Triangle rectangle : DISTANCES et CERCLES 1 ) CERCLE

Triangle rectangle : DISTANCES et CERCLES
1 ) CERCLE CIRCONSCRIT
A ) PROPRIETE 1
Si un triangle est rectangle, alors le cercle circonscrit à ce triangle a pour diamètre l’hypoténuse de ce triangle.
Rem : Le centre du cercle est le
milieu de l’hypoténuse
C
O
B
A
B ) PROPRIETE 2 ( réciproque de la propriété 1 )
•
•
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle
et ce diamètre est l’hypoténuse du triangle.
Pour résumer :
Si , dans un triangle ABC, le point C appartient au cercle de diamètre [ AB ] , alors le triangle ABC est
rectangle en C .
C appartient au
cercle de diamètre
[AB]
A
B
2 ) MEDIANE
ABC est
rectangle en C
A
C
Remarque préliminaire :
La droite ( AM ) est la médiane issue de A du triangle ABC.
Le segment [ AM ] est aussi appelé médiane
B
M
A ) PROPRIETE 3
C
Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse.
A
ABC est
rectangle en A
B
AO =
O est le milieu
de [BC]
BC
2
O
C
B ) PROPRIETE 4 ( réciproque de la propriété 3 )
Si dans un triangle la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle.
A
BC
AO =
2
ABC est rectangle en A
B
O
O est le milieu
de [BC]
C
3 ) DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE
Sur une droite d, le point le plus proche d’un point A non situé sur d est le point H tel que ( AH ) soit
perpendiculaire à d.
AH est appelée la distance du point A à la droite d.
Rem :
A
Pour tout point M de d distinct de H, on a
M
H
AH < AM
d
4 ) TANGENTE EN UN POINT A UN CERCLE
A ) RAPPEL
Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M du plan tels que OM = r
B ) DEFINITION
Soit C un cercle de centre O et M un point de ce cercle .
La tangente en M au cercle C est la droite d perpendiculaire en M à la droite ( OM ) .
d
M
d'
O
A
La distance du centre du cercle
à la tangente est égale au rayon
du cercle
c
•
La droite d est tangente au cercle C en M .
Le point M est le seul point commun à la droite d et
au cercle C.
•
La droite d’ n’est pas tangente au cercle C en A …
Il y a deux points en commun .
La droite d’ est sécante au cercle.
•
La droite d" n’est pas tangente au cercle C.
Il n’y a aucun point en commun.
La droite d" est extérieure au cercle.
d''