Résumé

Résumé
L’objectif de ce mémoire est de donner des démonstrations du petit
théorème de Picard.
Pour la première démonstration, on va utiliser une version du lemme de
reparamétrisation de Zalcman pour les fonctions holomorphes à valeurs
dans la sphère de Riemann et le théorème de Hurwitz.
Pour la deuxième, on va utiliser le d’Ahlfors pour montrer qu’une fonction
entière à valeurs dans un ouvert hyperbolique de ℂ est nécessairement
constante ainsi pour démontrer le petit théorème de Picard, il revient à
démontrer que le complémentaire de deux points de ℂ est hyperbolique.
Ces deux démonstration n’ont pas un lien étroite à ma connaissance mais
toujours cette notion d’hyperbolicité intervient ; comme vous pouvez le
constater on a utilisé une métrique sphérique pour tester si une famille est
normale ou non et une métrique hyperbolique pour voir si un ouvert de ℂ
est hyperbolique ou non.
Enfin pour la troisième démonstration, on va utiliser le théorème de Bloch
pour s’assurer que l’image du plan complexe par une fonction entière
contient des disques de rayons arbitrairement grands et grâce à un lemme
on démontre le théorème de Picard.
Comme application du théorème de Picard, on donnera un résultat sur
certaine équation fonctionnelle.
Le petit théorème de Picard et les familles normales
Soit U un ouvert de ℂ.
On note : ℂ la sphère de Riemann et H U = f: U ⟶ ℂ , holomorphe au
sens de la définition suivante :
Définition :
f: U ⟶ ℂ est dite holomorphe en 𝑧0 si :
 f(z0 ) ∈ ℂ et dans ce cas il existe un voisinage ouvert V de 𝑧0 tel que
f(V) ⊂ ℂ et f restreinte à V soit holomorphe au sens usuel.
 Ou bien f 𝑧0 = ∞ et dans ce cas il existe un voisinage ouvert V de
𝑧0 tel que
1
f
(V) ⊂ ℂ et
1
f
restreinte à V soit holomorphe au sens
usuel.
Définition :
Soit F une famille de fonctions de H(U). On dit que F est normale si de toute
suite de F, on peut extraire une suite convergeante vers une fonction de
H(U)
Marty donne un critère dont on admet la preuve pour tester la normalité
d’une famille.
Théorème de Marty :
F est une famille normale si et seulement si pour tout compact K, il existe
une constante M : telle que pour toute f dans F et tout z dans K on ait
f# z ≤ M
Où f # désigne la dérivée sphérique de f sur U :
f
Avec ρ 𝑧 =
1
1+ 𝑧 2
#
f ′ (z)
z =
1 + f(z)
2
= f′ ′ z ρ(f(z)) , z ∈ U
qui est une métrique sur la sphère de Riemann.
Remarquons que f # est continue
Lemme de reparamétrisation de Zalcman
Si la famille F = (fn ) ⊂ H(U) est non normale, alors il existe une suite (ρn )
strictement positive et qui tend vers 0 et une suite (zn ) de ℂ convergente
telles que :
g n z = fn (zn + ρn z) vérifie
a) g n holomorphe et définie sur D(0, R n ) avec R n ⟶ +∞
b) g n ⟶ g: ℂ ⟶ ℂ non constante.
Preuve :
Si F est non normale, alors il existe un compact K de U et une suite wn dans
K tels qu’on ait : fn # (wn )⟶∞.
Par argument de compacité, on peut supposer wn ⟶ 0 et on se ramène à K
étant l’adhérence du disque unité 𝔻
Pour chaque n donné considérons zn tel que
(1 − zn ) fn # (zn ) =max 1 − z fn # z , z ∈ 𝔻
Quitte à faire une extraction, on peut supposer que zn converge.
On pose
ρn =
1
#
f n (z n )
et R n =
1− z n
ρn
Comme fn # (zn ) ≥ (1 − zn ) fn # zn = R n ≥(1 − wn ) fn # (wn )⟶∞ alors on
a bien ρn ⟶ 0 et R n ⟶ ∞.
g n z = fn (zn + ρn z) est bien définie sur D(0, R n ), où elle est holomorphe :
il suffit de voir que zn + ρn z < 1 pour z ∈ D(0, R n )
Il reste à vérifier que g n converge vers une fonction g non constante et
holomorphe sur ℂ au sens de la définition.
Pour cela il suffit de démontrer que (g n ) est une famille normale
g n # z = ρn fn
#
zn + ρn z =
fn # zn + ρn z
fn # (zn )
Or (1 − zn ) fn # (zn ) =max 1 − z fn # z , z ∈ 𝔻 )
Donc (1 − zn + ρn z ) fn # (zn + ρn z)≤ (1 − zn ) fn # (zn )
Ainsi g n # z ≤
1− z n
1− z n +ρn z
≤
1− z n
1− z n − ρn z
=
1
ρ z
1− n
1− z n
=
1
z
Rn
1−
≤M
Comme R n ⟶ ∞ , alors g n # z est borné uniformément sur chaque
compact
Conclusion (g n ) est une famille normale.
Donc, quitte à extraire on a g n ⟶ g: ℂ ⟶ ℂ holomorphe
Théorème de Picard
Soit f une fonction entière et non constante telle. Alors f prend tous les
nombres complexes sauf peut-être un.
Preuve :
Par absurde, on suppose que f ne prend pas 0 et 1.
f etant non constante alors il existe un point où sa dérivée ne s’annule pas.
Sans perdre de généralité, on peut supposer que f ′ (0) ≠ 0
Comme f ne s’annule pas sur ℂ qui est simplement connexe alors il existe
une suite fn définie par :
fn z = (f(4n z))1/2
n
La famille (fn ) n’est pas normale car sa dérivée sphérique au point 0 tend
vers l’infini.
n
Remarquons que fn ne prend aucune valeur de Vn = z ∈ ℂ: z 2 = 1
Par Lemme de Zalcman,on peut reparamétriser la famille (fn ) en une suite
d’applications holomorphes g n qui converge vers g :ℂ⟶ℂ non constante.
Pour n assez grand, g n omet les valeurs de Vn 0 .
D’après le théorème de Hurwitz, g omet les valeurs de Vn 0 .
En prenant la réunion des Vn 0 qui est dense dans le cercle unité S1 , on
conclut que g omet un ensemble dense de S1 et comme g est ouverte alors g
omet tout le cercle S1 .
Par argument de connexité, g(ℂ) est soit contenu dans l’hémisphère nord
soit dans l’hémisphère sud qui sont toutes deux homéomorphes au disque
unité, d’où g est constante par Liouville.
Contradiction.
Le petit théorème de Picard et la notion d’hyperbolicité
Définition :
Soit U un ouvert de ℂ, une métrique ρ sur U est une application de U dans ℝ
positive, continue et de classe C 2 sur U ρ = z ∈ U: ρ(z) ≠ 0
On définit la courbure de ρ par :
Kρ z = −
Δlogρ(z)
4ρ(z)2
Propriété :
Soit U1 et U2 deux ouverts non vides de ℂ, f : U1 ⟶ U2 une fonction
holomorphe et ρ une métrique sur U2 . Alors l’application f ∗ ρ définie par
f ∗ ρ z = ρ(f(z)) f ′ (z) est une métrique sur U1 .
De plus K ρ f(z) = K f ∗ρ (z).
Preuve :
4K f ∗ρ z = −
∆log⁡
( f′ z ρ f z )
( f ′ z ρ f z )2
=−
∆log⁡
( f′ z )
∆log⁡
(ρ(f(z)))
−
( f ′ z ρ f z )2 ( f ′ z ρ f z )2
La fonction f’ étant holomorphe donc ∆ log f ′ z
=0
D’autre part, par la formule du laplacien de la composée, on a
∆ log ρ f z
= f′ z
2
∆logρ (f(z))
Ce qui démontre la propriété
Exemple : la métrique de Poincaré
λ z =
1
1− z 2
est une métrique sur le disque unité ; elle est de courbure -1.
Définition :
Une métrique ρ sur un ouvert U est dite hyperbolique si elle est de
courbure inférieure ou égale à -1.
Remarque :
Comme K ρ f(z) = K f ∗ ρ (z) donc si ρ est hyperbolique, f ∗ ρ l’est aussi
Théorème :
Soit U un ouvert de ℂ muni d’une métrique hyperbolique. Alors toute
fonction entière à valeur dans U est constante.
Pour la preuve, on aura besoin du lemme d’Ahlfors
Lemme d’Ahlfors :
Soit ρ une métrique hyperbolique sur le disque unité. Alors ρ(z) ≤ λ(z).
Preuve :
Soit 𝔻r le disque ouvert de centre 0 et de rayon r < 1 et hr l’application
z
,définie sur 𝔻r à valeur dans 𝔻, par hr z =
r
On munit 𝔻r de la métrique suivante
ρr z = hr ∗ λ(z) =
r
r2−
z2
qui est de courbure −r 2
La fonction log ρr − log⁡
(λ) atteint son maximum en un point z0 de 𝔻r
Par conséquent son Laplacien en ce point est négatif
D’autre part
∆ log λ z0
= 4(λ(z0 ))2 car λ est de courbure -1.
Et ∆ log ρr z0
= 4(r 2 ρr (z0 )) car ρr est de courbure - r 2
D’où rρr (z0 ) ≤ λ(z)
Le résultat est obtenu en tendant r vers 1
Preuve du théorème :
Soit f :𝔻R ⟶U une fonction holomorphe, ρ une métrique hyperbolique sur
U et λR la métrique de Poincaré sur le disque 𝔻R .
D’après la remarque f ∗ ρ est une métrique hyperbolique sur 𝔻R et par le
lemme d’Ahlfors on a f ∗ ρ z ≤ λR =
R
R2−
z2
En tendant R vers l’infini on conclut que f est constante.
Théorème de Picard :
Soit f une fonction entière non constante alors f prend tous les nombres
complexes sauf peut-être un.
Preuve :
On suppose que f ne prend pas 0 et 1 et on considère U=ℂ- 0,1
Soit la métrique définie sur U par
1 1
ρ z =
1
Kρ z = −
18
(1+ z 3 )2
5
z6
z
1+ z
1
3
1 1
.
(1+ z−1 3 )2
5
z−1 6
5
3
1+ z−1
1 3
3
+
z−1
1+ z−1
1
3
5
3
1+ z
1 3
3
K ρ z étant majoré par une constante strictement négative, en effet on écrit
Kρ z = −
1
18
h(z) , h est positive, de plus sa limite en 0,1 et ∞ est
strictement positive ce qui entraine qu’on peut trouver des voisinages de
ces points tels que la borne inférieur de h soit strictement positive, le reste
ne cause pas de problème car il est compact.
On conclut par le théorème précédent que f est constante.
Le théorème de Picard et le théorème de Bloch
Notation
On note 𝔻r (a) le disque ouvert de centre a et de rayon r.
Définition :
- Pour deux points z1 et z2 dans 𝔻, on définit la distance hyperbolique par
d z1 , z2 =
z2 − z1
1 − z1 z2
-Le pseudo-disque de centre z0 et de rayon ρ < 1 est l’ensemble
Δ z0 , ρ = zϵ𝔻: d z0 , z < ρ
Remarque :
-Si 𝛷 est un automorphisme de 𝔻, en utilisant la forme invariante du
lemme de Schwarz il est facile de voir que :
Φ Δ z0 , ρ
= Δ Φ z0 , ρ et L ∂Φ z0 , ρ
= ∂Δ Φ z0 , ρ
-La pseudo-distance nous permet d’écrire la forme invariante du lemme de
Schwarz sous la forme :
Soit f : 𝔻⟶ℂ holomorphe vérifiant f(𝔻) ⊂ 𝔻
Alors on a
a) d f(z1 ), f(z2 ) ≤ d z1 , z2
b) Une telle fonction envoie Δ z0 , ρ dans Δ f(z0 ), ρ
De plus un point de ∂Δ z0 , ρ est envoyé sur ∂Δ f(z0 ), ρ si et seulement si f
est un automorphisme de 𝔻.
Théorème de Landau
Soit f: 𝔻 ⟶ DM 0 holomorphe avec
M ≥ 1, f 0 = 0 et f ′ 0 = α > 0
Alors
a) f est injective sur le disque Dr 0 ,
r0 =
α
1
>
M + (M 2 − α2 )2
α
2M
b)Pour tout r ,0 ≤ r ≤ r0 , f(Dr ) contient le disque DR
r α − Mr
R = M.
≥ Mrr0
M − αr
c)f 𝔻 contient le disque ouvert de rayon R 0 = Mr0 2 et de
centre 0
Preuve :
Quitte à diviser f par M, on se place dans le cas M=1
Supposons 𝛼=1, alors f z = z par le lemme de Schwarz, ainsi les résultats
sont manifestement vérifiés
Si 0 < α < 1, considérons z1 , z2 dans 𝔻 tels que :
z1 ≠ z2 et z1 ≤ z2 = ρ < 1 et f z1 = f z2 = w0
Considérons la fonction g z =
f z −w 0 1−z 1 z 1−z 2 z
1−w 0 f(z) z−z 1 z−z 2
Après prolongement aux points z1 , z2 , on obtient une fonction holomorphe
dans 𝔻 qui vaut au point z1
g z1
1 − z1 2 1 − z2 z1
= f z1 .
1 − f(z1 ) 2 z1 − z2
′
Idem pour z2
Par le principe du maximum, g(z) ≤ 1 ∀z ∈ 𝔻
En particulier g(0) , qui vaut
est inférieur à 1.
w0
z1z2
ou
α
z2
selon que w0 est nulle ou non,
Si w0 = 0, on a α ≤ ρ.Ainsi r0 ≤ ρ car r0 < 𝛼
Sinon on a w0 ≤ z1 z2 ≤ ρ2 (1)
1
Soit h z = f z pour z ≠ 0 et h 0 = α
z
En appliquant la forme invariante du lemme de Schwarz à h, on a
h z2 − α
≤ρ
1 − αh(z2 )
i. e h z2 ∈ Δ α, ρ
Soit l’automorphisme Φ z =
Alors Φ 𝔻ρ = Φ Δ 0, ρ
z+α
1+αz
.
= Δ α, ρ .
Notons que Φ 𝔻ρ est le disque fermé de diamètre [
Par (1) on a ρ ≥
D’où ρ ≥
w0
ρ
α
1+√(1−α 2 )
=
f z2
ρ
= h z2
≥
α−ρ
1−αρ
,
α+ρ
1+αρ
]
α−ρ
1−αρ
.
Ce qui prouve l’assertion a
Pour démontrer l’assertion b, considérons la fonction h(z) définie
précédemment et r tel que 0 ≤ r ≤ r0
Par Schwarz
h reiθ − α
≤r
1 − αh(reiθ )
Donc h reiθ
≥
α−r
1−αr
, ainsi f reiθ
Et R ≥ r
≥ r.
α−r
1−αr
=R
α − r0
= rr0
1 − αr0
Ceci prouve l’assertion b et l’assertion c s’en déduit en tendant r vers r0 .
Ainsi les assertions a et b sont prouvées pour M=1.
Théorème de Bloch
Soit f: 𝔻 ⟶ ℂ holomorphe vérifiant f ′ 0 = 1
Alors f(𝔻) contient un disque ouvert de rayon 1/14.
Preuve :
Supposons que f est holomorphe sur la fermeture de 𝔻.
Soit a ∈ 𝔻 tel que A = (1 − a ) f ′ (a) soit le maximum de
1− z
f′ z , z ∈ 𝔻
Comme f ′ 0 = 1 alors A est supérieur à 1
Pour x appartenant à 𝔻, on définit
g x =
2
1
2
f a + 1 − a x − f(a)
A
2
A
Alors g 0 = 0 et g ′ 0 = 1
En remarquant que g ′ (x) < 2 , il vient par le théorème des accroissements
finis que g(x) < 2 x et comme x < 1 alors
g(x) < 2
Par le théorème précédent pour M = 2, α = 1 on a
g(𝔻) Contient 𝔻R 0 , R 0 = 2r0 2 avec r0 2 =
1
(2+√3)2
>
1
14
Ainsi f contient le disque de rayon r0 2
Si f n’est pas holomorphe sur la frontière de 𝔻, on considère
f(rz)
avec r inférieur à 1
r
Et on conclut que f(𝔻) contient un disque ouvert de rayon
r
1
(2+32 )2
1
En prenant r =
(2+32 )2
14
on obtient le résultat.
Lemme :
Soit U ouvert simplement connexe de ℂ et f une fonction holomorphe sur U
ne prenant ni 0 ni 1.
Alors il existe une fonction holomorphe g sur U telle que
Pour tout z dans U, f z = exp⁡
(2iπch(2g(z)))
Où ch z =
e z +e −z
2
Preuve :
Puisque f ne s’annule pas et que U est simplement connexe, alors on peut
écrire f z = el(z)
Soit F z =
l(z)
4iπ
, alors f z = exp⁡
(4iπF(z))
Comme f ne prend pas la valeur 1, alors F ne prend pas de valeurs entières,
et en particulier ne prend pas 0 et 1
Ainsi on peut définir H z =
H z − √(H z − 1)
Et comme H ne s’annule pas, alors on écrit H z = eg(z)
1
1
1
2
2
H
Ainsi ch 2g + 1 = (eg + e−g )2 = (H + )2 = 2F
f z = exp 4iπF z
= exp 2iπ + 2iπch 2g z
D’où f z = exp⁡
(2iπch(2g(z)))
Pour ce qui suit, on prend U = ℂ
Lemme :
Il existe δ > 0 tel que tout disque de rayon δ rencontre l’ensemble E.
E = ∓ log √n + √n − 1 + 2ikπ, k ∈ ℤ, n ∈ ℕ
Remarque :
La fonction g définie précédemment ne prend aucune valeur de E
Preuve
Les points de E forment des rectangles dont la longueur est
2 k + 1 π − 2kπ = 2π < 4√3
et la largeur est log √n + 1 + √n − log √n + √n − 1
Soit Ψ x = log √x + 1 + √x − log √x + √x − 1 , x ≥ 1
L’étude de la fonction Ψ sur l’intervalle [1, +∞] montre que la largeur de
chaque rectangle est inférieure à 1.
Donc la diagonale de chaque rectangle est inférieur à √1 + 48 = 7
Il suffit de prendre δ = 7.
Théorème de Picard :
Soit f une fonction entière non constante. Alors f prend toute valeur de ℂ
sauf peut être une.
Preuve :
Supposons que f ne prend pas 0 et 1.
On écrit f z = exp⁡
(2iπch(2g(z))) où g est une fonction entière.
Montrons d’abord que g est constante.
Supposons que g n’est pas constante
Le théorème de Bloch appliqué à des fonctions du type h(λz + b), on a g ℂ
contient des disques de rayons arbitrairement grands.
D’après le lemme précédent, tout disque de rayon 7 rencontre E
or g ne prend aucune valeur de E. Absurde d’où g est constante et par
conséquent f l’est aussi.
Application du théorème de Picard.
Soit f et g deux fonctions entières et n un multiple de 3 non nul tels que
f 𝑛 + gn = 1
Alors f et g sont constantes.
Preuve :
Quitte à faire un changement d’inconnu, on peut supposer n=3 ; on écrit
f 3 + g 3 = f + g f + jg f + j2 g = 1
Posons u = f + g ; v = f + jg ; w = f + j2 g
Alors u,v et w sont toutes non nulles.
Ecrivons w en fonction de u et v
w = au + bv = a + b f + a + jb g = f + j2 g
Ainsi 𝑎 = −j et b = −j2
D’où 𝑤 = −ju − j2 v
Comme w est non nulle alors u/v ne prend pas la valeur − j
D’autre part u/v ne prend pas aussi 0.
On conclut par Picard que u/v est constante, notons C cette constante
L’équation devient 1=uvw= Cv v −jCv − j2 v = 1
Ainsi v est constante et donc par conséquent u est constante et comme w
est une combinaison linéaire de u et v alors w est constante.
La somme u+v+w=f+g+f+jg+f+j2 g=3f+ 1 + j + j2 g = 3f est constante et par
conséquent f est constante, donc g est aussi est constante.
Remarque :
Le résultat est encore valable sous l’hypothèse f et g entières ne prenant pas
0 et n entier supérieur strictement à 2.