GROUPES D`AUTOMORPHISMES ET ÉQUIVALENCES STABLES

GROUPES D’AUTOMORPHISMES ET ÉQUIVALENCES STABLES OU
DÉRIVÉES
RAPHAËL ROUQUIER
Version préliminaire : manquent la compatibilité avec les dérivations, l’extension à une base k “générale” et le
cas où les algèbres sont remplacées par des schémas
1. Introduction
Nous montrons que la composante connexe de l’identité du schéma en groupes des automorphismes extérieurs d’une algèbre de dimension finie sur un corps algébriquement clos est
invariante par différentes sortes d’équivalences.
Nous développons un formalisme pour les familles algébriques d’automorphismes (resp. d’automorphismes extérieurs) aux §3.3–3.4. L’invariance dans le cas d’équivalences de Morita est
alors obtenue §4.1. L’invariance par équivalence dérivée est à peine plus compliquée : elle ne
nécessite en plus qu’une propriété du support de la cohomologie de complexes parfaits. Cette
invariance a été obtenue indépendemment, et par des méthodes différentes, par B. HuisgenZimmermann et M. Saorin.
Le cas d’équivalences stables entre algèbres auto-injectives est plus délicat. La rigidité des
modules projectifs est bien connue, celle de facteurs directs projectifs n’est pas nouvelle non
plus. Ces propriétés sont de nature locale et nous avons besoin d’un critère qui nous assure de
la présence globale d’un facteur direct projectif. C’est l’objet de la proposition 2.7.
On prend pour k un corps algébriquement clos. Par variété, on entend un schéma séparé de
type fini sur k. Par groupe algébrique, on entend un schéma en groupe séparé de type fini sur
k. On écrira ⊗ pour ⊗k .
Je remercie M. Broué et J.-P. Serre pour leurs commentaires et leurs suggestions.
2. Modules projectifs et rigidité
Soit A une k-algèbre finie et X une variété sur k. Pour x point de X, on note k(x) le corps
résiduel en x (corps des fractions de Ox /x). Pour F un OX -module, on note F(x) = Fx ⊗Ox k(x)
On écrira parfois “x ∈ X” pour “x est un point fermé de X”.
Les OX -modules considérés seront toujours supposés cohérents.
2.1. Support de complexes parfaits.
Lemme 2.1. Soit C un complexe parfait de OX -modules et x un point fermé de X tel que
H i (C ⊗LOX k(x)) = 0 pour i 6= 0. Alors, il existe un voisinage ouvert Ω de x tel que H i (C|Ω ) = 0
pour i 6= 0.
Démonstration. Soit f : M → N un morphisme entre OX -modules libres de type fini.
Si f ⊗OX k(x) est surjectif, alors f est surjectif dans un voisinage ouvert de x. Par dualité,
on en déduit que si f ⊗OX k(x) est injectif, alors f est une injection scindée dans un voisinage
ouvert de x.
Date: Mars 2000.
1
2
RAPHAËL ROUQUIER
Cela démontre le lemme lorsque C est un complexe borné de OX -modules libres de type fini.
On en déduit alors le lemme lorsque C est parfait, puisque qu’il existe un voisinage ouvert U de
x tel que C|U est quasi-isomorphe à un complexe borné de OU -modules libres de type fini.
2.2. Rigidité des modules projectifs. Soit M un (A ⊗ OX )-module. On note ρM l’application
canonique HomA⊗OX (M, A ⊗ OX ) → HomA⊗OX (M, A/J(A) ⊗ OX ). On pose M̄ =
T
M/ f ∈im ρM ker f . C’est un (A/JA ⊗ OX )-module.
Si P est un A-module projectif et M = P ⊗ OX , alors ρM est surjectif et M̄ = hd(P ) ⊗ OX .
Lemme 2.2. Soit M un (A⊗OX )-module, localement libre comme OX -module. Soit x un point
fermé de X tel que P = M ⊗OX k(x) est projectif. Alors, il existe un voisinage ouvert Ω de x
tel que M|Ω est isomorphe à P ⊗ OΩ .
Démonstration. On peut supposer X = Spec R affine connexe. Considérons le morphisme f :
M → P = M/xM ' M ⊗R R/x. Le morphisme canonique P ⊗ R → P ⊗ R/x = P se factorise
par f en g : P ⊗ R → M . Comme f g est surjectif, il existe un voisinage ouvert Ω de x tel que
g|Ω est surjectif. Puisque le rang de M sur R est la dimension de M ⊗R R/x, c’est aussi le rang
de P ⊗ R sur R. Ainsi, g|Ω est un isomorphisme.
2.3. Rigidité des facteurs projectifs.
2.3.1. Cas ponctuel. Nous rappelons comment trouver un facteur direct projectif maximal
lorsque la base X est le spectre d’un corps.
Le quotient M̄ de M est le plus grand tel que l’application canonique M → M̄ est projective :
Lemme 2.3. Supposons que X est le spectre d’un corps. Le module M a un facteur direct
projectif si et seulement si ρM est non nulle.
Soit P → M̄ une enveloppe projective de M̄ . Alors, l’application canonique M → M̄ se
factorise en un morphisme surjectif M → P dont le noyau n’a pas de facteur direct projectif.
2.3.2. Rigidité locale. Pour le reste de §2.3, nous supposerons A auto-injective.
Le résulat suivant est classique (cf [DoFl, Corollaire 16] et [Da, Théorème 3.16]).
Lemme 2.4. Soit M un (A⊗OX )-module, localement libre comme OX -module. Soit x un point
fermé de X et soit P un A-module projectif facteur direct de M (x). Alors, il existe un voisinage
ouvert Ω de x tel que P ⊗ OΩ est facteur direct de M|Ω .
Démonstration. On peut supposer X = Spec R affine. On a Ext1A⊗R (M, P ⊗ x) ' Ext1R (P ∗ ⊗A
M, x). Puisque A est auto-injective, P ∗ est un A-module à droite projectif. On en déduit
que P ∗ ⊗A M est un R-module projectif, donc le groupe d’extensions considéré est nul. Par
conséquent, un morphisme surjectif M → P = P ⊗ R/x se relève en morphisme M → P ⊗ OX .
Ce morphisme est alors surjectif (et donc scindé) dans un voisinage ouvert Ω de x.
Remarque 2.5. Le résultat n’est pas vrai pour des algèbres non auto-injectives, même lorsque
X = Spec R avec R locale.
Prenons
¶ A l’algèbre des matrices triangulaires supérieures 2 × 2 sur k, R = k[t] (t) et
µ pour
a
| a, b ∈ R}. Alors, M est un (A ⊗ R)-module indécomposable et R-libre, mais
M ={
bt
M ⊗R k est somme directe des deux A-modules simples, l’un d’eux étant projectif.
Plus généralement, soit A une algèbre qui n’est pas auto-injective et soit P un A-module
projectif indécomposable non injectif. Soit f : P → I une enveloppe injective et N = coker f .
Soit ζ ∈ Ext1A (N, P ) déterminé par l’extension. Soit ξ = tζ ∈ Ext1A⊗R (N ⊗ R, P ⊗ R) et M le
(A ⊗ R)-module extension de N ⊗ R par P ⊗ R déterminé par cette classe. Alors, le facteur
direct projectif P de M ⊗R k ne se remonte pas en un facteur direct projectif de M .
VERSION DU 20 avril 2000
3
2.3.3. Cas général.
Lemme 2.6. Soit R une k-algèbre commutative, I un idéal nilpotent de R et M un (A ⊗ R)module, projectif comme R-module. Alors, tout facteur direct projectif de M ⊗ R R/I se relève
en un facteur direct projectif de M .
Démonstration. Les (A⊗R/I)-modules projectifs se relèvent en des (A⊗R)-modules projectifs.
Soit donc N un (A ⊗ R)-module projectif et f : M → N ⊗R R/I un morphisme surjectif. On a
Ext1A⊗R (M, N ⊗R I) ' Ext1R (HomR (N, R) ⊗A⊗R M, I) et on déduit comme dans la preuve du
lemme 2.4 que f se relève en un morphisme surjectif M → N .
Sous certaines hypothèses, on peut “recoller” les facteurs directs projectifs.
Proposition 2.7. Supposons X affine. Soit M un (A ⊗ OX )-module, localement libre comme
OX -module et soit P un A-module projectif. Supposons
– (i) pour tout point fermé x, le A-module P est facteur direct de M (x)
– (ii) pour tout point générique η d’une composante irréductible de X, le A ⊗ O η -module Mη
n’a pas de facteur direct projectif contenant strictement P ⊗ Oη .
Alors, il existe un (A ⊗ OX )-module projectif Q facteur direct de M tel que Q(x) ' P pour
tout point fermé x.
Démonstration. D’après le lemme 2.6, on peut supposer X réduit. Soit x un point fermé de X.
D’après le lemme 2.4, il existe un (A ⊗ Ox )-module M 0 tel que Mx ' M 0 ⊕ P ⊗ Ox . Si η est un
point générique dont l’adhérence contient x, alors le morphisme ρMη0 est nul puisque Mη0 n’a pas
de facteur direct projectif (lemme 2.3). On en déduit que ρM 0 est nul, puisque Ox est réduit.
Par conséquent, M̄x ' hd(P ) ⊗ Ox .
Le (A ⊗ OX )-module M̄ est donc un OX -module projectif. Puisqu’il est A-semi-simple, il
est somme directe de modules S ⊗ FS , où S décrit les classes d’isomorphisme de A-modules
simples et FS est un OX -module projectif ou nul. Fixons alors un morphisme surjectif h : Q =
L
S PS ⊗ FS → M̄ , où PS est une enveloppe projective de S. Ce morphisme se factorise par la
surjection canonique M → M̄ en g : Q → M . Le morphisme HomOX (g, OX ) est surjectif, car il
l’est en tout point fermé. Puisque HomOX (Q, OX ) est projectif, le morphisme HomOX (g, OX )
est donc une surjection scindée et finalement g est une injection scindée.
Remarque 2.8. L’hypothèse aux points génériques n’est pas superflue.
Soit X = U ∪ V un recouvrement ouvert de X avec U, V 6= X et M 0 , M 00 des (A ⊗ OX )0
modules indécomposables, OX -projectifs mais non (A ⊗ OX )-projectifs, tels que M|U
' P ⊗ OU
0
00
00
et M|V ' P ⊗ OV pour un A-module projectif P . Alors, M = M ⊕ M ne possède pas de
facteur direct projectif, bien que P soit facteur direct de M (x) pour tout point fermé x.
3. Groupes d’automorphismes d’algèbres
3.1. Soit G un groupe algébrique d’automorphismes de A. Soit ∆A : A → A⊗OG le morphisme
associé. Alors, ∆A est un morphisme d’algèbres (en particulier, g · (ab) = (g · a)(g · b) pour g ∈ G
et a, b ∈ A). En outre, on a un diagramme commutatif
A
∆A
/ A ⊗ OG
∆A
1⊗∆
²
A ⊗ OG
²
∆A ⊗1
/ A ⊗ O G ⊗ OG
où ∆ : OG → OG ⊗ OG est la comultiplication (en particulier, g · (g 0 · a) = (gg 0 ) · a pour g, g 0 ∈ G
et a ∈ A).
4
RAPHAËL ROUQUIER
3.2. Structure.
3.2.1. On a une suite exacte de groupes algébriques :
1 → 1 + J(A) → A× → (A/J(A))× → 1
et 1 + J(A) est le radical unipotent de A× . On a une filtration 1 + J(A) ⊃ 1 + J 2 (A) ⊃ · · ·
dont les quotients successifs sont des groupes unipotents commutatifs Gra .
Soit S une sous-algèbre semi-simple maximale de A, i.e., l’image d’une section du morphisme
d’algèbres A → A/J(A). On a alors A× = (1 + J(A)) o S × .
Soit Aut(A) le groupe d’automorphismes de A (vu comme schéma en groupe sur k). On note
Int(A) son groupe d’automorphismes intérieurs, image de A× par le morphisme canonique de
conjugaison ad : A× → Aut(A). C’est un sous-groupe fermé distingué lisse et connexe.
On a une suite exacte
1 → (ZA)× → A× → Int(A) → 1.
Elle fournit une décomposition
Int(A) = ((1 + J(A))/(1 + J(ZA))) o (S × /(ZA)× ∩ S × ).
Lemme 3.1. Soit H un sous-groupe fermé distingué d’un groupe algébrique G et f : G → G/H
le morphisme quotient. Si H est extension de groupes additifs Ga et de groupes multiplicatifs
Gm , alors, f est localement scindé comme morphisme de variétés.
Démonstration. (cf [Se, VII §1.6]) Il suffit de démontrer le lemme lorsque G/H est connexe.
Soit η le point générique de G/H. Son image inverse dans G est un espace homogène principal
sous H, donc est trivial, i.e., possède un point rationnel sur k(η) (car un espace homogène
principal sous un groupe Ga ou Gm est trivial). Un tel point fournit une section rationnelle du
morphisme f .
Il résulte du lemme 3.1 que
Proposition 3.2. Le morphisme canonique de variétés A× → Int(A) est localement scindé.
3.2.2. Soit Out(A) le quotient Aut(A)/ Int(A).
La composante connexe de l’identité Aut0 (A) de Aut(A) est contenue dans le sous-groupe des
éléments qui fixent les classes d’isomorphismes de modules simples (=qui agissent intérieurement
sur A/JA).
Si A = A1 ⊕ A2 , alors Out0 (A) = Out0 (A1 ) × Out0 (A2 ). Si A est simple, alors Out(A) = 1.
Soit F (A) le sous-groupe fermé distingué de Aut0 (A) formé des éléments qui agissent trivialement sur A/J(A).
Puisque le morphisme d’algèbres A → A/J(A) est scindé et que Aut0 (A/J(A)) = Int(A/J(A)),
on en déduit que l’on a une suite exacte scindée
1 → F (A) → Aut0 (A) → Int(A/J(A)) → 1
et Aut0 (A) = F (A) · Int(A), i.e., le morphisme canonique F (A) → Out0 (A) est surjectif.
On a
F (A) ∩ Int(A) = ((1 + J(A))/(1 + J(ZA))) o ((ZS)× /(ZA)× ∩ S × ).
On déduit du lemme 3.1 que le morphisme canonique F (A) → Out0 (A) est localement scindé,
donc que
Proposition 3.3. Le morphisme de variétés Aut(A) → Out(A) est localement scindé.
3.3. Familles algébriques d’automorphismes.
VERSION DU 20 avril 2000
5
3.3.1. Soit X une variété. Se donner un morphisme π de X dans l’espace des endomorphismes
de k-espace vectoriel de A revient à se donner un morphisme de faisceaux de k-espaces vectoriels
sur X, ρ : A → A ⊗ OX . Demander que le morphisme π soit à valeur dans l’espace des
endomorphismes d’algèbre revient à demander que ρ soit un morphisme d’algèbres. Demander
que f soit à valeurs dans la variété des endomorphismes inversibles revient à demander que le
morphisme ρ ⊗ 1 : A ⊗ OX → A ⊗ OX soit un isomorphisme (i.e., pour tout point fermé x de
ρ
X, le morphisme composé A −→ A ⊗ OX → A ⊗ k(x) = A est un isomorphisme).
On munit la catégorie des variétés au-dessus de Aut(A) de la structure monoı̈dale donnée
par
(X, π) ⊗ (X 0 , π 0 ) = (X × X 0 , m · (π × π 0 ))
où m : Aut(A) × Aut(A) → Aut(A) est la multiplication. L’élément neutre en est l’élément
unité de Aut(A), Spec k → Aut(A).
La correspondance définie précédemment est un isomorphisme de catégories monoı̈dales entre
la catégorie des variétés au-dessus de Aut(A) et la catégorie D construite comme suit.
Ses objets sont les paires (X, ρ) où X est une variété et ρ : A → A ⊗ OX un morphisme
d’algèbres tel que ρ ⊗ 1 : A ⊗ OX → A ⊗ OX est un isomorphisme.
Les morphismes de (X, ρ) vers (X 0 , ρ0 ) sont les morphismes φ : X → X 0 tels que ρ = φ∗ (ρ0 ).
Le produit tensoriel est donné par
(X, ρ) ⊗ (X 0 , ρ0 ) = (X × X 0 , ρ00 )
∼
où ρ00 = ρ⊗A ρ0 : A → (A⊗OX )⊗A (A⊗OX 0 ) → A⊗OX×X 0 . L’élément neutre est (Spec k, IdA ).
3.4. Automorphismes et bimodules.
3.4.1. On définit maintenant une catégorie C.
Les objets de C sont les triplets (X, M, f ) où X est une variété, M un (A ⊗ A◦ ⊗ OX )-module,
libre de rang 1 comme (A ⊗ OX )-module et comme (A◦ ⊗ OX )-module et f un isomorphisme
de A ⊗ OX vers la restriction de M à (A◦ ⊗ OX ).
Un morphisme de (X, M, f ) vers (X 0 , M 0 , f 0 ) est un morphisme φ : X → X 0 tel que l’isomor∼
phisme de (A◦ ⊗ OX )-modules φ∗ (f 0 )f −1 : M → φ∗ M 0 commute à l’action de A (i.e., est un
isomorphisme de (A ⊗ A◦ ⊗ OX )-modules).
On munit la catégorie C d’un produit par
(X, M, f ) ⊗ (X, M 0 , f 0 ) = (X × X 0 , M ⊗A M 0 , f ⊗A f 0 ).
Avec l’élément neutre (k, A, IdA ), on fait de C une catégorie monoı̈dale.
3.4.2. Soit (X, ρ) dans D. Soit M le (A ⊗ A◦ ⊗ OX )-module A ⊗ OX où l’action de A se fait
via ρ et l’action de A◦ ⊗ OX par multiplication.
Le module M est libre de rang 1 comme (A ⊗ OX )-module et comme (A◦ ⊗ OX )-module. On
a construit un objet (X, M, IdM ) de C.
∼
Soit (X 0 , ρ0 ) dans D et φ : X → X 0 . Alors, ρ = φ∗ (ρ0 ) si et seulement si φ∗ (f 0 )f −1 : M →
φ∗ M 0 commute à l’action de A. Par conséquent, on a une égalité entre les sous-ensembles
Hom((X, ρ), (X 0 , ρ0 )) et Hom((X, M, IdM ), (X 0 , M 0 , IdM 0 )) de Hom(X, X 0 ).
La correspondance (X, ρ) 7→ (X, M, IdM ) définit un foncteur pleinement fidèle F0 : D → C.
Soit (X, M, f ) un objet de C.
On a un isomorphisme canonique (multiplication à gauche)
∼
A ⊗ OX → EndA◦ ⊗OX (A ⊗ OX ).
Via f , il induit un isomorphisme
∼
α : A ⊗ OX → EndA◦ ⊗OX (M ).
6
RAPHAËL ROUQUIER
Finalement, on obtient un morphisme d’algèbres
α−1
ρ : A → EndA◦ ⊗OX (M ) −→ A ⊗ OX
où la première flèche est donnée par l’action à gauche de A sur M . Alors, (X, ρ) est un objet
de D.
Par construction, le morphisme f est un isomorphisme entre le (A⊗A◦ ⊗OX )-module A⊗OX
muni de l’action de A via ρ et de l’action régulière de A◦ ⊗ OX et M . Par conséquent, on a un
isomorphisme F0 (X, ρ) ' (X, M, f ).
On a ainsi construit un foncteur monoı̈dal E0 : C → D inverse de F0 .
Notons E et F les foncteurs correspondants entre la catégorie des variétés au-dessus de
Aut(A) et C.
On a montré la
Proposition 3.4. Les foncteurs E et F sont des équivalences de catégories monoı̈dales inverses l’une de l’autre entre C et la catégorie des variétés au-dessus de Aut(A).
3.4.3. Considérons maintenant les sous-catégories pleines CX , DX de C, D, où les objets correspondent à une variété X fixée. Les équivalences précédentes se restreignent en des équivalences
entre CX , DX et la catégorie des morphismes X → Aut(A).
Nous allons munir ces catégories de structures tensorielles (les structures définies précédemment
ne se restreignent pas en des structures sur ces sous-catégories).
On définit le produit de deux morphismes X → Aut(A) par
(X, π) £ (X, π 0 ) = (X, m(π × π 0 )Γ)
où m : Aut(A) × Aut(A) → Aut(A) est la multiplication et Γ : X → X × X est le graphe de
l’identité. On a un élément unité (X, j) où j : X → Spec k → Aut(A) est la composition du
morphisme structurel avec l’unité de Aut(A). Enfin, on dipose d’un objet dual (X, π) ∧ = (X, ιπ)
où ι : Aut(A) → Aut(A) est l’inversion.
On définit le produit des deux éléments (X, ρ) et (X, ρ0 ) de DX par
(X, ρ) £ (X, ρ0 ) = (X, (1 ⊗ µ)(ρ0 ⊗ 1)ρ)
où µ : OX × OX → OX est la multiplication. On a un élément unité (X, e) où e : A = A ⊗ k →
A ⊗ OX est le produit tensoriel de l’indentité par le morphisme structurel k → O X . On a un
objet dual (X, ρ)∧ = (X, ρ∧ ) où
e
(ρ⊗1)−1
ρ∧ : A = A ⊗ k −→ A ⊗ OX −→ A ⊗ OX .
On définit le produit de deux éléments (X, M, f ) et (X, M 0 , f 0 ) de CX par
(X, M, f ) £ (X, M 0 , f 0 ) = (X, (M ⊗A M 0 ) ⊗OX ×OX OX , f 00 )
où f 00 = h ⊗ 1 et h est l’isomorphisme de (A◦ ⊗ OX ⊗ OX )-modules
1⊗f 0
f ⊗1
h : A ⊗ OX ⊗ OX ' OX ⊗ (A ⊗ OX ) −→ OX ⊗ M 0 ' (A ⊗ OX ) ⊗A⊗k M 0 −→ M ⊗A M 0 .
On a un élément unité (X, A ⊗ OX , Id) où A ⊗ OX est le module régulier. On a un objet dual
(X, M, f )∧ = (X, HomA◦ ⊗OX (M, A ⊗ OX ), f ∧ ) où
∼
∼
f ∧ : A ⊗ OX −→ HomA◦ ⊗OX (A ⊗ OX , A ⊗ OX ) −→ HomA◦ ⊗OX (M, A ⊗ OX ),
la première flèche étant donnée par la multiplication à gauche et la seconde étant Hom(f, A ⊗
OX )−1 .
Les équivalences construites plus haut sont compatibles avec ces structures monoı̈dales.
VERSION DU 20 avril 2000
7
3.4.4. Soit ε : k → A ⊗ A∗ → A ⊗ OA → A ⊗ OA× où la première flèche est le morphisme
canonique, la seconde flèche est l’inclusion des fonctions linéaires sur A dans l’espace des fonctions polynomiales et la troisième flèche provient de la restriction de A vers A × . Alors, le
morphisme A → A ⊗ OA× associé au morphisme de conjugaison A× → Aut(A) est donné par
a 7→ ε(1)aε(1)−1 .
A travers les équivalences de catégories, les morphismes π : X → Aut(A) se factorisant
par A× correspondent aux triplets (X, M, f ) dans C avec M isomorphe au module régulier
A ⊗ OX . Si M est le module régulier, alors f est la multiplication à gauche par un élément
ζ ∈ Γ(A ⊗ OX )× . Le morphisme ρ associé est a 7→ ζaζ −1 .
Plus généralement, le morphisme X → Aut(A) associé à un élément (X, M, f ) de C est à
valeur dans Int(A) si et seulement si M est localement isomorphe au module régulier A ⊗ O X
(cf proposition 3.2).
Soient (X, M, f ) et (X, M 0 , f 0 ) dans C tels que M et M 0 sont isomorphes. Alors, les morphismes associés X → Aut(A) → Out(A), sont égaux si et seulement si M et M 0 sont isomorphes.
3.4.5. Soit C¯ la catégorie dont les objets sont les paires (X, M ) où X est une variété et M
un (A ⊗ A◦ ⊗ OX )-module, localement libre de rang 1 comme (A ⊗ OX )-module et comme
(A◦ ⊗ OX )-module.
Un morphisme (X, M ) → (X 0 , M 0 ) est un morphisme φ : X → X 0 tel que M est localement
isomorphe à φ∗ (M 0 ).
¯ Il existe un recouvrement ouvert F de X et une famille d’isomorphismes
Soit (X, M ) dans C.
fU entre A ⊗ OU et la restriction de M à (A◦ ⊗ OU ), pour U ∈ F.
On dispose alors, pour U ∈ F, d’un morphisme U → Int(A), donc par composition, d’un
morphisme U → Out(A). Puisque ces morphismes sont indépendants du choix des fU , ils se
recollent. On obtient ainsi un morphisme X → Out(A).
On a obtenu un foncteur Ē de C¯ vers la catégorie des variétés au-dessus de Out(A).
Proposition 3.5. Le foncteur Ē est une équivalence de catégories de C¯ vers la catégorie des
variétés au-dessus de Out(A).
¯ (X 0 , M 0 , f 0 ) dans C et φ : X → X 0 .
Démonstration. Soient (X, M ) dans C,
Supposons que l’on a un isomorphisme ρ : M ' φ∗ M 0 et soit f = φ∗ (f )ρ. Alors, φ définit un
morphisme de (X, M, f ) dans (X 0 , M 0 , f 0 ), donc φ est un morphisme de variétés au-dessus de
Aut(A), donc au-dessus de Out(A). Si l’on suppose seulement que M et φ∗ M 0 sont localement
isomorphes, alors, quitte à remplacer X par un de ses ouverts U , on se ramène au cas précédent.
Supposons maintenant que φ est un morphisme de variétés au-dessus de Out(A). Supposons
dans un premier temps que l’on a un isomorphisme f entre A ⊗ OX et la restriction de M à
A◦ ⊗ OX . Alors, les morphismes X → Aut(A) associés à (X, M, f ) et (X, φ∗ M 0 , φ∗ f 0 ) induisent
les mêmes morphismes X → Out(A). Par conséquent, M et φ∗ M 0 sont localement isomorphes.
On se ramène au cas où (X, M ) provient d’un objet de C en prenant un recouvrement ouvert
de X.
Finalement, on déduit (en prenant des recouvrements ouverts de X 0 ) que Ē est pleinement
fidèle.
Soit π : X → Out(A) un morphisme de variétés. D’après la proposition 3.3, il existe un
recouvrement ouvert G de Out(A) tel que la restriction du morphisme canonique Aut(A) →
Out(A) à un élément de F est scindée comme morphisme de variétés.
Soit F l’image inverse de G par π. On dispose alors, pour U ∈ F, d’un morphisme τ U : U →
Aut(A) relevant la restriction de π à U . D’après la proposition 3.4, on dispose, pour tout U ,
8
RAPHAËL ROUQUIER
d’un (A ⊗ A◦ ⊗ OU )-module MU associé à τU . En outre, les restrictions de MU et MV à U ∩ V
sont isomorphes pour tous U, V ∈ F.
Par recollement, on construit un (A ⊗ A◦ ⊗ OU ∪V )-module N tel que N|U ' MU et N|V ' MV
et un tel module est unique à isomorphisme près, car le morphisme associé U ∪ V → Out(A)
est indépendant du choix du recollement.
Il existe donc un (A ⊗ A◦ ⊗ OX )-module M tel que M|U ' MU pour tout U ∈ F. Le couple
(X, M ) est un objet de C̄ d’image (X, π) par Ē. On a ainsi montré que le foncteur Ē est
essentiellement surjectif.
On a un produit tensoriel sur C¯ donné par
(X, M ) ⊗ (X 0 , M 0 ) = (X × X 0 , M ⊗A M 0 )
avec l’élément neutre (Spec k, A).
On a un produit tensoriel sur la catégorie des variétés au-dessus de Out(A) donné par
(X, π) ⊗ (X 0 , π 0 ) = (X × X 0 , m̄ · (π × π 0 ))
où m̄ : Out(A) × Out(A) → Out(A) est la multiplication. L’élément neutre en est l’élément
unité, Spec k → Out(A).
Alors, le foncteur Ē est compatible avec le produit tensoriel.
Soit C¯X la sous-catégorie pleine de C formée des objets dont la première composante est X.
On a un produit tensoriel sur la catégorie des morphismes de X dans Out(A) donné par
(X, π) £ (X, π 0 ) = (X, m̄(π × π 0 )Γ)
où Γ : X → X × X est le graphe de l’identité. On a un élément unité (X, j) où j : X →
Spec k → Out(A) est la composition du morphisme structurel avec l’unité de Out(A). Enfin,
on dipose d’un objet dual (X, π)∧ = (X, ῑπ) où ῑ : Out(A) → Out(A) est l’inversion.
On a un produit tensoriel sur C¯X donné par
(X, M ) £ (X, M 00 ) = (X, (M ⊗A M 0 ) ⊗OX ×OX OX ).
On a un élément unité (X, A ⊗ OX ) où A ⊗ OX est le module régulier. On a un objet dual
(X, M )∧ = (X, HomA◦ ⊗OX (M, A ⊗ OX )).
Le foncteur Ē se restreint en un foncteur de C¯X vers la catégorie des morphismes X →
Out(A), compatible avec ces structures tensorielles.
3.4.6. Supposons maintenant que X est un groupe algébrique. Soit (X, M, f ) un objet de C.
Soit N = M ⊗OX OX×X où l’action de OX sur OX×X est donnée par la comultiplication µX .
C’est un (A ⊗ A◦ ⊗ OX×X )-module, libre de rang 1 comme (A ⊗ OX×X )-module et comme
(A◦ ⊗ OX×X )-module.
f ⊗1
On a un isomorphisme de (A◦ ⊗OX×X )-modules g : A⊗OX×X ' (A⊗OX )⊗OX OX×X −→ N .
On obtient ainsi un élément (X × X, N, g) de C. Il lui est associé l’isomorphisme (1 ⊗ µ X )ρ :
A → A ⊗ OX → A ⊗ OX×X et le morphisme de variétés πmX : X × X → X → Aut(A), où
π : X → Aut(A) et ρ : A → A ⊗ OX sont associés à (X, M, f ).
∼
On dispose d’un second objet (X×X, N 0 , g 0 ) de C donné par N 0 = M ⊗A M et g 0 : A⊗OX×X →
f⊗ f
A
(A ⊗ OX ) ⊗A (A ⊗ OX ) −→
N 0 . Lui sont associés l’isomorphisme (ρ ⊗ 1)ρ : A → A ⊗ OX →
A ⊗ OX ⊗ OX et le morphisme m(π × π) : X × X → Aut(A).
Le morphisme π est un morphisme de groupes algébriques si et seulement les morphismes
πmX et m(π × π) de X × X dans Aut(A) sont égaux, c’est-à-dire, si les morphismes (ρ ⊗ 1)ρ et
(1 ⊗ µX )ρ de A dans A ⊗ OX×X sont égaux, donc si et seulement si l’identité de X × X induit
un isomorphisme (X, M, f ) ⊗ (X, M, f ) ' (X × X, N, g).
VERSION DU 20 avril 2000
9
¯ Soit ρ̄ : X → Out(A) le morphisme associé. C’est un morphisme
Soit (X, M ) un objet de C.
de groupes algébriques lorsque les morphismes ρ̄mX et m̄(ρ̄ × ρ̄) sont égaux, donc lorsque
M ⊗OX OX×X et ' M ⊗A M sont localement isomorphes.
4. Automorphismes et équivalences
Pour f ∈ Aut(A), on note Af le (A, A)-bimodule A où l’action à gauche est par multiplication
et l’action à droite la multiplication précédée de f . A isomorphisme près, ce bimodule ne dépend
que de l’image de f dans Out(A).
Soit B une autre k-algèbre finie.
4.1. Invariance par équivalence de Morita. Soit M un (A, B)-bimodule induisant une
équivalence de Morita.
La propriété de (Out0 )red d’être préservé par équivalence de Morita a été prouvée par Brauer
[Po, Corollaire 2.2].
∼
Théorème 4.1. On a un isomorphisme π : Out0 (A) → Out0 (B) tel que si I est l’image inverse
du graphe de π dans Aut0 (A)×Aut0 (B), alors les (A⊗B ◦ ⊗OI )-modules (A⊗B ⊗OI )⊗A⊗B ◦ M
et M ⊗ OI sont localement isomorphes.
En particulier, Af ⊗A M ' M ⊗B Bπ(f ) dans (B ⊗ B ◦ ) − mod, pour tout f ∈ Out0 (A).
Démonstration. Soit G = Aut0 (A). L’action de G sur A correspond à un morphisme d’algèbres
∆A : A → A ⊗ OG . Soit N un (B, A)-bimodule tel que N ⊗A M ' B et M ⊗B N ' A. Soit
L = N ⊗A (A ⊗ OG ) ⊗A⊗k M . C’est un (B ⊗ B ◦ ⊗ OG )-module, projectif comme OG -module.
On a
L ⊗B L ' N ⊗A (A ⊗ OG ) ⊗A⊗k M ⊗B N ⊗A (A ⊗ OG ) ⊗A⊗k M
' N ⊗A (A ⊗ OG ) ⊗A⊗k A ⊗A (A ⊗ OG ) ⊗A⊗k M
' N ⊗A (A ⊗ OG ⊗ OG ) ⊗A⊗k⊗k M
où l’action de A sur A ⊗ OG ⊗ OG provient du morphisme d’algèbres
∆
∆ ⊗1
A
A
A −→
A ⊗ OG −→
A ⊗ O G ⊗ OG .
Puisque ce morphisme est égal au morphisme
∆
1⊗∆
A
A −→
A ⊗ OG −→ A ⊗ OG ⊗ OG ,
on en déduit
L ⊗B L ' L ⊗OG (OG ⊗ OG ).
On a L(1) ' N ⊗A M ' B. D’après le lemme 2.2, il existe un voisinage ouvert U de 1 dans
G tel que L|U est libre de rang 1 comme (B ⊗ OU )-module et comme (B ◦ ⊗ OU )-module.
Pour g, h ∈ G, on a un isomorphisme L(g) ⊗B L(h) ' L(gh). Si L(g) et L(h) sont libres
de rang 1 comme B-modules et comme B ◦ -modules, alors L(gh) est libre de rang 1 comme
B-module et comme B ◦ -module. On en déduit qu’il existe un sous-groupe ouvert H de G tel
que L(g) est libre de rang 1 comme B-module et comme B ◦ -module pour g ∈ H. Puisque G
est connexe, on a H = G.
Donc, L est localement libre de rang 1 comme (B ⊗OG )-module et comme (B ◦ ⊗OG )-module.
On en déduit un morphisme de groupes algébriques π : G → Out(B). Puisque G est connexe,
ce morphisme est à valeurs dans Out0 (B).
Soit H = A× . Le (A ⊗ A◦ ⊗ OH )-module A ⊗ OH associé au morphisme de conjugaison
H → Aut(A) au module régulier A ⊗ OH . Par conséquent, L ⊗OG OH est isomorphe à B ⊗ OH
muni de l’action régulière de (B ⊗ B ◦ ⊗ OH ). Donc, la restriction de π à H est triviale.
10
RAPHAËL ROUQUIER
On a donc construit un morphisme π : Out0 (A) → Out0 (B).
Considérons le (B⊗B ◦ ⊗OAut0 (A) ⊗OAut0 (B) )-module L⊗B (B⊗OAut0 (B) ). Il donne naissance à
un morphisme de groupes algébriques π ×1 : Aut0 (A)×Aut0 (B) → Out0 (B). Soit I son noyau :
c’est le plus grand sous-groupe de Aut0 (A) × Aut0 (B) tel que N ⊗A (A ⊗ B ⊗ OI )) ⊗A⊗B ◦ M est
localement isomorphe à B ⊗ OI , donc tel que (A ⊗ B ⊗ OI ) ⊗A⊗B ◦ M et M ⊗ OI sont localement
isomorphes. Notons que pour f ∈ Aut0 (A), on a f −1 × π(f ) ∈ I et l’isomorphisme en ce point
devient Af ⊗A M ' M ⊗B Bπ(f ) .
On en déduit que (localement) N ⊗B⊗A◦ (B ⊗ A◦ ⊗ OJ ) ' N ⊗ OJ , où J est l’image de I
∼
par l’isomorphisme d’inversion des composantes Aut0 (A) × Aut0 (B) → Aut0 (B) × Aut0 (A), et
J est le plus grand sous-groupe de Aut0 (B) × Aut0 (A) avec cette propriété.
En inversant les roles de A et B, on construit comme précédemment un morphisme π 0 :
Out0 (B) → Out0 (A) tel que le noyau I 0 de π 0 × 1 est le plus grand sous-groupe tel que N ⊗B⊗A◦
(B ⊗ A◦ ⊗ OI 0 ) ' N ⊗ OI 0 (localement).
Finalement, on obtient I 0 = J, donc π 0 est inverse de π.
4.2. Invariance dérivée. Soient M un complexe borné de (A, B)-bimodules induisant une
équivalence entre les catégories dérivées D(A) et D(B).
Le résultat suivant a été obtenu indépendemment, et par des méthodes différentes, par
B. Huisgen-Zimmermann et M. Saorin.
∼
Théorème 4.2. On a un isomorphisme π : Out0 (A) → Out0 (B) tel que si I est l’image inverse
du graphe de π dans Aut0 (A)×Aut0 (B), alors les (A⊗B ◦ ⊗OI )-modules (A⊗B ⊗OI )⊗LA⊗B ◦ M
et M ⊗ OI sont localement quasi-isomorphes.
En particulier, Af ⊗LA M ' M ⊗LB Bπ(f ) dans D(B ⊗ B ◦ ), pour tout f ∈ Out0 (A).
Démonstration. Dans cette preuve, les isomorphismes seront relatifs aux catégories dérivées.
Soit N un complexe borné de (B, A)-bimodules tel que N ⊗LA M ' B et M ⊗LB N ' A.
Soit L = N ⊗LA (A⊗OG )⊗LA⊗k M . C’est un complexe borné de (B ⊗B ◦ ⊗OG )-modules, parfait
comme complexe de OG -modules, car N (resp. M ) est parfait comme complexe de A-modules
(resp. A◦ -modules).
Comme dans la preuve du théorème 4.1, on a L ⊗LB L ' L ⊗LOG (OG ⊗ OG ).
Puisque L(1) ' B, il résulte du lemme 2.1 qu’il existe un voisinage ouvert U de 1 dans G tel
que L|U est homotope au complexe H 0 (L)|U concentré en degré 0. Quitte à rétrécir U , on peut
supposer que H 0 (L)|U est libre de rang 1 comme (B ⊗OU )-module et comme (B ◦ ⊗OU )-module
(lemme 2.2).
On a L(g) ⊗LB L(h) ' L(gh) pour g, h ∈ G. Si L(g) et L(h) n’ont de l’homologie qu’en degré
0 et que celle-ci est libre de rang 1 comme B-module et comme B ◦ -module, alors L(gh) n’a de
l’homologie qu’en degré 0 et celle-ci est libre de rang 1 comme B-module et comme B ◦ -module.
Par conséquent, cette propriété est vraie pour tout g ∈ G et L n’a de l’homologie qu’en degré 0
et H 0 (L) est localement libre de rang 1 comme (B ⊗ OG )-module et comme (B ◦ ⊗ OG )-module.
On en déduit un morphisme π : G → Out(B) et on termine comme dans la preuve du
théorème 4.1.
4.3. Invariance stable. Supposons A et B auto-injectives. Soit M un (A, B)-bimodule induisant une équivalence stable.
∼
Théorème 4.3. On a un isomorphisme π : Out0 (A) → Out0 (B) tel que si I est l’image inverse
du graphe de π dans Aut0 (A)×Aut0 (B), alors les (A⊗B ◦ ⊗OI )-modules (A⊗B ⊗OI )⊗A⊗B ◦ M
et M ⊗ OI sont localement stablement isomorphes.
En particulier, on a un isomorphisme de (B ⊗ B ◦ )-modules Af ⊗A M ' M ⊗B Bπ(f ) pour
tout f ∈ Out0 (A).
VERSION DU 20 avril 2000
11
Démonstration. On peut supposer que les algèbres A et B ne contiennent pas de facteur direct
simple.
La preuve reprend les éléments de celle du théorème 4.1.
Soit G = Aut0 (A). L’action de G sur A correspond à un morphisme d’algèbres ∆A : A →
A ⊗ OG .
Soit N un (B, A)-bimodule tel que N ⊗A M ' B ⊕ projectif et M ⊗B N ' A ⊕ projectif. Soit
L = N ⊗A⊗k (A ⊗ OG ) ⊗A M . C’est un (B ⊗ B ◦ ⊗ OG )-module, projectif comme OG -module.
On a L(1) ' N ⊗A M ' B ⊕ P , où P est un (B ⊗ B ◦ )-module projectif.
Soit H l’ensemble des points fermés g de G tels que L(g) ' R ⊕ P pour un (B ⊗ B ◦ )-module
R libre de rang 1 comme B-module et comme B ◦ -module.
D’après le lemme 2.4, il existe un voisinage ouvert Ω de l’identité de G et un (B ⊗ B ◦ ⊗ OΩ )module T tels que L|Ω ' T ⊕ P ⊗ OΩ . En particulier, P est facteur direct de L(g) pour tout
g ∈ Ω.
Puisque T (1) = B est libre de rang 1 comme B-module et comme B ◦ -module, il existe un
voisinage ouvert U de l’identité dans Ω tel que T|U est libre de rang 1 comme (B ⊗ OU )-module
et comme (B ◦ ⊗ OU )-module (lemme 2.4). Alors, l’ensemble des points fermés de U est contenu
dans H.
Au point générique η de OG , le module Tη ne contient pas de facteur direct projectif, car
l’algèbre B ⊗ Oη ne contient pas de facteur direct simple.
On a
L ⊗B L ' L ⊗OG (OG ⊗ OG ) ⊕ projectif.
Soient g, h ∈ G. Alors, L(g) ⊗B L(h) ' L(gh) ⊕ projectif. Prenons g, h ∈ H et décomposons
L(g) ' R1 ⊕ P et L(g2 ) ' R2 ⊕ P . Alors, L(gh) ' R1 ⊗B R2 ⊕ Q où Q est projectif. Puisque R1
et R2 sont libres de rang 1 comme B-modules et comme B ◦ -modules, on en déduit que R1 ⊗B R2
est aussi libre de rang 1 comme B-module et comme B ◦ -module. Dans un voisinage ouvert V
de gh, on a L ' R ⊕ Q ⊗ OV où R est localement libre de rang 1 comme (B ⊗ OV )-module et
comme (B ◦ ⊗ OV )-module. Alors, Q ⊗ Oη ' P ⊗ Oη , donc Q ' P . Par conséquent, gh ∈ H.
Ainsi, H est un sous-groupe de G. Puisqu’il contient les points fermés d’un ouvert de G, c’est
G tout entier, car G est connexe.
La proposition 2.7 montre l’existence d’un (B ⊗ B ◦ ⊗ OG )-module S et d’un (B ⊗ B ◦ ⊗ OG )module projectif Z tels que L ' S ⊕ Z et Z(g) ' P pour tout g ∈ G. En outre, S est
localement libre de rang 1 comme (B⊗OG )-module et comme (B ◦ ⊗OG )-module. On a S⊗B S '
S⊗OG (OG ⊗OG )⊕projectif. Puisque S⊗B S est localement libre de rang 1 comme (B⊗OG ⊗OG )module, on a en fait S ⊗B S ' S ⊗OG (OG ⊗ OG ).
On en déduit un morphisme π : G → Out(B) et la preuve se continue comme pour le
théorème 4.1.
On obtient un isomorphisme entre Af ⊗A M et M ⊗B Bπ(f ) dans (B ⊗ B ◦ ) − Stab. Pour
obtenir un isomorphisme dans (B ⊗ B ◦ ) − mod, on procède comme suit.
Si V est un (A ⊗ B ◦ )-module projectif, alors Af ⊗A M ' M ⊗B Bg pour tous f ∈ Out0 (A) et
g ∈ Out0 (B). Décomposons M = M 0 ⊕ V avec V projectif et M sans facteur direct projectif. Si
Af ⊗A M ' M ⊗B Bg dans (B ⊗ B ◦ ) − Stab, alors Af ⊗A M 0 et M 0 ⊗B Bg sont isomorphes dans
(B ⊗ B ◦ ) − Stab, donc dans (B ⊗ B ◦ ) − mod, puisqu’ils n’ont pas de facteur direct projectif.
Références
[Da]
E. Dade, Algebraically rigid modules, in “Representation theory II”, Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979, pp. 195–215, Lecture Notes in Math., 832, Springer, Berlin, 1980.
[DoFl] J.D. Donald et F.J. Flanigan, Deformations of algebra modules, J. of Alg. 31 (1974), 245–256.
[Po]
R. D. Pollack, Algebras and their automorphism groups, Comm. in Alg. 17 (1989), 1843–1866.
[Se]
J. P. Serre, “Groupes algébriques et corps de classes”, Hermann, 1959.