≈ u x + w
avec w = (w1 , ..., wN )
On utilise un maillage grossier et une méthode E.F. standard pour u.
On utilise un maillage fin pour calculer dans chaque maille grossière le
x
changement de variables χ (x) = x + w .
Conclusion: on garde la complexité d’un calcul grossier, mais les fonctions de
bases contiennent des oscillations microscopiques.
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ELEMENTS FINIS MULTI-ECHELLES 1
0
0
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ELEMENTS FINIS MULTI-ECHELLES Maillage grossier: fonctions de base E.F. (φi ) (degré k quelconque).
Changement de variables: sur chaque maille K du maillage grossier on calcule χ solution de

 −div A x ∇χ = 0 dans K
 χ (x) = x
sur ∂K
Construction des fonctions de base: on pose φi (x) = φi ◦ χ (x). On construit
ainsi une méthode d’éléments finis conforme.
Estimation d’erreur dans le cas périodique:
ku − uh kH01 (Ω)
r .
≤ C hk +
h
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REMARQUES
☞ Dans le cas périodique χ (x) ≈ x + w
x
.
☞ Le calcul des fonctions oscillantes χ est parallélisable.
☞ Calcul global sur le maillage grossier seulement.
☞ Aucune périodicité nécessaire pour la mise en oeuvre.
☞ Si k = 1 on retrouve la méthode de Hou et al. qu’on peut interpréter comme
une méthode d’enrichissement local par des ”bulles”.
☞ Cas test numériques pour k = 2.
☞ Possibilité de choisir un support plus large pour χ pour éviter des effets de
couches limites entre mailles.
☞ Valable en toutes dimensions et pour tout type de maillage conforme.
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0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
0
0.5
1
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.5
1
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Coupe de la solution
Derivee en y
1
DU_eps/dy(x=0.5,y)
U_eps(x=0.5,y)
10
0.5
5
0
0
0.5
y
1
0
0
0.5
y
1
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REFERENCES 1. T. Arbogast, Numerical subgrid upscaling of two-phase flow in porous media,
in Numerical treatment of multiphase flows in porous media, Lecture Notes
in Physics, vol. 552, Chen, Ewing and Shi eds., pp.35-49 (2000).
2. T. Hou, X.-H. Wu, A multiscale finite element method for elliptic problems in
composite materials and porous media, J.C.P. 134, pp.169-189 (1997).
3. A.-M. Matache, I. Babuska, C. Schwab, Generalized p-FEM in
homogenization, Numer. Math. 86, 319–375 (2000).
4. Y. Capdeboscq, M. Vogelius, Wavelet Based Homogenization of a 2
Dimensional Elliptic Problem, à paraitre.
5. G. Allaire, Numerical methods of homogenization, Lecture Series 2002-06,
32nd Computational fluid dynamics - Multiscale methods, H. Deconinck ed.,
Von Karman Institute, Rhode Saint Genèse (2002).
6. G. Allaire, R. Brizzi, A multiscale finite element method for numerical
homogenization, à paraitre.