Principe de fonctionnement d`un véhicule à roues

Lycée CHAPTAL – PC*
E. FREMONT
Mécanique – « Chapitre » 4
Principe de fonctionnement
d’un véhicule à roues
…Parties du programme de PCSI à revoir…
Notions et contenus
Capacités exigibles
Lois de Coulomb du frottement de glissement dans le
seul cas d’un solide en translation.
Exploiter les lois de Coulomb fournies dans les trois
situations : équilibre, mise en mouvement, freinage.
Formuler une hypothèse (quant au glissement ou non)
et la valider.
Notions simples sur les moteurs ou les freins dans les
dispositifs rotatifs.
Savoir qu’un moteur ou un frein contient
nécessairement un stator pour qu’un couple puisse
s’exercer sur le rotor.
…Comment le programme officiel de PC définit ce chapitre…
Notions et contenus
Capacités exigibles
Mouvement rectiligne uniforme d’un véhicule à roues
dans un référentiel galiléen en l’absence de
glissement :
Exprimer la condition de non-glissement des roues.
Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la loi
de l’énergie cinétique au véhicule. Appliquer la loi du
moment cinétique aux roues dans le référentiel du
véhicule.
Expliquer qualitativement les rôles respectifs du
moteur et des actions de contact exercées par la route
selon qu’on envisage un bilan énergétique global ou
un bilan de quantité de mouvement global.
a) véhicule tracté par une force extérieure F ;
b) véhicule muni de roues motrices.
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…Le contenu…
A. La roue qui roule : Condition de non-glissement
Considérons pour commencer une roue de centre C et de rayon r , roulant sur le sol supposé fixe dans le
référentiel d’étude. On note V la vitesse du point C dans ce même référentiel et  la vitesse angulaire de la
roue autour de son axe.
→ Comment traduire le fait que la roue ne glisse pas sur le sol ?
# 1ère méthode
A l’instant t , le point de contact de la roue sur le sol est I  t  . Ce point coïncide avec le point I ' du sol.
A l’instant t  dt , le point de contact de la roue sur le sol est J  t  dt  . Ce point coïncide avec le point J ' du
sol. Le point I  t  de la roue se trouve alors en I  t  dt  .
x
La distance I ' J ' correspond à la distance parcourue par C pendant la durée dt , i.e. I ' J '  V  dt .
La longueur de l’arc I  t  I  t  dt  est quant à elle donnée par I  t  I  t  dt   r  dt .
La roue ne glisse pas sur le sol si et seulement si on a I ' J '  I  t  I  t  dt  , soit :
V  r
# 2ème méthode
On reprend les notations précédentes. Alors, à l’instant t , la roue ne glisse pas sur le sol si et seulement si
v  I  t   roue   v  I '  sol  dans le référentiel d’étude.
En raisonnant dans le référentiel lié au sol, on a évidemment v  I '  sol   0 .
Pour expliciter la vitesse de I  t  dans ce même référentiel, on peut utiliser la relation de composition des
vitesses (le référentiel mobile étant celui lié à C et en translation dans le référentiel lié au sol). On a alors
v  I  t   roue   r ex  V  V  r  ex .
On retrouve bien la même condition de non glissement de la roue sur le sol, soit :
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V  r
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B. Quelques exemples « simples » de systèmes à roues (ou équivalents)
1. Déplacement d’une caisse sur un ensemble de rouleaux pivotants
Un opérateur déplace à vitesse constante
V  V ex une caisse cubique de côté a et de masse
M sur un tapis horizontal constitué d’un grand
nombre de rouleaux de rayon r , libres de tourner
autour de leurs axes fixes parallèles à Oy et
distants successivement de 3r . Pour cela, il exerce
une force F horizontale sur la caisse.
La verticale ascendante est donnée par l’axe Oz et g représente le module de l’accélération de la pesanteur.
Chaque rouleau est assimilé à un cylindre creux, homogène, de masse m et de rayon r . On donne le
moment d’inertie d’un rouleau par rapport à son axe : J  mr 2 .
 On suppose que les actions normales exercées par les p rouleaux ( p
1 ) situés sous la caisse sont
identiques et on note N la force normale qu’exerce chacun de ces rouleaux sur la caisse. Déterminer
N.
 La caisse arrive sur un rouleau initialement immobile. Justifier qu’au début le contact entre la caisse et
ce rouleau se fait avec glissement. Préciser la vitesse de glissement de la caisse sur ce rouleau à l’instant
t  0 du contact.
 En déduire la force de frottement T qu’exerce ce rouleau sur la caisse.
 Après avoir fait l’inventaire des actions et de leur point d’application s’exerçant sur ce rouleau, établir
l’expression de sa vitesse de rotation   t  en fonction de f , g , M , m , p , r et du temps t . On
supposera que les liaisons entre les tiges qui supportent les rouleaux et le support sont parfaites.
 Evaluer la durée  au bout de laquelle le glissement cesse.
 Déterminer p en fonction de a et r , puis exprimer la valeur maximale VM de V si l’on veut qu’au
plus un rouleau glisse à chaque instant, en fonction de m , M , g , f , r et a . Faire l’application
numérique dans le cas où m  1 kg , M  1000 kg , g  9,8 m.s2 , f  0,3 , r  1 cm et a  1 m .
On fait désormais l’hypothèse V  VM .
 Que faut la force de frottement de glissement T * qu’exerce la caisse sur chacun des p  1 rouleaux
pour lesquels le glissement a disparu ?
 Evaluer le module F de la force horizontale que doit exercer l’opérateur en moyenne pour tirer la
caisse.
 Quel serait le module F  à exercer par l’opérateur dans une traction par glissement sur un sol plan de
même coefficient de frottement f que sur les rouleaux ?
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 Calculer numériquement le rapport
Réponses : N 
F
et conclure quant à l’intérêt du dispositif étudié.
F
fMg
fMg
Mg
pmV
a
; p
;
ex ;   t  
t; 
ez ; Vgl  t  0   V ex ; T  
p
pmr
p
fMg
3r
VM  3r
fMg
F 1
fMg
; VM  1,63 m.s1 ; T *  0 ; F 
; F   fMg ;
 .
p
F
p
ma
2. Remorque bagagère
On considère une remarque bagagère de masse M  300 kg . Cette remorque est liée en A au crochet
d’attelage de la voiture qui le tracte. L’ensemble {voiture + remorque} roule sans glisser en ligne droite, à la
vitesse constante V  120 km/h (vers l’avant). On suppose le contact ponctuel entre les roues et le sol. On
souhaite déterminer la puissance nécessaire pour tracter la remorque.
Sur le schéma suivant, on précise les dimensions utiles de la remorque (en mm).
On modélise les frottements de l’air sur la remorque par une force de résultante Fair  V V , où  est une
constante qui prend en compte la forme de la remorque, et dont la droite d’action passe par G. On néglige la
contribution des frottements de l’air sur les roues. Pour les applications numériques, on prendra
g  g  10 m.s2 et   0,8 kg.m1 .
 On définit le référentiel barycentrique R* comme le référentiel lié à la remorque, d’origine G, en
translation par rapport au sol. Le référentiel barycentrique R* est-il galiléen ?
 Faire l’inventaire des forces (extérieures) exercées sur la remorque. Combien a-t-on d’inconnues à
déterminer ?
 Appliquer la loi de la quantité de mouvement à la remorque dans le référentiel R*.
 Appliquer la loi du moment cinétique en G à la remorque dans le référentiel R*.
 Appliquer la loi du moment cinétique aux roues uniquement dans le référentiel R*.
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 En déduire l’ensemble des forces inconnues, puis la puissance Ptraction que doit fournir la voiture pour
tracter la remorque. Faire l’application numérique et commenter le résultat (on rappelle que
1 cv = 736 W ).
Réponse partielle : Ptraction  40 cv
 On suppose désormais que, suite à un problème sur l’essieu, les deux roues se bloquent et cessent de
tourner autour de leur axe. On suppose également que le conducteur de la voiture maintient son
déplacement rectiligne à vitesse constante. Comment la mise en équations précédente est-elle

modifiée ? Evaluer la nouvelle puissance Ptraction
que doit fournir la voiture pour tracter la remorque
(on prendra f  0,7 pour le coefficient de frottement pneu-route). Commenter.
Réponse partielle : P'traction  47 cv
C. Etude d’un véhicule à roues motorisé : exemple de la DUCATI MONSTER 1200S
1. Présentation du « monstre »
# En image d’abord
# En chiffres ensuite
(données récupérées sur le sîte Internet Ducati France, à l’adresse suivante :
http://www.ducati.fr/motos/monster/1200/tech_spec.do)
Moteur
Bicylindre en L, 4 soupapes par cylindre, refroidissement liquide
Cylindrée
1198,4 cm3
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Poids
209 kg en ordre de marche (le poids en ordre de marche prend en considération
l’ensemble des liquides nécessaires au fonctionnement de la moto ainsi que le
remplissage à 90% du réservoir de carburant)
Hauteur de selle
Réglable entre 785 et 810 mm
Empattement
1511 mm (distance entre les axes des deux roues)
Capacité du
réservoir
17,5 L
2. Construction d’un modèle physique pour le système {moto + pilote}
On modélise le système Σ = {moto + pilote} par l’association de trois solides liés entre eux : la roue
arrière (notée S1 ), la roue avant (notée S2 ) et le reste du système (noté S3 ).
# Aspect géométrique
Les roues, identiques, de rayon r et de masse m , axées sur leur centre d’inertie C1 et C2 , possèdent un
moment d’inertie J 
3 2
mr par rapport à leur axe de révolution.
4
 A partir des données (photo et fiche technique) du paragraphe précédent, estimer la valeur de r , puis
celle de J . On prendra m  15 kg .
Par souci de simplification, le système S3 (cadre de la moto + moteur +pilote) est assimilé à un solide de
masse M . Son centre d’inertie est noté G ; il est situé à une distance h au-dessus du sol, à la distance b1 de
l’axe C1 z (l’axe C1 z étant vertical) et à la distance b2 de l’axe C2 z . On note L  C1C2  b1  b2 .
 Estimer la valeur de M . En expliquant votre raisonnement, situer G sur la photo ci-dessous. En déduire
une estimation de h , b1 et b2 .
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# Aspect dynamique
Les contacts ( S1 -sol) et ( S2 -sol) sont supposés ponctuels ; on note respectivement I1 et I 2 les points de
contact correspondant. Les actions du sol sur S1 et S2 sont modélisées par les forces T1  t  ex  N1  t  ez et
T2  t  ex  N2  t  ez . On note f le coefficient de frottement (aucune distinction ne sera faite entre le frottement
statique ou dynamique).
z
x
Les liaisons  S3  S1  et  S3  S2  possèdent des moments scalaires par rapport aux axes C1 y et C2 y
notés respectivement K1  t  et K 2  t  , considérés comme des grandeurs algébriques. Ces moments prennent en
compte les moments éventuels exercés par le moteur sur les roues, par les disques de frein sur les roues, par les
frottements des arbres sur les essieux des roues…
On modélise les frottements de l’air sur le système par une force de résultante Fair  V V , où V est la
vitesse de G dans le référentiel lié au sol et  une constante qui prend en compte la « prise au vent » de la moto
et son pilote, et dont la droite d’action passe par G. On néglige la contribution des frottements de l’air sur les
roues. Pour les applications numériques, on prendra   0, 2 kg.m1 .
3. Cas d’un mouvement rectiligne et uniforme (important)
On considère dans cette partie que le système se déplace à vitesse constante dans le référentiel lié au sol.
Les roues roulent sans glisser. On a alors K1  t   m , où  m désigne le couple moteur exercé par la chaîne de
transmission sur la roue arrière, et K2  t   0 .
 En adoptant une démarche similaire à celle mise en place lors de l’étude de la remorque, déterminer les
forces T1 , N1 , T2 et N 2 . Proposer une application numérique.
 Les résultats obtenus sont-ils compatibles avec l’hypothèse de roulement sans glissement des roues sur
le sol.
 En appliquant la loi du moment cinétique à la roue arrière dans le référentiel barycentrique du système,
établir une relation entre T1 et  m . Conclure quant au rôle des frottements dans ce mouvement.
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 Appliquer le théorème de l’énergie cinétique au système dans le référentiel barycentrique. Commenter
la relation obtenue.
4. Physique du wheeling et du stoppie
 Dans le cadre de l’étude précédente, est-il possible d’observer un décollement de la roue avant
(également appelé « wheeling ») ?
On s’intéresse désormais à la phase de démarrage de la moto. On suppose que les deux roues roulent toujours
sans glisser et on a encore K1  t   m et K2  t   0 .
 Pourquoi est-il possible de négliger l’effet des frottements de l’air sur le système lors de cette étude ?
Appliquer alors la loi de la quantité de mouvement au système complet dans le référentiel lié au sol.
 Le référentiel barycentrique R* du système est-il galiléen ?
 On souhaite appliquer la loi du moment cinétique à la roue avant ( S2 ) dans R*. Justifier
qualitativement que le moment de la force d’inertie d’entraînement subie par la roue est nul par rapport
dV
à l’axe C2 y . En déduire une relation entre T2  t  et l’accélération a  t  
 t  du système.
dt
 On admet que la loi du moment cinétique appliquée au système complet dans le référentiel R* donne
3
dV
mr
 t   h T1 t   T2 t    b1N1 t   b2 N2 t  . En déduire l’expression, puis la valeur
2
dt
numérique, de l’accélération minimale pour laquelle la moto part en wheeling.
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 En quoi ce modèle permet-il également d’expliquer que la roue arrière de la moto puisse décoller lors
d’un freinage brusque (on parle alors de « stoppie ») ?
5. Dosage des freins pour un freinage sûr
L’objectif est de parvenir à stopper la moto sans bloquer la rotation des roues, ni décoller la roue arrière.
Pour cela, on applique aux deux roues un freinage se traduisant par des moments constants K1 et K 2 .
 Préciser le signe de K1 et K 2 . Dans un diagramme  K1 , K2  , quel est donc le quadrant utile pour un
freinage souple ?
Pour simplifier la mise en équations du problème, on néglige les frottements de l’air ainsi que la masse des
roues devant la masse du reste du système. On obtient alors :
T1 
K1
r
T2 
K2
r
N1 
b2
h K1  K 2
Mg 
L
L
r
N2 
b1
h K1  K 2
Mg 
L
L
r
 Etablir trois inégalités portant sur K1 et K 2 .
 Représenter, dans le plan  K1 , K2  , la zone correspondant à un freinage souple.
 Déterminer les efforts de freinage sur les roues avant et arrière qui assurent une efficacité maximale du
freinage avec les conditions de souplesse décrites précédemment. Calculer les valeurs de K1 et K 2
correspondantes, ainsi que la décélération obtenue.
 Les moniteurs de moto recommandent généralement de doser le freinage de sorte que la roue avant
assure 60% du freinage total (et la roue arrière les 40% restants). Commenter.
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