Anneaux

Université de Nice-Sophia-Antipolis
Licence de mathématiques 2002-03
Algèbre Ln10, Feuille 1
§1. Révisions
1. Exercice
Calculer le pgcd des couples (83, 127), (84, 161). On déterminera aussi des relations
de Bézout en remontant l’algorithme d’Euclide.
2. Exercice
2.1) Soient p, q ∈ Z tels que (p, q) = 1. On suppose que l’on a une relation de la forme
xp + yq = 0. Prouver que p divise nécessairement y et que q divise nécessairement x.
Indication: On utilisera une relation de Bezout up + vq = 1 pour écrire y comme un
multiple de p.
2.2) Quelles sont les solutions (x, y) ∈ Z2 de l’équation 83x + 127y = 1?
Indications: On a déterminé une solution particulière de ces équations dans l’exercice
précédent. On a par exemple 83x0 + 127y0 = 1 pour un certain couple (x0 , y0 ) ∈ Z2 . On
fait la différence des équations 83x + 127y = 1 et 83x0 + 127y0 = 1. On utilise ensuite les
observations de la question précédente.
2.3) Quelles sont les solutions (x, y) ∈ Z2 des équations
84x + 161y = 3
et
84x + 161y = 14?
§2. Anneaux
1. Quiz
1.1) Prouver ou infirmer les assertions suivantes:
(a) “On peut construire un morphisme d’anneaux de Z/15 dans Z/4.”
(b) “On peut construire un morphisme d’anneaux de Z/15 dans Z/5.”
(c) “On peut construire un morphisme d’anneaux de Z/15 dans Z/30.”
1.2) En général, sous quelle condition existe-t-il un morphisme d’anneaux de Z/m dans
Z/n?
2. Exercice (Anneaux de fractions)
2.1) On dit que S ⊂ N − {0} est une partie multiplicative de l’anneau Z si 1 ∈ S et si
s, t ∈ S entraine s t ∈ S. On note S −1 Z le sous ensemble de Q constitué des fractions x/s
telles que s ∈ S.
Montrer que S −1 Z est un sous-anneau de Q. Quels sont les éléments inversibles de
S −1 Z?
2.2) On se donne une famille d’entiers u1 , . . . , ur ∈ N − {0}. Expliciter une partie multiplicative S telle que S −1 Z est le plus petit sous-anneau de Q contenant les inverses des
éléments u1 , . . . , ur ∈ Z. L’anneau de fractions S −1 Z associé à cette partie multiplicative
BF, Courriel: [email protected]
1
−1
est habituellement noté Z[u−1
1 , . . . , ur ]. Si u = u1 · · · · · ur , alors que peut-on dire des
−1
anneaux de fractions Z[u−1 ] et Z[u−1
1 , . . . , ur ]?
On suppose que la décomposition en facteurs premiers d’un entier u ∈ N − {0} s’écrit
αr
−1
−1
1
u = pα
] et Z[p−1
1 · · · · · pr . Que peut-on dire des anneaux de fractions Z[u
1 , . . . , pr ]?
Quels sont les nombres premiers q qui sont inversibles dans Z[u−1 ]?
2.3) On se donne un nombre premier p. On considère le sous ensemble S ⊂ N − {0}
constitué des nombres s ∈ N − {0} tels que (s, p) = 1. Montrer que S est une partie multiplicative. L’anneau de fractions S −1 Z associé à cette partie multiplicative est
habituellement noté Z(p) .
Quels sont les nombres premiers q qui sont inversibles dans Z(p) ?
2.4) Question de réflexion: trouver une notation commode pour représenter un élément
de Z[10−1 ].
3. Exercice
3.1) Soit φ : R → S un morphisme d’anneaux. On suppose que r ∈ R est un élément
inversible de R. Que peut-on dire de φ(r) ∈ S?
3.2) Peut-on construire un morphisme d’anneaux de Z[3−1 ] dans Z/15? De Z[3−1 ] dans
Z/5? Ce morphisme, s’il existe, est-il unique?
En général, sous quelle condition peut-on construire un morphisme d’anneaux de
−1
Z[u1 , . . . , u−1
r ] dans A? Ce morphisme, s’il existe est-il unique?
4. Exercice
4.1) Soient R et S des anneaux (commutatifs). On considère le produit cartésien A = R×S
qui est muni d’une structure d’anneau caractérisée par les formules
(r1 , s1 ) + (r2 , s2 ) = (r1 + r2 , s1 + s2 )
et
(r1 , s1 ) · (r2 , s2 ) = (r1 r2 , s1 s2 ).
Quel est l’élément unité 1A ∈ R × S? Trouver des éléments e ∈ A et f ∈ A tels que
1A = e + f et tels que e2 = e, f 2 = f et e f = f e = 0A . On dit que 1A = e + f est une
décomposition de l’élément 1A ∈ A en idempotents orthogonaux.
L’application p : A → R, respectivement i : R → A, telle que p(r, s) = r, respectivement i(r) = (r, 0), forme-t-elle un morphisme d’anneaux?
4.2) Inversement, soit A un anneau (commutatif). On suppose que l’unité de A possède
une décomposition en idempotents orthogonaux 1A = e + f . Soit R = {e a, a ∈ A} et
S = {f a, a ∈ A}. Montrer que R et S sont munis d’une structure d’anneau, l’application
A → R × S qui à un élément a ∈ A associe le couple (e a, f a) ∈ R × S formant un
isomorphisme.
4.3) On note [x mod n] la classe d’un entier x ∈ Z dans Z/n. On sait (théorème des restes
Chinois) que l’application
([x mod p q]) = ([x mod p], [x mod q]),
définit un isomorphisme d’anneaux de Z/p q dans Z/p × Z/q dès lors que (p, q) = 1. Comment utiliser ce résultat pour construire une décomposition en idempotents orthogonaux
de l’unité de Z/p q?
Application numérique: Construire une décomposition en idempotents orthogonaux
de l’unité de Z/83 · 127.
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