iii – travaux pratiques

III – TRAVAUX PRATIQUES
MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS
Présentation de la méthode
Nous allons utiliser la TI-82 puis la TI-92 pour
présenter la méthode du Pivot de Gauss, pour
résoudre un système de n équations à n inconnues,
en Terminale S.
On utilise les opérations élémentaires sur les lignes
du système, qui transforment le système en un
système équivalent.
• Li ↔ L j
Permute la ligne Li et la ligne L j .
•
Li ← α Li α ≠ 0
Multiplie la ligne Li par α .
• Li ← Li + λ L j i ≠ j
Remplace la ligne Li par Li + λ L j .
Cela afin de mettre le système sous forme
triangulaire.
Pour cela nous allons représenter le système par une
matrice dont les éléments sont constitués par les
coefficients du système, auxquels on rajoute le
second membre comme dernière colonne.
Étude d'un exemple
Le système
R|2 x − y + 2 z = −4
S| x + y + 2 z = −1
T 4 x + y + 3z = 0
sera représenté par la matrice
2 −1 2 −4
LM
MM1
MN4
1
2
1
3
OP
−1P .
P
0 PQ
On effectue alors les opérations suivantes :
1 1 2 −1
L1 ↔ L2
L2 ← L2 − 2 L1
L3 ← L3 − 4 L1
L3 ← L3 − L2
LM
MM2
MN4
LM1
MM0
MN0
LM1
MM0
MN0
−1
2
1
3
1
2
−3
−2
−3
−5
1
2
−3
−2
0
−3
OP
−4 P
P
0 PQ
OP
−2 P
P
4 PQ
−1O
P
−2 P
P
6 PQ
−1
R| x + y + 2z = −1
S| −3y − 2z = −2
T −3z = 6
On peut résoudre en remontant et par substitution
ce qui donne : z = −2, y = 2, x = 1 . On peut
également continuer en faisant apparaître des 0 audessus de la diagonale.
OP
−3 0 −6P
L ← L +2 3L
P
0 −3 6 PQ
0
0
1O
P
L ← L +1 3L
−3 0 −6P
P
0 −3 6 PQ
R| x = 1
Le système est donc équivalent à S −3 y = −6
|T −3z = 6
L2 ← L2 − 2 3 L3
1
1
3
1
1
2
LM1
MM0
MN0
LM1
MM0
MN0
1
0
3
On retrouve bien les solutions ci-dessus en
multipliant la deuxième et la troisième équation par
−1 3.
Texas Instruments
1
Résolution pas à pas sur TI-81, TI-82 ou TI-83
Nous disposons pour effectuer ces opérations sur
les matrices, des fonctions rowswap, row+, *row,
*row+.
• Sur la TI-81, ces instructions s'obtiennent par
Ž¨,©,ª,y.
• Sur les TI-82 et TI-83 elles sont accessibles à
partir du sous-menu MATH du menu MATRX.
diagonale, si tous les pivots sont non nuls comme
dans l'exemple traité. Si on rencontre un pivot nul
ou trop petit, on effectue une permutation de lignes,
à l'aide de rowswap afin d'obtenir, si possible, un
pivot de valeur absolue plus grande.
Le système étudié n'admet qu'une solution, ce n'est
le cas que si les pivots sont non nuls. Regardons sur
deux exemples ce qui se passe dans le cas contraire.
Système sans solution
x + y + z = −1
R|
S| 2 x − y + 3 z = −1
T −4 x + 5 y − 7 z = 4
L2 ← L2 − 2 L1
, puis L3 ← L3 + 3 L2
L3 ← L3 + 4 L1
Conduisent au système, sans solution :
x + y + z = −1
Les opérations
R|
S| −3y + z = −3
T 0 z = −1
Effectuer les opérations sur votre calculatrice.
Système avec une infinité de solutions
3x + 2z = 2
A ce stade là nous avons trouvé la réduite de Gauss,
le système est mis sous forme triangulaire.
Continuons pour une réduction sous forme
diagonale, comme nous l'avons expliqué
précédemment.
R|
S| 5 x + 2 y = 1
Tx − 2 y + 4 z = 3
Appliquons les transformations suivantes :
L2 ← L2 − 5 L1
1
, et L3 ← L3 − L2
L1 ↔ L3 , puis
L3 ← L3 − 3 L1
2
R| x − 2 y + 4 z = 3
Ce qui correspond au système S 12 y − 20 z = −14
|T
0z = 0
On
retrouve
bien
la
solution
:
x = 1, y = 2, z = −2 .
Remarques. On peut procéder en faisant apparaître
simultanément des zéros au-dessus et en dessous
d'un pivot, pour aboutir directement à la forme
Il y a une infinité de solutions (x et y fonction de z)
( 2 3 − 2 3 z , − 7 6 + 5 3 z , z ) z ∈§ .
TEXAS INSTRUMENTS
2
Résolution directe sur la TI-83
La TI-83 dispose de deux fonctions facilitant la
résolution des systèmes, y compris dans le cas où
ils sont dégénérés.
La fonction ref permet d'obtenir directement une
réduite de Gauss.
La fonction rref permet d'obtenir une réduite de
Gauss avec un minimum de termes non nuls audessus de la diagonale, ce qui va permettre une
résolution pratiquement immédiate de tous les types
de systèmes.
Reprenons les trois exemples précédents.
2 x − y + 2 z = −4
R|
1. Le système S x + y + 2 z = −1
|T 4 x + y + 3z = 0
est représenté par la matrice
2 −1 2
LM
MM1
MN4
1
2
1
3
Ž9?[B]Ž¨dI¨¸
Cette fois nous avons montré que le système est
équivalent à :
x =1
R|
S|y = 2
Tz = −2
Ce qui achève la résolution de notre système.
2. Passons maintenant à l'étude de
x + y + z = −1
R|
S| 2 x − y + 3 z = −1
T −4 x + 5 y − 7 z = 4
OP
−1P
P
0 PQ
−4
Le système est équivalent à :
Ž9?[A]
Ž¨dI¨¸
R|x + 4z / 3 = 0
S| y − z / 3 = 0
T 0z = 1
Il n'y a donc pas de solution.
3. Voici à présent l'étude du système :
3x + 2z = 2
On a obtenu la matrice :
1 1/ 4 3/ 4
LM
MM00
N
1
0
0
R|
S| 5 x + 2 y = 1
Tx − 2 y + 4 z = 3
OP
PP
Q
−1 / 3 8 / 3
1
−2
Ce qui montre que le système est équivalent à
1
3
x+ y+ z = 0
4
4
1
8
y− z =
3
3
z = −2
R|
||
S|
||
T
Nous avons cette fois :
x + 2z / 3 = 2 / 3
( S) ⇔
Le système a donc été mis sous forme triangulaire
par la fonction ref. Utilisons à présent rref :
R|
S|
T
y − 5z / 3 = −7 / 6
0z = 0
On retrouve bien le même ensemble de solutions :
( 2 3 − 2 3 z , − 7 6 + 5 3 z , z ) z ∈§ .
Texas Instruments
3
Résolution à l'aide de la TI-92
Avec la TI-92 il est possible d'effectuer les
mêmes opérations élémentaires que sur les TI-82
et TI-83. On obtiendra de plus des calculs exacts,
et un affichage plus pratique en raison de la plus
grande largeur de l'écran.
Reprenons les deux derniers exemples avec la
TI-92. Utilisons l’éditeur de données et de
matrices pour définir la matrice A.
pour définir une nouvelle matrice.
.Z‡
On choisit le type Matrix en appuyant sur
Remarque. On peut définir directement une
matrice dans l’écran de calcul comme indiqué
dans l’écran suivant. Chaque élément a , b, c
représente une ligne de la matrice, les lignes sont
prises entre crochets, mais ne sont pas séparées
par des virgules.
!†
.
On recommence l’opération pour la matrice unicolonne B.
•#
On entre ensuite le nom de la matrice, le nombre
de lignes (Row), le nombre de colonnes (Col), en
validant chaque entrée par
et en passant à
la ligne suivante en appuyant sur . On termine
la saisie par
.
•
•
On entre chaque élément de la matrice. On passe
au terme suivant en appuyant sur
.
‚
•
Revenons à l’écran de calcul
et
vérifions le contenu des matrices, il suffit de
taper leur nom suivi de
.
TEXAS INSTRUMENTS
4
Dans le cas présent les premiers membres des
équations sont liés, il y a donc soit une infinité de
solutions, soit pas de solution.
Remarque. On peut aussi s’en rendre compte en
calculant le déterminant de la matrice a :
La fonction augment du menu MATH permet de
créer la matrice obtenue en concaténant les
matrices a et b. On l’obtient à l’aide des touches
:
.
(XL¬A­C
(X !
Effectuons à présent les opérations sur les lignes.
On trouve ces dernières dans le menu MATH :
D .
„
Pour faciliter les opérations plaçons la matrice
augment(a,b) dans une nouvelle matrice c à
l’aide de la touche
.
Effectuons la première opération L2 ← L2 − 2 L1 .
Dans le même menu la fonction simult permet
directement de donner la solution du système
AX = B
si celui-ci est de Cramer.
d'où :
R| x + y + z = −1
( S) ⇔ S
−3 y + z = 1
|T−4 x + 5y − 7z = 4
Continuons les transformations : L3 ← L3 + 4 L1
TEXAS INSTRUMENTS
5
(XX
Nous avons obtenu :
Le deuxième exemple peut se traiter de la même
façon. Les matrices étant saisies, l’utilisation de
la fonction rref :
donne
directement le résultat.
R|x + y + z = −1
( S) ⇔ S −3 y + z = 1
|T 9y − 3z = 0
Puis L3 ← L3 + 3 L2 , on arrive ainsi à la réduite
de Gauss.
Nous avons cette fois :
R|
( S) ⇔ S
|T
R|x + y + z = −1
( S) ⇔ S −3 y + z = 1
|T 0z = 3
x + 2z / 3 = 2 / 3
y − 5z / 3 = −7 / 6
0z = 0
on retrouve bien le même ensemble de solutions
:
(X‡
Le système étudié n’a pas de solution.
Nous aurions pu obtenir directement ce résultat à
l’aide de la fonction ref :
.
( 2 3 − 2 3 z , − 7 6 + 5 3 z , z ) z ∈§ .
L'utilisation de cette fonction montre directement
que :
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x − y + z = −1
4
4
1
( S) ⇔
y− z =1
3
0z = 1
R|
||
S|
||
T
Ce système n'a donc pas de solution.
TEXAS INSTRUMENTS
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