UN DÉVELOPPEMENT QUANTITATIF `A DEUX ÉCHELLES EN

UN DÉVELOPPEMENT QUANTITATIF À DEUX ÉCHELLES EN
HOMOGÉNÉISATION STOCHASTIQUE
ANTOINE GLORIA
Dans cet exposé je présenterai des estimations d’erreur en homogénéisation stochastique.
Je me placerai dans le cadre le plus simple possible :
• une équation elliptique discrète (∇±
ε est une différence finie amont ou aval d’ordre
ε > 0 ),
• posée sur le tore unité T en dimension d ≥ 2 pour éviter les couches limites,
• la statistique la plus simple possible pour les coefficients de diffusion a : Zd →
Rd×d : diagonaux, uniformément elliptiques, indépendants et identiquement distribués.
La théorie qualitative de l’homogénéisation stochastique assure que l’unique solution faible
uε ∈ H 1 (T) de
+
−∇−
sur T
ε · aε ∇ε uε = f
converge presque sûrement vers l’unique solution faible u0 ∈ H 1 (T) de
−∇ · a0 ∇u0 = f
sur T,
où a0 sont les coefficients homogénéisés. Dans ce cadre, je montrerai une estimation
d’erreur optimale du type
D
E1/2
kuε − u0 − ε∇u0 · P (·/ε)k2H 1 (T)
. ε ku0 kC 2 (T) ,
(avec une correction logarithmique en dimension 2), où h·i désigne l’espérance et P est
une approximation du correcteur par périodisation. Le taux de convergence est le même
que dans le cas de coefficients périodiques. La preuve de cette estimation repose sur une
série de résultats récents sur l’équation du correcteur, l’approximation des coefficients
homogénéisés par périodisation et des estimées moyennées en probabilité (“annealed”) sur
les fonctions de Green. Les deux outils techniques principaux sont un calcul différentiel
sur l’espace de probabilité (pour lequel on peut montrer des inégalités de trou spectral et
de Sobolev logarithmique) et des résultats classiques de régularité elliptique (théorie Lp ,
De Giorgi-Nash-Moser, Meyers).
Ceci est un travail en collaboration avec Stefan Neukamm et Felix Otto (MPI Leipzig).
(Antoine Gloria) Université Libre de Bruxelles (ULB), Brussels, Belgium, and Project-team
SIMPAF, Inria Lille - Nord Europe, Villeneuve d’Ascq, France
E-mail address: [email protected]
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